korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (811435), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Причем, если пространство Sявляется пространством вещественнозначных функций, то X принятоназывать случайной функцией или случайным процессом. Далее в текущем разделе мы будем иметь дело только со случайными процессами.Определение 1.8.2. Распределением случайного процесса X называется вероятностная мера PX , заданная на измеримом пространстве(S, Σ), определенная для всех множеств A ∈ Σ следующим образом:PX (A) = P ({ω | X (ω) ∈ A}) ≡ P (X ∈ A) .При фиксированных значениях t1 , . . .
, tk , ti ∈ T , i = 1, . . . , k, мыполучаем k-мерный случайный вектор (X(ω, t1 ), . . . , X(ω, tk )). Распределения этих случайных векторов для различных k ≥ 1 и t1 , . . . , tk называются конечномерными распределениями процесса {X(τ ), τ ∈ T }.85861. Основные понятия теории вероятностейОбозначимFt1 ,...,tk (x1 , . . . , xk ) = P ({ω | X (ω, t1 ) < x1 , .
. . , X (ω, tk ) < xk }) .Определение 1.8.3. Случайный процесс {X(τ ), τ ∈ T ⊆ IR} называется процессом с независимыми приращениями, если для любыхn ≥ 1, любых ti ∈ T , i = 0, . . . , n, таких, что t0 < t1 < . . . < tn , случайные величиныX (t0 ) , X (t1 ) − X (t0 ) , . . . , X (tn ) − X (tn−1 )независимы в совокупности.Определение 1.8.4.
Случайный процесс {X(τ ), τ ∈ T } называется однородным (по времени), еслиdX (t + h) − X (t) = X (s + h) − X (s)для всех t, s и h ≥ 0 таких, что t ∈ T , t + h ∈ T , s ∈ T , s + h ∈ T .Определение 1.8.5. Случайный процесс {X(τ ), τ ∈ T } называется стохастически непрерывным, если для любых t ∈ T и ε > 0lims→t, s∈TP (|X (s) − X (t) | > ε) = 0.Определение 1.8.6. Однородный стохастически непрерывныйслучайный процесс с независимыми приращениями, определенный наT = [0, ∞), P-почти все траектории которого выходят из нуля, непрерывны справа и имеют конечные пределы слева, называется процессомЛеви.Важным примером случайного процесса с непрерывными траекториями, который можно рассматривать как модель непрерывного хаотического движения, является винеровский процесс, служащий для описания координаты частицы, подверженной броуновскому движению.Определение 1.8.7.
Процесс Леви Wa,σ2 (τ ), a ∈ IR, σ > 0, такой, что при t > 0 проекция Wa,σ2 (t) имеет нормальное распределениес параметрами at и σ 2 t, называется винеровским процессом или процессом броуновского движения с коэффициентами сноса a и диффузииσ 2 . Винеровский процесс W0,1 (τ ) называется стандартным винеровскимпроцессом.Еще одним случайным процессом, широко используемым в качествематематической модели хаотических потоков событий, является пуассоновский пpоцесс (см. ниже).1.8. Случайные процессы87Определение 1.8.8.
Процесс Леви Nλ (τ ) называется пуассоновским процессом с параметром λ > 0, если при t > 0 проекция Nλ (t)имеет пуассоновское распределение с параметром λt.Можно показать, что пуассоновский процесс является целочисленным и обладает неубывающими кусочно постоянными траекториями.Заметим, что λ имеет смысл сpеднего числа скачков пуассоновского пpоцесса за единицу вpемени.
Паpаметp λ называется интенсивностью пуассоновского пpоцесса. Пуассоновский процесс с единичнойинтенсивностью договоримся называть стандартным пуассоновскимпроцессом.881. Основные понятия теории вероятностейГлава 2Некоторые свойства случайныхсумм2.1Элементарные свойства случайныхсуммПусть X1 , X2 , . . . – последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. Пусть N – неотрицательная целочисленная случайная величина. Предположим, что случайные величиныN, X1 , X2 , . . .
