korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (811435), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Тогда, используя равенстваEeiXY = EfY (X) = EfX (Y ),получим равенство ПарсеваляZ∞Z∞fY (t)dFX (t) =−∞fX (t)dFY (t).(1.4.27)−∞Одним из вариантов записи равенства Парсеваля является формулаобращения со сглаживанием:∞1 Z(x − t)2√exp { −}dF (t) =2σ 2σ 2π −∞∞1 Zσ 2 t2=}f (t)dt, σ > 0.exp { − itx −2π2(1.4.28)−∞Теорема 1.4.7. Функция распределения F (x) с характеристической функцией f (t) абсолютно непрерывна тогда и только тогда, когда функция |f (t)|2 абсолютно интегрируема.

При этом для плотности p0 (x) = F (x) справедливо равенство ПарсеваляZ∞∞1 Zp (x)dx =|f (t)|2 dt.2π2−∞−∞441. Основные понятия теории вероятностейТеорема 1.4.8. Если X и Y – независимые случайные величины иFX (x), FY (x) – их функции распределения, а fX (t) и fY (t) – их характеристические функции, то сумма X + Y имеет функцию распределенияZ∞FX+Y (x) ≡ FX ∗ FY (x) =Z∞FX (x − y)dFY (y) =−∞FY (x − y)dFX (y),−∞называемую свeрткой или композицией функций распределенияFX (x) и FY (x), и характеристическую функциюfX+Y (t) = fX (t) · fY (t).Если X и Y – неотрицательные целочисленные случайные величины сраспределениямиpk = P(X = k), qk = P(Y = k), k = 0, 1, 2, . . .и производящими функциями ψX (s) и ψY (s), то распределение суммыX + Y имеет видP(X + Y = k) =kXpl qk−l ,l=0причем производящая функция суммы X + Y равнаψX+Y (s) = ψX (s)ψY (s).1.5Сходимость случайных величин и ихраспределенийПоследовательность функций распределения Fn (x), n = 1, 2, .

. . сходится в основном к функции распределения F (x), если при n → ∞Fn (x) −→ F (x)для всех x, которые являются точками непрерывности предельнойфункции распределения F (x). Для сходимости функций распределенияв основном достаточно сходимости на счётном всюду плотном множестве действительной прямой IR.1.5. Сходимость случайных величин и их распределенийПоследовательность функций распределения Fn (x), n = 1, 2, . .

. слабо сходится к функции распределения F (x), если при n → ∞Z∞Z∞g(x)dFn (x) −→−∞g(x)dF (x)−∞для любой непрерывной и ограниченной функции g(x) на действительной прямой.Слабая сходимость и сходимость в основном функций распределения эквивалентны и в дальнейшем будут обозначаться символомFn (x) =⇒ F (x).Пусть X1 , X2 , . . . – последовательность случайных величин с функциями распределения F1 (x), F2 (x) .

. ., Fn (x) = P(Xn < x), и X – случайная величина с функцией распределения F (x) = P(X < x). Слабая сходимость функций распределения F1 (x), F2 (x) . . . к F (x) означает, чтоEg(Xn ) → Eg(X)для любой непрерывной и ограниченной функции g(x) на действительной прямой. В этом случае говорят, что последовательность случайныхвеличин X1 , X2 , . . . сходится по распределению к случайной величинеX.

Этот факт мы также будем обозначать символомXn =⇒ X.Пусть X1 , X2 , . . . – последовательность случайных величин. Будемговорить, что эта последовательность сходится по вероятности к случайной величине X и писатьPXn −→ X, n → ∞,еслиP(|Xn − X| ≥ ²) → 0,для любого числа ² > 0. Из сходимости по вероятности следует сходимость по распределению. Обратное утверждение неверно, за исключением случая, когда имеет место сходимость к постоянной.Теорема 1.5.1.

Пусть X1 , X2 , . . . и Y1 , Y2 , . . . – последовательности случайных величин, определённых на одном и том же вероятностном пространстве. Если последовательность случайных величинX1 , X2 , . . . слабо сходится к случайной величине X иPYn −→ 0, n → ∞,45461. Основные понятия теории вероятностейто и последовательность случайных величин Xn +Yn тоже слабо сходится к случайной величине X.Будем говорить, что последовательность случайных величинX1 , X2 , . . .

сходится по вероятности к бесконечности (или неограниченно возрастает по вероятности), если для любого M > 0 выполняетсяP(|Xn | < M ) −→ 0 при n → ∞.Семейство функций распределения {Fθ (x), θ ∈ Θ} слабо компактно, если любая последовательность функций распределения из этого семейства содержит слабо сходящуюся к функции распределения подпоследовательность.

Предельная функция распределения не обязана принадлежать данному семейству. В дальнейшем мы будем часто использовать следующие кpитеpии слабой компактности. Пусть {Xθ , θ ∈ Θ} –семейство случайных величин, Fθ (x) и fθ (s) – функции pаспpеделенияи хаpактеpистические функции, соответствующие случайным величинам Xθ .Теоpема 1.5.2. Следующие утвеpждения эквивалентны:◦1 семейство {Fθ (x), θ ∈ Θ} слабо компактно;2◦ lim sup P(|Xθ | > R) = 0;R→∞ θ∈Θ◦3 семейство {fθ (s), θ ∈ Θ} pавностепенно непpеpывно в точке s = 0.Семейство функций распределения {Fθ (x), θ ∈ Θ} называетсяплотным, если для каждого ² > 0 можно указать такое число K² > 0,чтоsup (1 − Fθ (K² ) + Fθ (−K² )) ≤ ².θ∈ΘФундаментальную роль в вопросах слабой сходимости играет следующая теорема Ю.

