korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (811435), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Поскольку e−λ → 0 при λ → ∞, функцияраспределения Fλ (x) становится “все более и более” абсолютно непрерывной при возрастании λ. С другой стороны, как мы уже убедились,при λ → ∞ функция распределения Fλ (x) асимптотически нормальна(см. раздел 2.4.1). Следовательно, абсолютно непрерывная компонента Hλ функции распределения Fλ асимптотически нормальна. В этомразделе мы распространим результаты, приведенные в разделе 1.6.3, напуассоновские случайные суммы и построим оценки скорости сходимости функций распределения Fλ (x) к стандартной нормальной функциираспределения Φ(x) при условии абсолютной непрерывности распределений слагаемых.Характеристическую функцию, соответствующую функции распределения Hλ (x), обозначим hλ (t).
Чтобы получить её явное выражение,1371382. Свойства случайных суммзапишем характеристическую функцию fλ (t) в√виде смеси характеристических функций вырожденного в точке (−m λ/m2 ) распределения,вес которого равен e−λ , и абсолютно непрерывного Hλ с весом 1 − e−λ :(Ãimt√ +1fλ (t) = exp −λm2 λ!)+ (1 − e−λ )hλ (t),откуда находим, чтоe−λhλ (t) =exp1 − e−λ½√ ¾"(Ã!)#m λt√− it ·exp λf−1 .m2m2 λЗаметим, что характеристические функции hλ (t) и fλ (t) связаны соотношением√ ¾¶µ½e−λm λhλ (t) − fλ (t) =fλ (t) − exp − it ·.(2.4.39)1 − e−λm2В этом разделе мы будем предполагать, что характеристическаяфункция f (t) случайной величины X1 абсолютно интегрируема, то естьвыполнено условие (2.4.29). Как уже было сказано выше, последнееусловие гарантирует абсолютную непрерывность случайной величиныX1 , и, более того, ограниченность ее плотности p(x) числом A ≤ Q/(2π),где число Q определено соотношением (2.4.29).Теорема 2.4.10.
Предположим, что выполнены условия (2.4.27),(2.4.37) и (2.4.29). Тогда для любого λ > 0 справедлива оценкаρ(Fλ , Φ) ≡ sup |Fλ (x) − Φ(x)| ≤x½≤inf√0<d< 2¾(1 − d/3)−3/2√· L3λ + Uλ (Q, m2 , β3 , d) ,6 2πгдеUλ (Q, m2 , β3 , d) = e−λ√ ¶µ 2nΛ61d2 λ oe−λdλ d λ+exp−+++π(1 − e−λ ) 4Λ61Λ31πd2 λ2Λ61()³ 2d ´3 ´3Qm2 Λ31 λ4d2 λ ³+exp−1−.2πd(1 − e−λ )3Q2 m22 Λ61πΛ21√Заметим, что для любого 0 < d <2 второе слагаемоеUλ (Q, m2 , β3 , d) убывает экспоненциально быстро с ростом λ.Поскольку основной вклад в оценку, устанавливаемую Теоремой 2.4.10, вносит первое слагаемое под знаком инфимума в правой2.4.
Асимптотическая ноpмальность пуассоновских сумм139части, медленнее других убывающее по λ, существенную роль играетабсолютная константа в этом слагаемом. С целью сделать вид этой константы более наглядным, мы приведём еще одну, эквивалентную, но, нанаш взгляд, более удобную формулировку Теоремы 2.4.10. Для этогозаметим, что функция(1−d/3)−3/2 непрерывно и монотонно возрастает√на интервале (0, 2), так что её инфимум совпадает с предельным значением в нуле и равен единице.
Поэтому для любого положительногоε найдется единственный корень d = dε уравнения√(1 − d/3)−3/2 = 1 + 6 2πε, ε > 0,√лежащий в интервале (0, 2). Легко видеть, что корень указанногоуравнения равен√dε = 3(1 − (1 + 6 2πε)2/3 ).(2.4.40)С учетом сказанного Теорема 2.4.10 приобретает следующий вид.Теорема 2.4.11.