определены на одном и том же вероятностном пространстве (Ω, A, P) и независимы. Под случайной суммой SN = X1 + . . . + XNмы будем понимать случайную величину, которая при каждом ω ∈ Ωпринимает значение X1 (ω) + . . . + XN (ω) (ω). Для определенности мыPполагаем 0k=1 = 0.Обозначим pn = P(N = n), n = 0, 1, 2, . . . Производящую функциюслучайной величины N обозначим ψ(s), |s| ≤ 1. Функцию распределения, плотность (если она существует) и характеристическую функциюслучайной величины X1 обозначим соответственно F (x), p(x) и f (t).Основные сведения о распределении случайной суммы содержатся вследующей теореме.Теорема 2.1.1. Справедливы следующие утверждения:◦1 . Функция распределения FSN (x) случайной суммы SN имеет видFSN (x) =∞Xpn F ∗n (x),n=0где F ∗n (x) – n-кратная свертка функции распределения F , причемF ∗0 (x) – функция распределения с единственным единичным скачкомв нуле.89902.
Свойства случайных сумм2◦ . Если p0 > 0, то FSN (x) не является абсолютно непрерывной, дажеесли X1 абсолютно непрерывна. Если p0 = 0 и X1 имеет плотностьp(x), то плотность pSN (x) случайной суммы существует и равнаpSN (x) =∞Xpn p∗n (x),n=1где p∗n (x) – n-кратная свертка p(x).3◦ . Характеристическая функция fSN (t) случайной суммы SN имеетвидfSN (t) = ψ(f (t)).4◦ . Математическое ожидание и дисперсию случайной суммы можновычислить по формуламESN = EN EX1 ,DSN = EN DX1 + DN (EX1 )2при условии, что все величины в правых частях существуют.Д о к а з а т е л ь с т в о. Два первых утверждения просто получаются по формуле полной вероятности.
Докажем пункт 3◦ . Преждевсего заметим, что для n ≥ 1 мы имеемZ∞eitx dF ∗n (x) = E exp{it(X1 + . . . + Xn )} = f n (t),t ∈ IR.−∞Поэтому по пункту 1 мы получаемZ∞Z∞itxfSN (t) =−∞=∞Xn=0−∞Z∞eitx dF ∗n (x) =pn−∞µX∞eitx de dFSN (x) =∞X¶pn F ∗n (x) =n=0pn f n (t) = ψ(f (t)).n=0Теперь докажем пункт 4◦ .
Чтобы получить ESN , воспользуемся хорошо известным свойством характеристических функций и только чтодоказанным утверждением. Мы получаем¯¯¯1 dfSN (t) ¯¯1 dψ(f (t)) ¯¯1 dψ(f (t)) df (t) ¯¯·ESN = ·= ·= ·=¯¯idt t=0idtidf (t)dt ¯t=0t=01= EN · iEX1 = EN EX1 .i2.1. Элементарные свойства случайных суммТаким же образом вычислим и дисперсию случайной величины SN .Имеем2ESN¯µ¶¯d dψ(f (t)) df (t) ¯¯d2 fSN (t) ¯¯=−=−·=dt2 ¯t=0dtdf (t)dt ¯t=0µd2 ψ(f (t))df (t)=−2 ·dtd(f (t))¶2 ¯¯¯¯¯dψ(f (t)) d2 f (t) ¯¯−=·df (t)dt2 ¯t=0t=0= EN (N − 1)(EX1 )2 + EN EX12 = EN 2 (EX1 )2 + EN DX1 .Поэтому2− (ESN )2 = EN 2 (EX1 )2 + EN DX1 − (EN )2 (EX1 )2 =DSN = ESN= DN (EX1 )2 + EN DX1 .В этой книге основное внимание будет уделено двум частным типам случайных сумм: пуассоновским (случайным) суммам и геометрическим (случайным) суммам.Пусть случайная величина N имеет распределение Пуассона.