В. Прохорова.Теорема 1.5.3. Семейство функций распределения слабо компактно тогда и только тогда, когда оно плотно.Основой метода характеристических функций, эффективно применяемого при доказательстве утверждений о сходимости распределенийтех или иных случайных величин, и прежде всего, сумм независимых случайных величин, является следующее утверждение, называемое теоремой непрерывности соответствия распределений и их характеристических функций.Теорема 1.5.4. Пусть F (x), F1 (x), F2 (x), . . . – функции распределения, f (t), f1 (t), f2 (t), . .

. – соответствующие им характеристическиефункции. ЕслиFn (x) =⇒ F (x),(1.5.1)1.5. Сходимость случайных величин и их распределений47тоfn (t) → f (t)(1.5.2)равномерно относительно t в любом конечном интервале.Обратно, пусть f1 (t), f2 (t), . . . – последовательность характеристических функций, а F1 (x), F2 (x), . .

. – последовательность соответствующих им функций распределения. Если имеет место сходимость(1.5.2) к некотоpой функции f (t), непрерывной в точке t = 0, то существует функция распределения F (x) такая, что имеет место сходимость (1.5.1), пpичемZ∞eitx dF (x).f (t) =−∞В качестве примера использования этой теоремы мы сейчас докажем закон больших чисел в форме А. Я.

Хинчина. Законами большихчисел называются утверждения о сближении средних араифметических случайных величин со средними арифметическими их математических ожиданий по мере увеличения числа слагаемых в среднемарифметическом.Теорема 1.5.5. Пусть X1 , X2 , . . . – независимые одинаково распределенные случайные величины с конечным математическим ожиданием EX1 = a. Тогда для любого ² > 0¯µ¯ X¶¯1 n¯¯¯P ¯Xj − a¯ > ² −→ 0n j=1при n → ∞Доказательство. Характеристическую функцию случайной величины X1 обозначим f (t),t ∈ IR. Тогда по формуле 1.1.39 мы имеемf (t) = 1 + iat + o(t)при t → 0 и, следовательно,½¾n³t´h³ t ´int1X= 1 + ia + o−→ eiatE exp itXj = f nn j=1nnnпри n → ∞. Но в правой части последнего соотношения стоит характеристическая функция распределения, вырожденного в точке a.

Такимобразом, по теореме 1.5.4 средние арифметические независимых одинаково распределенных случайных величин X1 , . . . , Xn слабо сходятсяк постоянной случайной величине, вырожденной в точке a. Но, как мы481. Основные понятия теории вероятностейотмечали выше, слабая сходимость к константе эквивалентна сходимости по вероятности.

Теорема доказана.Приведём еще один пример использования теоремы 1.5.4.Теорема 1.5.6. Пусть случайная величина Xλ имеет распределение Пуассона с параметром λ > 0. Тогда распределение нормированнойслучайной величиныXλ − λXλ∗ = √λслабо сходится к стандартному нормальному закону при λ → ∞.Доказательство.

Так как характеристическая функция стан2дартного нормального распределения равна e−t /2 , то, применяя теорему 1.2.5, достаточно показать, что при каждом фиксированном t ∈ IR∗fλ∗ (t) = EeitXλ → e−t2 /2, λ → ∞.Характеристическая функция распределения Пуассона имеет видfλ (t) = EeitXλ = e−λ∞Xk=0eitkλk= exp {λ(eit − 1)}.k!(1.5.3)Поэтому√λfλ∗ (t) = e−it√−1/2fλ (tλ−1/2 ) = exp { − it λ + λ(eitλ− 1)}.Но(is)2+ o(s2 ), s → 0.2−1/2Таким образом, полагая s = tλ, пpи λ → ∞ мы получаем√2fλ∗ (t) = exp { − it λ + λ(itλ−1/2 + (it)2 (2λ)−1 + o(t2 λ−1 ))} → e−t /2 .eis = 1 + is +Теорема доказана.Следующие простые теоремы часто оказываются полезными.Теорема 1.5.7.

Если последовательность функций распределенияF1 (x), F2 (x), . . . сходится к непрерывной функции распределения F (x),то эта сходимость равномерна по x ∈ IR.Теорема 1.5.8. Пусть p(x), p1 (x), p2 (x), . . . – последовательностьплотностей иpn (x) −→ p(x), n → ∞,для всех действительных x за исключением множества значений xнулевой лебеговой меры. ТогдаZZpn (x)dx −→Ap(x)dxA1.5. Сходимость случайных величин и их распределенийравномерно относительно всех борелевских множеств A на действительной прямой.Пусть F (x) и G(x) – две функции распределения.

Метрика ЛевиL1 (F, G) между функциями распределения F (x) и G(x) определяетсякак точная нижняя грань множества значений h, для которых F (x −h) − h ≤ G(x) ≤ F (x + h) + h при всех x:L1 (F, G) = inf{h : F (x − h) − h ≤ G(x) ≤ F (x + h) + h, ∀x ∈ IR}.Метрика Леви L1 (F, G) имеет смысл стороны наибольшего квадрата состоронами, параллельными координатным осям, который можно вписать между графиками функций распределения F и G.Элементарно доказывается, что1. L1 (F, G) = 0 ⇐⇒ F (x) ≡ G(x).2. L1 (F, G) = L1 (G, F ).3. L1 (F, H) ≤ L1 (F, G) + L1 (F, H).Метpика Леви метpизует слабую сходимость: для слабой сходимости функций распределения Fn (x) к функции распределения F (x) необходимо и достаточно, чтобыL1 (Fn , F ) −→ 0.Теорема 1.5.9.

Характеристики

Список файлов книги