Предположим, что выполнены условия (2.4.27),(2.4.37) и (2.4.29). Тогда для любого λ > 0 справедлива оценка½Ãρ(Fλ , Φ) ≤ infε>0!¾1√ + ε · L3λ + Uλ (Q, m2 , β3 , dε ) ,6 2πгде dε определено в (2.4.40), а Uλ (Q, m2 , β3 , dε ) – в формулировке Теоремы 2.4.10.Для доказательства Теоремы 2.4.10 нам понадобится пара вспомогательных утверждений.Лемма 2.4.9. Пусть выполнены условия (2.4.27) и (2.4.37). Тогдадля любого t ∈ IR¯¯¯m22 t2 ¯¯ 1¯¯f (t) − 1 − imt +¯ ≤ · β3 |t|3 .¯2 ¯ 6Д о к а з а т е л ь с т в о можно найти, например, в работе (Королеви Шевцова, 2005а).Лемма 2.4.9.Пусть выполнены√ условия (2.4.27) и√(2.4.37). Тогдадля любого λ > 0, и любого d ∈ (0, 2) при |t| ≤ Tλ ≡ d λ/Λ31 справедлива оценка¯¯|t|322¯¯¯fλ (t) − e−t /2 ¯ ≤· L3λ · e−b(d)t ,6где b(d) =1 d− .2 61402.
Свойства случайных суммД о к а з а т е л ь с т в о. Характеристическая функция fλ (t)стандартизованной пуассоновской суммы Seλ равна( à Ãfλ (t) = exp λ ft√m2!!)imt√ −1−λm2 λ.Поэтому¯¯( à Ã!!)¯¯¯¯timtt2¯¯−t2 /2 ¯−t2 /2 ¯√√ −1 +¯exp λ f¯fλ (t) − e¯=e−¯≤−1¯¯2m2 λm2 λ2 /2≤ e−tгдеà Ãh(t) = λ f|h(t)|e|h(t)| ,t√m2(2.4.41)!!imt√ −1 .−λm2 λОценим h(t). Из Леммы 2.4.8 вытекает, что существует такое комплексное число θ, |θ| ≤ 1, чтоf (t) = 1 + imt −m22 t2 θ+ · β3 |t|3 ,26поэтому h(t) можно представить в видеÃt2β3 |t|3h(t) = λ − + θ ·2λ6m32 λ3/2!Λ31 |t|3t2+ =θ· √ ,26 λоткудавытекают справедливые для всех действительных t и для |t| ≤√3d λ/Λ1 , соответственно, оценки|h(t)| ≤Λ31 |t|3√6 λи |h(t)| ≤dt2.6Подставляя их в соотношение (2.4.41), получаем утверждение леммы.Д о к а з а т е л ь с т в о Теоремы 2.4.10.
Из разложения (2.4.38)функции распределения Fλ (x) на дискретную E0 (x) и абсолютно непрерывную Hλ (x) компоненты вытекает, что равномерное расстояние между Fλ и Φ связано с расстоянием между Hλ и Φ неравенствомρ(Fλ , Φ) ≤ e−λ + ρ(Hλ , Φ),так как√sup |E0 (λm + m2 λx) − Φ(x)| ≤ 1.x(2.4.42)2.4. Асимптотическая ноpмальность пуассоновских сумм141Оценим величину ρ(Hλ , Φ) = supx |Hλ (x) − Φ(x)|.Из определения характеристической функции hλ (t) с учетом неравенства |ez − 1| ≤ |z|e|z| , справедливого для любого комплексного z,вытекает оценкаλ|hλ (t)| ≤1 − e−λ¯ Ã!¯¯¯t¯√ ¯¯ ,¯f¯m2 λ ¯из которой в силу абсолютной интегрируемости характеристическойфункции f (t) следует абсолютная интегрируемость и характеристической функции hλ (t). Это свойство hλ (t), а также моментные условия,налагаемые на распределение слагаемых, позволяют воспользоватьсязамечанием к Лемме 12.2 из книги (Бхаттачария и Ранга Рао, 1982),связывающим равномерное расстояние между двумя функциями распределения и разность соответствующих им характеристических функций.
