korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (811435), страница 10
Текст из файла (страница 10)
И. Г. Шевцовой удалось получитьоценку C ≤ 0.7056 (Шевцова, 2006б). Следует отметить, что в шестипоследних работах использовался один и тот же подход, предложенныйеще в 1966 г. В. М. Золотаревым (описание этого подхода можно найти,например, в книге (Золотарев, 1986)).В основе доказательства оценки, полученной в работе (Шевцова,2006б), лежит неравенство сглаживания Золотарёва (Золотарев, 1966),(Zolotarev, 1967), улучшенное П. Ван Бееком (Van Beek, 1971), (VanBeek, 1972), а также результат Г. Правитца, который в 1972 г. показал, что, если L3n ≤ 0.1, то ρ(Fn , Φ) ≤ 0.51513 · L3n (Prawitz, 1972).По-видимому, по какой-то причине этот результат Правитца выпал изполя зрения И.
С. Шиганова, соответствующая модификация алгоритма которого позволила И. Г. Шевцовой получить уточненную оценку.Доказательство последнего результата существенно опирается на вычисления, произведенные при помощи компьютера. Ниже мы опишемлишь ключевые этапы доказательства.1.6. Неравенство Берри–ЭссеенаДля удобства изложения, не ограничивая общность, будем считать,что σ 2 = 1, и от параметров β 3 и n перейдем к эквивалентной параметризации ε = L3n и n. Для каждого фиксированного ε и n существуетчисло D(ε, n), такое что ρ ≤ D(ε, n)ε, поэтому абсолютная постояннаяC из неравенства (1.6.5) может быть вычислена какC = sup D(ε),D(ε) = sup D(ε, n),εnпри этом предполагается, что супремум по всем распределениям с фиксированным ε и n уже взят.Для оценивания величины D(ε, n) используется неравенство сглаживания Золотарёва, для формулировки которого нужны дополнительные обозначения.
Пусть p(x) ∈ L1 – некоторая интегрируемаяфункция. Обозначим ее преобразование ФурьеZeitx p(x)dxbp(x)=Rи норму kpk = |p(x)|dx. Для произвольных x, y > 0 введём функцииV (x) = x · v(x),v(x) =Z x0p+ (u)du,p+ (u) = max{p(u), 0},Z ∞1δ(t)2bq(y) = √dt, δ(t) = |fn (t) − e−t /2 |,|p(t/y)|t2π 0где fn (t) – характеристическая функция, соответствующая функциираспределения Fn (x). Обозначим через Λ класс всех непрерывных симметричных функций p ∈ L1 , таких что pb ∈ L1 .В работе (Золотарев, 1966) доказано, что для любых y > 0, x > χpи p ∈ Λ имеет место неравенствоsD(ε, n) ≤2 V (x)/y + q(y)·,π ε(4v(x) − kpk)где χp – единственный положительный корень уравнения4v(x) − kpk = 0(если таковой существует).Зависимость оценки D(ε, n) от n характеризует поведение функцииδ(t), для которой в (Золотарев, 1966) приведены следующие оценки:√1◦ .
Для |t| < 2nδ(t) ≤ δ1 (t) = e−t2 /2(exp{t2 τ (|t|, ε, n)} − 1),5556где1. Основные понятия теории вероятностей"Ã!#ε|t|nt2t2τ (|t|, ε, n) =− 2 ln 1 −+.6t2n2n2◦ . Для всех t ∈ IRδ(t) ≤ δ2 (t) = e−t2 /2(exp{kε|t|3 /2} + 1),гдеk = 4 sup{(cos x − 1 + x2 /2)/x3 } ≈ 0.396648.x>0◦3 . Для всех t ∈ IR2 /2δ(t) ≤ δ3 (t) = 1 + e−t.Подставляя в функцию q(y) величину δ0 (t) = min{δ1 (t), δ2 (t), δ3 (t)},получаем функцию q(y, ε, n), также зависящую от ε и n. При этом дляD(ε, n) остается справедливой оценкаs2 V (x)/y + q(y, ε, n)·≡ D(ε, n, x, y, p),πε(4v(x) − kpk)так что мы можем положить при каждом ε и nD(ε, n) ≤D(ε, n) = inf{D(ε, n, x, y, p) : y > 0, x > χp , p ∈ Λ}.Найдем теперь при каждом фиксированном ε супремум по n определенной таким образом функции D(ε, n).
