korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (811435), страница 4
Текст из файла (страница 4)
В частности, для этих целей можно использоватьматематические методы.Математика предоставляет средства описания окружающей действительности, которые являются универсальными в том смысле, чтоони с одинаковым успехом могут быть использованы в самых разныхобластях – от физики, техники, биологии и медицины до страхования,финансов и юриспруденции. К разделам математики, изучающим механизмы проявления принципиально неустранимой неопределенности,можно отнести и теорию вероятностей.Теория вероятностей изучает свойства математических моделейслучайных явлений или процессов. Под случайностью мы будем понимать принципиально неустранимую неопределенность.
С помощьюпонятий и утверждений теории вероятностей можно описать сами механизмы проявления неопределенности, выявить закономерности в проявлениях случайности.Любая математическая теория устроена следующим образом. Фундаментом каждой такой теории является набор аксиом, то есть не противоречащих друг другу утверждений или принципов, заведомо считающихся верными и принимаемых без доказательств. Из этих аксиом спомощью логических переходов конструируются понятия и утверждения соответствующей теории. Разные наборы аксиом ведут к разнымматематическим теориям, которые могут описывать одни и те же процессы и явления. При этом практическая полезность или эффективность той или иной математической теории определяется удобствомее применения и ее адекватностью, то есть степенью согласованностиполучаемых с ее помощью выводов со свойствами описываемой ею реальности, наблюдаемыми на практике.Имеется довольно много математических теорий, описывающихсвойства тех или иных математических моделей случайных явленийили процессов.
В каждой из этих теорий так или иначе присутствует понятие вероятности как числового выражения меры возможностиосуществления того или иного события, связанного с неопределеннойситуацией. Другими словами, имеется несколько теорий вероятностей.В данной книге мы будем иметь дело с теорией вероятностей, основанной на системе аксиом, которая была предложена в 20-х – 30-х годах XXстолетия великим русским математиком Андреем Николаевичем Кол-1.1. Стохастические ситуации и вероятностные модели17могоровым1 Как правило, именно эта теория и называется собственнотеорией вероятностей.
За другими теориями вероятностей закрепленыособые названия, например, теория субъективных вероятностей, интервальная теория вероятностей и т. п.В данной главе мы приводим те сведения из теории вероятностей,которые будут существенно использоваться в дальнейшем. Мы опускаем доказательства теорем. В случае необходимости их можно найти вкнигах (Крамер, 1975), (Ширяев, 1989), (Феллер, 1984). Читатель, хорошо знакомый с теорией вероятностей, может пропустить эту главу ивозвращаться к ней за справками лишь по мере необходимости.Пусть Ω – непустое множество, элементы которого будут обозначаться ω. Мы будем отождествлять элементы ω с возможными элементарными, то есть неделимыми исходами некоторой стохастическойситуации. В связи с этим множество Ω будет называться множествомэлементарных исходов.Пусть U – множество подмножеств множества Ω элементарных исходов, обладающее свойствами• Ω ∈ U;• если B ∈ U, то B c ∈ U;• если Bi ∈ U, i = 1, 2, .
. ., то∞[i=1Bi ∈ U,∞\Bi ∈ U.i=1Множество U называется σ-алгеброй событий, а его элементы (являющиеся подмножествами множества Ω) называются событиями.Множество Ω вместе с σ-алгеброй его подмножеств образуют измеримое пространство (Ω, U).Мера, то есть σ-аддитивная функция множеств, P, определеннаяна U и нормированная условием P(Ω) = 1, называется вероятностноймерой или вероятностью.
Напомним, что свойство σ-аддитивности,также называемое счетной аддитивностью, заключается в следующем:1[1] А. Н. Колмогоров. Общая теория меры и исчисление вероятностей. Труды Коммунистической академии. Раздел математики. 1929, т. 1, с. 8-21; также см. А. Н. Колмогоров. Теория вероятностей и математическая статистика. “Наука”, Москва, 1986, с.
48-58. [2] A. Kolmogoroff. Grundbegriffe derWahrsgheinlichkeitsrechnung. Berlin, Springer, 1933; также см. А. Н. Колмогоров. Основные понятия теории вероятностей. ОНТИ, Москва–Ленинград, 1936; 2-е издание: “Наука”, Москва, 1974; 3-е издание: “Фазис”, Москва, 1998.181. Основные понятия теории вероятностейесли A1 , A2 , . . . – события (Ai ∈ U ), причем Ai ∩ Aj = Ø при i 6= j, тоPµ[∞i=1¶Ai =∞XP(Ai ).i=1Для B ∈ U значение P(B) называется вероятностью события B. Тройка (Ω, U, P) называется вероятностным пространством или вероятностной моделью.Этот курс предназначен для математиков-прикладников, для которых вопрос адекватности тех или иных математических моделей реальных ситуаций представляет особую важность.