Имеем+∞Z2πρ(Hλ , Φ) ≤−∞|hλ (t) − e−t|t|2 /2|dt ≤ I1 + I2 + I3 ,где+TZ λI1 =−Tλ2 /2|hλ (t) − e−t|t||Zdt,|t|−1 e−tI2 =2 /2dt,|t|>TλI3 = l|t| > Tλ |t|−1 |hλ (t)|dt,Tλ√√d λdm32 λ==.Λ31β3Оценим интегралы I1 , I2 , I3 . Имеем+TZ λI1 ≤−Tλ+T2Z λ|hλ (t) − fλ (t)||fλ (t) − e−t /2 |dt +dt ≡ I11 + I12 .|t||t|−TλЗаметим, что поскольку ESeλ = 0 и DSeλ = 1, то для характеристической функции fλ случайной величины Seλ при всех t ∈ IR справедливонеравенство√2√√|m|t2 √λt|t| ≤ + λ|t|,|fλ (t)−e−itm λ/m2 | ≤ |fλ (t)−1|+|e−itm λ/m2 −1| ≤ +2m22откуда с учетом соотношения (2.4.39) для интеграла I11 вытекает оценка+TZ λI11 =−Tλ+Tλ¯¯√|hλ (t) − fλ (t)|e−λ Z−1 ¯−itm λ/m2 ¯dt ≤|t|¯f(t)−e¯ dt ≤λ|t|1 − e−λ−Tλ1422. Свойства случайных сумм+Tλ µ¶µ 2√ ¶e−λ Z|t| √e−λTλ≤+ λ dt =+ 2Tλ λ =1 − e−λ21 − e−λ 2−Tλ√ ¶µ 2e−λd λ 2d λ=+.1 − e−λ 2Λ61Λ31Величину√ I12 оценим при помощи Леммы 2.4.9.
Поскольку при всех0 < d < 2 функция b(d) = 1/2 − d/6 строго положительна, I12 мажорируется следующим сходящимся интегралом.√√+∞3L3λ ZπΛ2πΛ3121√√I12 ≤·=·.|t|2 e−b(d)t dt =612[b(d)]3/26(1 − d/3)3/2λλ−∞Интеграл I2 оценивается непосредственно:∞∞n2 Z −t2 /22Λ6d2 λ o2 Z −yI2 ≤ 2 tee dy = 2 1 exp − 6 .dt = 2TλTλ 2dλ2Λ1TλОчевидно, что1 ZI3 ≤Tλ|t|>TλTλ /2√m2 λe−λ|hλ (t)|dt =Tλ (1 − e−λ )Z|exp {λf (t)} − 1| dt ≤√m2 λ|t|>Tλm2 Λ31 λe−λ≤d(1 − e−λ )Z|f (t)|eλ|f (t)| dt.|t|>d(Λ31 m2 )−1Для оценки подынтегральной функции мы воспользуемся Следствием 2.5.1 из книги (Ushakov, 1999), согласно которому, если существуетE |X1 |3 ≡ β3 и sup p(x) = A < ∞, то для любого γ ∈ (0, 1)x|f (t)| ≤ 1 −(1 − γ)3 γ 2/3,12A2 (β3 )2/3при |t| >πγ 1/3≡ tγ .2(β3 )1/3Так как Λ31 = β3 /m32 ≥ 1 , то в качестве γ можно взять!3à !3õ √ ¶32d2 22d≤<< 1.γ=2πΛ1ππПри таком выборе γ граница интегрирования d(Λ31 m2 )−1 в точностисовпадает с tγ , и с учетом того, что A ≤ Q/(2π), мы можем продолжитьцепочку оценок для I3 следующим образом:(m2 Λ31 λλ(1 − γ)3 γ 2/3I3 ≤exp−2/3d(1 − e−λ )12A2 β3) +∞Z|f (t)| dt ≤−∞2.4.