Заметим, что β 3 ≥ 1 всилу моментных условий (1.6.1), поэтому супремум берётся по n ≥max{1, d1/ε2 e}, где dxe – минимальное целое, превосходящее, либо равное x. Заметим далее, что D(ε, n, x, y, p) зависит от n только черезфункцию δ0 (t), причем монотонно. Из представления∞ε|t|t2 X1τ (|t|, ε, n) =+64n r=2 rÃt22n!r−2,очевидно, вытекает, что τ (|t|, ε, n), а значит, и δ1 (t) монотонно убываетпо n при каждом фиксированном ε. Поскольку с ростом n множество,по которому берется минимум√(min{δ1 (t), δ2 (t), δ3 (t)}, |t| < 2n;√δ0 (t) =min{δ2 (t), δ3 (t)},|t| ≥ 2nрасширяется, величина δ0 (t), а значит, и D(ε, n, x, y, p) монотонно убывает с ростом n при каждом фиксированном ε.
Отсюда вытекает, чтоsupn D(ε, n) достигается при n = max{1, d1/ε2 e}, так чтоD(ε) = D(ε, max{1, d1/ε2 e}).1.6. Неравенство Берри–Эссеена57В работах (Золотарев, 1966) и (Шиганов, 1982) приведено следующее неравенство, позволяющее оценить второй супремум C = supε D(ε)по значениям D(ε) только в конечном числе точек: для любых ε1 ≤ ε ≤ε2 справедливо соотношениеD(ε) ≤ D(ε2 ) ·ε2.ε1Поскольку равномерное расстояние между двумя функциями распределения не превосходит единицы, для любого ε можно требоватьвыполнения неравенства Cε ≤ 1, из которого вытекает, что достаточнорассматривать ε ≤ 1/0.7655 < 1.4173.
Кроме того, как показано в работе (Prawitz, 1972), C ≤ 0.5152 при ε ≤ 0.1, так что для доказательстватребуемой оценки достаточно рассматривать только ε ∈ (0.1, 1.4173].Ядро p(x) выбирается таким же, как и в работе (Шиганов, 1982):p(x) = 0.5(p1 (x + a1 ) + p1 (x − a1 ) + a3 (p1 (x + a2 ) + p1 (x − a2 ))),где a1 , a2 , a3 – действительные числа,p1 (x) =sin x.2πx(1 − x2 /π 2 )Преобразование Фурье такого ядра имеет видbp(t)= pb1 (t)(cos(a1 t) + a3 cos(a2 t)),pb1 (t) = cos2 (πt/2)1(|t| ≤ 1),где 1(·) – индикаторная функция. Легко видеть, что функция p(x) симметрична по a1 и a2 , поэтому достаточно рассматривать, только неотрицательные a1 , a2 . Кроме того, можно убедиться, что χp < ∞ тогдаи только тогда, когда a3 > −1. Таким образом, задача минимизациифункционала D(ε, n, x, y, p) свелась к задаче минимизации функцииD(ε, n, x, y, a1 , a2 , a3 ) пяти аргументов x > χp , y > 0, a1 ≥ 0, a2 ≥0, a3 > −1 при фиксированных ε и n.Численная оптимизация проводилась на компьютере.
При написании соответствующей программы использовалась библиотека математических функций GNU Scientific Library (GSL), из которой были взятыпроцедуры для вычисления интегралов kpk, v(x) и q(y) и минимизациипо методу сопряженных градиентов.В ходе оптимизации оказалось, что экстремальные значения функции D(ε) достигаются при ε ≈ 0.5782 и ε ≈ 0.5047. При этом в качествеx, y, a1 , a2 , a3 можно взятьa) ε = 0.5782: x = 7.7968, y = 14.8491, a1 = 0.3224, a2 = 4.2565, a3 =2.2041, D(ε) = 0.705592;581. Основные понятия теории вероятностейб) ε = 0.5047: x = 7.7147, y = 16.4049, a1 = 2.3050, a2 = 5.2758, a3 =0.5176, D(ε) = 0.705593.В отличие от работы Шиганова, где супремум D(ε) достигался приε → 0, в работе Шевцовой, учитывающей результат (Prawitz, 1972),супремум D(ε) достигается при ε, отделённых от нуля. При этом предположение В. М.