Сейчас мы опишемте свойства, которые должны быть присущи реальной неопределеннойситуации, чтобы ее можно было успешно математически описать наязыке теории вероятностей. Другими словами, мы выделим те неопределенные ситуации, описание которых с помощью теории вероятностейведет к адекватным выводам.Итак, назовем стохастической такую ситуацию, которая характеризуется следующими свойствами или условиями:• непредсказуемость: исход ситуации невозможно заранее предсказать с абсолютной точностью;• воспроизводимость: имеется по крайней мере теоретическаявозможность воспроизвести рассматриваемую ситуацию как угодно много раз в остающихся неизменными условиях;• устойчивость частот: каким бы ни было интересующее нас событие, связанное с рассматриваемой ситуацией, при многократном воспроизведении этой ситуации частота события (то есть отношение количества случаев, в которых наблюдалось рассматриваемое событие, к общему числу воспроизведений ситуации) колеблется возле некоторого числа, приближаясь к нему все ближеи ближе по мере увеличения числа воспроизведений ситуации.Поясним сказанное.
Свойство непредсказуемости довольно очевидно. Если исход ситуации прогнозируем однозначно, то вообще нет никакой необходимости в привлечении аппарата теории вероятностей.Свойство воспроизводимости ситуации является ключевым для того, чтобы быть уверенным в успехе применения аппарата теории вероятностей к ее описанию. Именно это свойство имеют в виду, когда говорят, что теория вероятностей и математическая статистика направленына изучение массовых явлений. В связи с условием воспроизводимостиследует весьма осторожно относиться к попыткам применения теориивероятностей к анализу уникальных явлений или систем.
Например, известны многочисленные попытки дать количественный ответ на вопрос1.1. Стохастические ситуации и вероятностные моделио том, какова вероятность существования во Вселенной других планет,населенных разумными существами. Однако пока нет достаточных оснований считать, что наличие других планет и, тем более, существование на них разумной жизни является массовым явлением. Поэтомусуществующие прогнозы весьма разноречивы и потому неадекватны.Наконец, свойство устойчивости частот позволяет связать математическое определение вероятности события с интуитивным представлением о ней как о понимаемом в определенном смысле пределе частотыосуществления события при неограниченном воспроизведении соответствующей ситуации.События A и B, связанные с некоторой вероятностной моделью(Ω, U, P), называются независимыми, если вероятность их одновременного осуществления равна произведению вероятностей каждого из них:P(A ∩ B) = P(A) · P(B).События A1 , A2 , .
. . , An в вероятностной модели (Ω, A, P) (n ≥ 2)называются независимыми в совокупности, если для любого k ≤ n илюбых индексов i1 , . . . , ik (ip 6= iq при p 6= q и 1 ≤ ip ≤ n, p = 1, . . . , k)µ\kP¶Aip =p=1kYP(Aip ).p=1Пусть A и B – события, причем P(B) 6= 0. Условной вероятностьюA при условии B называется величинаP(A|B) =P(A ∩ B).P(B)Если события A и B независимы, то из определения условной вероятности следует, что P(A|B) = P(A).Из определения условной вероятности также вытекает формулаP(A ∩ B) = P(B) · P(A|B).Эту формулу иногда называют законом умножения вероятностей.В некоторой вероятностной модели (Ω, A, P) рассмотрим событияA1 , A2 , . .
. , An (n ≥ 2), которые обладают следующими свойствами:a) события A1 , A2 , . . . , An несовместны, то есть никакие два из нихне могут произойти одновременно;b) одно из событий A1 , A2 , . . . , An обязательно произойдет, то естьA1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An = Ω, причем P(Ai ) > 0, i = 1, . . . , n.19201. Основные понятия теории вероятностейЕсли события A1 , A2 , . . . , An обладают свойствами a) и b), то говорят,что они образуют полную группу.Пусть B – некоторое событие, а события A1 , A2 , .
. . , An образуютполную группу. В таком случае справедлива формулаP(B) =nXP(B|Ak )P(Ak ),k=1называемое формулой полной вероятности.Пусть B – некоторое событие, имеющее положительную вероятность (P(B) > 0), а события A1 , A2 , . .
. , An образуют полную группу.В таком случае справедлива формулаP(B|Ak )P(Ak )P(Ak |B) = Pn,k=1 P(B|Ak )P(Ak )k = 1, . . . , n,называемая формулой Байеса. Формула Байеса позволяет уточнитьпредставление о вероятности любого из событий, составляющих полную группу, с учетом информации об осуществлении некоторого события.1.2Случайные величины и их распределенияЛюбая вещественная функция X = X(ω), определенная на Ω, отображает множество элементарных исходов во множество вещественных чисел IR.
Пусть A – произвольное множество вещественных чисел: A ⊆ IR.Определим множествоX −1 (A) = {ω : X(ω) ∈ A},являющееся подмножеством множества Ω, называемое прообразом множества A (при преобразовании X).Определим борелевскую σ-алгебру B подмножеств вещественнойпрямой IR как наименьшую σ-алгебру, содержащую все интервалы. Любой элемент борелевской σ-алгебры называется борелевским множеством. Таким образом, любое борелевское множество можно построитьиз интервалов с помощью операций дополнения, счетного объединенияили счетного пересечения.Если X −1 (A) ∈ U для любого борелевского множества A ∈ B, тофункция X(ω) называется измеримой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