Асимптотическая ноpмальность пуассоновских сумм(143)³ 2d ´3 ´34d2 λ ³Qm2 Λ31 λexp−1−≤.d(1 − e−λ )3Q2 m22 Λ61πΛ21Теперь, объединяя оценки для интегралов I11 , I12 , I2 , I3 , подставляя ихв (2.4.42) и замечая, что получившаяся правая часть не зависит от x,мы приходим к утверждению теоремы. Теорема доказанаПусть ελ , λ > 0 – положительная функция, монотонно убывающаяк нулю при λ → ∞. Выберем эту функцию так, чтобы при всех Q, m2и β3Uλ (Q, m2 , β3 , dε ) = o(λ−1/2 ), (λ → ∞)(такой выбор возможен в силу экспоненциально быстрого убыванияфункции Uλ (Q, m2 , β3 , d) при λ → ∞, а также её монотонной и непрерывной зависимости от аргумента d).
Тогда, подставляя указаннуюфункцию ελ в оценку из Теоремы 2.4.11, мы приходим к заключениюо справедливости следующего утверждения.Следствие 2.4.3. В условиях (2.4.27), (2.4.37) и (2.4.29) при λ →∞1ρ(Fλ , Φ) ≤ √ · L3λ + o(L3λ ),6 2πгде C(δ) определено в формулировке Теоремы 2.4.9, причем для величины o(Ln2+δ ) справедливо представлениеo(L3λ ) =β3 ελ√ + Uλ (Q, m2 , β3 , dελ ).m32 λОтсюда вытекает следующая оценка асимптотически наилучшейпостоянной C(1).Следствие 2.4.4. В условиях (2.4.27), (2.4.37) и (2.4.29) справедливо соотношение√m32 λ1C(1) = sup lim supρ(Fλ , Φ) ≤ √ < 0.0665,β36 2πλ→∞где супремум берется по всем распределениям F , удовлетворяющимусловиям (2.4.27), (2.4.37) и (2.4.29), что означает, что для распределений с интегрируемой характеристической функцией C(δ) непрерывна в точке δ = 1.Результат, объявленный в Следствии 2.4.4, полностью согласуетсяс асимптотическим разложением функции распределения Fλ стандартизованной пуассоновской случайной суммы Seλ (см.
раздел 2.5), из которого, в частности, вытекает, что он неулучшаем.1442. Свойства случайных суммРассмотрим подробнее структуру оценки точности нормальной аппроксимации для случая гладких распределений. Стремясь избавитьсяот присутствия ε в формулировке Теоремы 2.4.11, попытаемся уточнить вид члена o(L3λ ) в следствиидля√ 2.4.3. С этой целью заметим, что √ε = ε(d) = ((1−d/3)−3/2 −1)/(6 2π) как функции параметра d ∈ (0, 2)справедлива оценкаε(d) ≤ 0.1637 · d.√В самом деле, поскольку d/3 < 2/3 < 1,Ã−3/2(1 − d/3)= 1 + R1 ,так что при всех d ∈ (0,Ã√dd1−|R1 | ≤233θdR1 =1−23!−5/2d· ,30 < θ < 1,2)!−5/2√ ¶µd2 −5/2≤1−< 2.4613 · d,23поэтому2.4613 · d|R1 |√< 0.1637 · d.ε(d) ≤ √ <6 2π6 2πОчевидно, что порядок, устанавливаемый этой оценкой, правильный,то естьε(d)0 < lim< ∞.d→0 dКроме того заметим, что из Теоремы 2.4.11 вытекает существованиетаких не зависящих от λ и d положительных конечных констант k1 , k2 ,K1 , и K2 , что1Λ3Λ3K1 λK222ρ(Fλ , Φ) ≤ √ · √1 + ε(d) · √1 +e−k1 d λ + 2 e−k2 d λ +−λdλ6 2πλλ d(1 − e )√µ¶d2 λd λ+++ 1 e−λ .(2.4.43)63−λ−λ4πΛ1 (1 − e ) πΛ1 (1 − e )В качестве k1 , k2 , K1 , и K2 , очевидно, можно взятьµµ √ ¶3 ¶340.02632 21k1 =1−= 2 2 6 , k2 =,2 623Q m2 Λ1πQ m2 Λ12Λ61Λ6Qm2 Λ31, K2 = 1 .2ππВыберем функцию d = dλ так, чтобы порядки убывания всех слагаемых, начиная со второго, в соотношении (2.4.43) были бы максимальноK1 =2.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