Тогда случайная сумма SN называется пуассоновской случайной суммойили просто пуассоновской суммой. Распределение пуассоновской случайной суммы называется обобщенным пуассоновским (см. следующийраздел). Элементарные свойства пуассоновских сумм описаны в следующей теореме.Теорема 2.1.2. Пусть случайная величина N имеет распределение Пуассона с параметром λ > 0.1◦ . Характеристическая функция пуассоновской случайной суммы SNимеет видfSN (t) = exp{λ(f (t) − 1)}, t ∈ IR.Следовательно, распределение пуассоновской случайной суммы безгранично делимо.2◦ . Если EX12 < ∞, тоESN = λEX1 ,DSN = λEX12 .Более того, если известны моменты EX1k , k = 1, .
. . , n, n ≥ 1, тоnможно вычислить рекуррентно по формулемоменты ESNnESN=λn−1Xk=0kkCn−1ESNEX1n−k ,0ESN= 1.91922. Свойства случайных сумм3◦ . Если αm = EX1m < ∞, m ∈ IN, то семиинварианты κj (SN ),j = 1, . . . , m пуассоновской случайной суммы SN удовлетворяют равенствамκj (SN ) = λαj ,j = 1, . . .
, m.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пункт 1◦ и первое утверждение пункта 2◦ непосредственно вытекают из Теоремы 2.1.1. Чтобы убедиться вбезграничной делимости характеристической функции fSN , заметим,что для любого n ∈ IN справедливо соотношение fSN = (gn (t))n , гдеgn (t) = exp{ nλ (f (t) − 1)} – характеристическая функция пуассоновской случайной суммы X1 + . . . + XNn , в которой случайная величинаNn имеет распределение Пуассона с параметром λ/n и независима отX1 , X2 , . . .
Чтобы получить формулу для дисперсии пуассоновской случайной суммы, напомним, что EN = DN = λ, и используем пункт 4◦Теоремы 2.1.1, в соответствии с которымDSN = DN (EX1 )2 + EN DX1 = λ((EX1 )2 + DX1 ) = λEX12 .Чтобы доказать второе утверждение пункта 2◦ , прежде всего заметим,что из пункта 1◦ вытекает, чтоdfSN (t)df (t)= λfSN (t) ·.dtdtТеперь, используя формулу Лейбница для производных высших порядков, мы получаемnin ESN=¯µ¶¯dn fSN (t) ¯¯dn−1 dfSN (t) ¯¯==¯dtn ¯t=0 dtn−1dtt=0¯µ¶¯n−1Xdn−1df (t) ¯¯dk (fSN (t)) dn−k f (t) ¯¯nk·= λ n−1 fSN (t) ·=iλC=n−1dtdt ¯t=0dtkdtn−k ¯t=0k=0= in λn−1XkkCn−1ESNEX1n−k .k=0Третий пункт вытекает из определения семиинвариантов и соотношенийmXαjfX1 (t) = 1 +(it)j + o(|t|m ), t → 0,j=1 j!log fSN (t) = λ(fX1 (t) − 1) = λmXαjj=1j!(it)j + o(|t|m ).2.1.
Элементарные свойства случайных сумм93Мы здесь не рассматриваем асимптотические свойства пуассоновских случайных сумм, так как они будут подробно описаны в следующих разделах.Теперь рассмотрим геометрические случайные суммы. Если случайная величина N имеет геометрическое распределениеP(N = n) = p(1 − p)n ,n = 0, 1, 2, . . . ,(2.1.1)то случайная величина SN называется геометрической случайной суммой или просто геометрической суммой.Несложно видеть, что производящая функция геометрического распределения имеет видpψN (s) = EsN =,(2.1.2)1 − (1 − p)sтогда как1−p1−p,DN =.(2.1.3)pp2В соответствии с Теоремой 2.1.1 характеристическая функция геометрической случайной суммы имеет видpfSN (t) =.(2.1.4)1 − (1 − p)f (t)EN =Пусть G(x) – функция распределения стандартного показательногораспределения, то есть G(x) = 1 − e−x при x ≥ 0 и G(x) = 0 при x < 0.Асимптотическое поведение геометрических случайных сумм описанов следующей теореме.Теорема 2.1.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
