korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (811435), страница 17
Текст из файла (страница 17)
В такомслучае соотношение (2.2.1), очевидно, трансформируется вH(x) = e−µ∞Xµjj=0j!G∗j (x).(2.2.4)Определение 2.2.2. Распределения вида (2.2.4) называются обобщенными пуассоновскими.Легко видеть, что если g(t) – характеристическая функция, соответствующая функции распределения G(x), то характеристическая функция h(t), соответствующая функции распределения H(x), имеет видh(t) = e−µ∞X(µg(t)jj=0j!= exp{µ(g(t) − 1)},t ∈ IR.(2.2.5)Сравнивая это выражение с приведенным в п.
1 Теоремы 2.1.2, несложно убедиться, что если if X1 , X2 , . . . – независимые случайные величины с общей функцией распределения G(x), а Nµ – пуассоновскаяслучайная величина с параметром µ, независимая от X1 , X2 , . . ., тораспределение (2.2.4) соответствует пуассоновской случайной суммеSµ = X1 +. . .+XNµ (для определенности мы полагаем, что если Nµ = 0,то Sµ = 0).
Некоторые элементарные свойства обобщенных пуассоновских распределений были рассмотрены в разделе 1.4.Обобщенные пуассоновские распределения играют важную ролькак в само́й теории вероятностей, так и в ее приложениях. Чтобы подтвердить это, рассмотрим некоторые примеры.Пример 2.2.3. В 1939 г. в теории суммирования независимых случайных величин был произошел существенный прорыв. Б. В. Гнеденко предложил метод сопровождающих безгранично делимых законов,который позволил получить общие необходимые и достаточные условия сходимости распределений сумм независимых равномерно предельно малых случайных слагаемых.
Пусть mn – натуральное число, а{Xn,k }k≥1 , n = 1, 2, . . ., – последовательность серий независимых в каждой серии случайных величин. ПоложимSn = Xn,1 + . . . + Xn,mn .(2.2.6)2.2Обобщенные пуассоновские распределения99Каждому слагаемому Xn,k , характеристическую функцию которого обозначим fn,k (t), поставим в соответствие “сопровождающую"случайную величину Yn,k с характеристической функциейgn,k (t) = exp{fn,k (t) − 1}. Несложно убедиться, что случайные величины Yn,k безгранично делимы.
Построим новую сумму “сопровождающих"случайных величинS̄n = Yn,1 + . . . + Yn,mn ,(2.2.7)В которой слагаемые считаются независимыми. Б. В. Гнеденко доказал, что распределения сумм (2.2.6) слабо сходятся при mn → ∞(n → ∞) к некоторому распределению том и только в том случае, когдасуществует предельное распределение сумм (2.2.7), причем оба предельных закона совпадают. Доказательство этого утверждения основано на том, чтоexp{fn,k (t) − 1} = e−1j∞Xfn,k(t)j=0j!,и мы видим, что характеристическая функция сопровождающей суммыявляется одновременно характеристической функцией пуассоновскойслучайной суммы изначальных независимых слагаемых, в которой количество слагаемых имеет распределение Пуассона с параметром 1. Вчастности, если при каждом n слагаемые Xn,k , k ≥ 1, распределеныодинаково, тоdS̄n =Nikn XX(i)Yn,j(2.2.8)i=1 j=1где Ni – независимые случайные величины с одним и тем же распределением Пуассона с параметром 1, независимые от случайных величин(i)(i) dYn,j , Yn,j = Yn,1 .
Но в соответствии с видом характеристической функции суммы (2.2.8) мы можем заключить, чтоdS̄n =(n)NXYn,j ,j=1где величина N (n) имеет распределение Пуассона с параметром mn инезависима от Yn,j , j ≥ 1.Пример 2.2.4. Круг явлений, моделируемых обобщенными пуассоновскими распределениями, довольно широк. Ф. Эггенбергер показал,что числа летальных исходов при скарлатине и оспе в Швейцарии, атакже при взрывах паровых котлов имеют обобщенное распределение1002.
Свойства случайных суммПуассона (Eggenberger, 1924). Согласно типичной модели (PollaczekGeiringer, 1928), вспышки болезней или аварии с паровыми котламипроисходят независимо друг от друга, и число вспышек или аварий,вызвавших ровно j летальных исходов (случайная величина Zj ) имеетраспределение Пуассона с некоторым параметром λj , j = 1, 2, .