Золотарёва о том, что “глобальный” супремум D(ε)достигается при ε → 0 (см., например, (Шиганов, 1982)), позволяетнадеяться, что данный метод в принципе может привести к снижениюверхней оценки постоянной C как минимум до 0.5152 за счет расширения класса рассматриваемых ядер p.1.6.3Уточнения неравенства Берри–ЭссеенаНаряду с уточнениями неравенства (1.6.5) за счет более аккуратного оценивания C, были предприняты многие попытки его уточненияза счет усовершенствования его структуры. В частности, в 1966 г.В. М.
Золотарев доказал неравенство³´ρ(Fn , Φ) ≤ 0.8197L3n + 0.5894(L3n )4/3 + O (L3n )5/3 ,L3n → 0.Развивая идею о том, что оптимальная структура оценки точности нормальной аппроксимации должна включать член вида L3n с оптимальнойконстантой C1 плюс “добавка”, убывающая быстрее, чем n−1/2 , В. Бенткус (Bentkus, 1991), (Bentkus, 1994) показал, что существует положительная постоянная C, обеспечивающая оценкуÃ|Fn (x) − Φ(x)| ≤!1√ + φ(x) L3n + C(L3n )5/3 ,6 2πиз которой вытекает, что7L3ρ(Fn , Φ) ≤ √ n + C(L3n )5/36 2πÃ!7√ = 0.4654... .6 2πНаконец, недавно Г.
П. Чистяков доказал, что в указанных предположениях существует абсолютная постоянная Ce такая, чтоe 3 )40/39 | log L3 |7/6ρ(Fn , Φ) ≤ C1 L3n + C(Lnn(Чистяков, 2001).Приведенные выше результаты являются универсальными, онисправедливы при любых распределениях слагаемых с конечным третьим моментом. Однако, в такой их универсальности заключен и их1.6. Уточнения неравенства Берри–Эссеена59недостаток: во многих практических ситуациях приведенные вышеоценки являются слишком грубыми. Без дополнительных предположений абсолютная константа при первом слагаемом в правой части неравенства Чистякова, убывающем как O(n−1/2 ), не может быть уменьшена. Таким образом, по сути единственный путь существенного уточнения упомянутых результатов заключается в рассмотрении достаточнообщих частных случаев.В некоторых конкретных (также достаточно общих) ситуациях, когда имеется некоторая дополнительная информация о распределениислагаемых, эти оценки можно уточнить.
В частности, В. Бенткус показал, что если слагаемые Xj имеют симметричное распределение, тосуществует абсолютная постоянная Cb такая, чтоL3b 3 )4/3ρ(Fn , Φ) ≤ √ n + C(Ln2π(Bentkus, 1991), (Bentkus, 1994). Обратим внимание на то, что в работахЧистякова и Бенткуса не приведены численные оценки констант C,b что не позволяет применять на практике эти замечательныеCe и C,теоретические результаты.Накладывая другие условия, оценки точности нормальной аппроксимации можно уточнить весьма существенно. В этом нас убеждаетхорошо известный результат К.-Г.
Эссеена, согласно которому, еслираспределение слагаемых Xj не является решетчатым, то при n → ∞EX132Fn (x) − Φ(x) = 3 √(1 − x2 )e−x /2 + o(n−1/2 )6σ 2πn(1.6.6)равномерно по x ∈ IR (Esseen, 1945), см. также (Феллер, 1967). Легковидеть, что2sup |1 − x2 |e−x /2 = 1.xТаким образом, учитывая, что |EX13 | ≤ E|X1 |3 , из (1.6.6) мы получаемнеравенствоL3(1.6.7)ρ(Fn , Φ) ≤ √n + Rn ,6 2πсправедливое для случая нерешетчатого распределения слагаемых, гдеRn = o(n−1/2 ) при n → ∞. Более того, из (1.6.7) вытекает соотношение1lim sup L−3< 0.0665,n ρ(Fn , Φ) ≤ √n→∞6 2π(1.6.8)√то есть для случая нерешетчатых слагаемых число 1/(6 2π) < 0.0665является асимптотической абсолютной постоянной в аналоге неравенства Берри–Эссеена.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