. . Аналогичная модель использовалась для описания числа жертв катастрофна транспорте (Kupper, 1965). В такой модели общее число жертв всехаварий или вспышек болезней имеет видZ = Z1 + 2Z2 + 3Z3 + . . . + kZk ,(2.2.9)где параметр k называется максимальной множественностью и, вообще говоря, может быть бесконечным. Такие модели использовалисьв эпидемиологии, энтомологии и бактериологии (Greenwood and Yule,1920), при изучении пространственного распределения особей различных видов в биологии и экологии (Skellam, 1952). Модели вида (2.2.9)очень важны, в частности, в ядерной физике при экспериментальномопределении частичных сечений ядерных реакций (см., например, (Белов, Галкин и Уфимцев, 1985)).Рассмотрим распределение случайной величины Z в (2.2.9).
Можнопредположить, что случайная величина Zj имеет распределение Пуассона с некоторым параметром λj . Это предположение основано на теореме Пуассона, применение которой вполне разумно, к примеру, приописании числа жертв аварий на транспорте, ввиду малости вероятности отдельной аварии и огромному числу транспортных средств. Параметр λj при этом имеет смысл среднего числа несчастных случаев,приведших ровно к j жертвам, в единицу времени. Можно предположить, что случайные величины Zj независимы. Поскольку характеристическая функция случайной величины jZj имеет видEeitjZj = exp{λj (eitj − 1)},t ∈ IR1 ,а характеристическая функция суммы независимых случайных слагаемых равна произведению характеристических функций слагаемых,Pобозначив λ = j λj , мы приходим к следующему представлению дляхарактеристической функции суммы (2.2.9):EeitZ=Yitjexp{λj (e− 1)} = exp½Xj¾itjλj (e− 1) = exp{λ(f (t) − 1)},j(2.2.10)гдеf (t) =X λjeitjjλ2.2Обобщенные пуассоновские распределения101– характеристическая функция случайной величины, принимающейзначение j с вероятностью λj /λ.
Таким образом,dZ = X1 + . . . + XN ,(2.2.11)где Xj , j ≥ 1, – независимые случайные величины с общей характеристической функцией f (t), а N – случайная величина с пуассоновскимраспределением с параметром λ, независимая от {Xj }j≥1 .При разных конкретных значениях максимальной множественности k и параметров λj распределения с характеристическими функциями (2.2.10) трансформируются в такие хорошо известные распределения как пуассон-биномиальное, Эрмита, Неймана, Стирлинга–Эрмитаи другие (см., например, (Johnson and Kotz, 1969)). Некоторые из этихраспределений будут рассмотрены в разделе 4.1.Пример 2.2.5. В теории массового обслуживания (иначе называемой теорией очередей), если входящий поток клиентов (заявок, клиентов, требований) не является ординарным (то есть допускается возможность одновременного появления нескольких клиентов), моментыпоявления клиентов образуют пуассоновский точечный процесс Nλ (t)с интенсивностью λ (см.
раздел 6.2), число клиентов, появившихся вj-й момент равно Xj , то случайная величина Sλ = X1 + . . . + XNλ (t) ,имеющая смысл общего количества клиентов, появившихся в течениеинтервала времени [0, t], имеет обобщенное пуассоновское распределение.Пример 2.2.6.
Рассмотрим следующую модель одномерного броуновского движения – так называемого теплового движения частицы,вызванного соударениями частицы с молекулами вещества, заполняющего среду, в которой движется частица. Пусть N (t) – число соударений частицы с молекулами на интервале времени [0, t]. Если средаоднородна и свойства частицы остаются неизменными во времени, товполне естественно считать, что N (t) – это однородный пуассоновскийпроцесс (см.
раздел 6.2). Тогда, обозначив перемещение частицы, вызванное j-м соударением, через Xj , мы приходим к заключению, чтопроцесс S(t) = X1 +. . . +XN (t) описывает изменение координаты частицы во времени, и S(t) имеет обобщенное пуассоновское распределение.Ниже мы рассмотрим другие примеры обобщенных пуассоновскихраспределений.1022.32. Свойства случайных суммДискретные обобщенные пуассоновскиераспределения.В этом разделе мы будем рассматиривать дискретные обобщенныепуассоновские распределения.
Более того, мы будем иметь дело лишь собобщенными пуассоновскими распределениями неотрицательных цеPkлочисленных случайных величин. Пусть p(z) = ∞k=0 pk z – производящая функция, соответствующая функции распределения G(x) в (2.2.4).Тогда, вместо (2.2.5) для неотрицательных целочисленных случайныхвеличин удобнее иметь дело с производящей функциейq(z) ≡∞Xqn z n = exp{µ(p(z) − 1)},|z| ≤ 1,(2.3.1)n=1которая соответствует функции распределения (2.2.4) и характеристической функции (2.2.5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
