Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 76

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 76)

Мы уже имеем значения потоков массы рй (на правой и левой границах ячейки) и рб (на верхней и ни'кней границах ячейки) — это величины П, вычисление которых продемонстрировано выше. Определим теперь правила вычисления величин Д на этих же границах. При этом используем величины Ц в центрах ячеек, где они вычисляются естественным образом: Д, = й,, и т.п. Итак, 0~+иву= Иьэ прн ";+из,т»0' з«;+ьз прн ив~022~0), Д; .»из= Я, прн ч, +пз>0; О,з», при 6, 2»н (О).

После этого уравнение аппроксимируется просто (напомним, что р",+' уже известно): йз(р",",а" — р,,О,,) + (П„н„О,. и„. - П, „„.Ц, „„.) + +(Пл,.н,ав„„,-пь, п,цл, „,) =0. Из этого соотношения вычисляется величина Д«+'. Выше была описана одна из возможных реализаций метода крупных частиц. Многие детали могут быть оформлены иначе. В частности, естественно возникает вопрос: почему для вычисления р,, „.

применялось разложение (слева или справа, в зависимости от направления потока), а для величин, обозначенных Д, — «снос» по потоку на полшага? Теоретических обоснований такого способа, видимо, иет. Схемы, которые условно можно отнести к схемам типа крупных частиц, формировались под воздействием анализа результатов расчетов. С причинами, определившими выбор той или иной расчетной формулы в какой-то мере можно познакомиться в специальной литературе, посвященной методу крупных частиц и практике его применения. Основные черты этой группы методов: расщепление системы уравнений (и связанный с ним «двухэтапный» счет) и наличие «одиоеюронних» разносгных аппроксимаций первых производных, ориентированных против направления потока. Эти особенности приводят к не очень высокой точности метода.

В частности, в методе крупных частиц считается возможным не вводить искусственную вязкость. Функции сглаживания решения берет на себя «счетная вязкость», возникающая в таких «односторонних» схемах. Диверген- 366 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ 1ч. и тность разностной схемы метода крупных частиц также является его характерной чертой, которую обычно сохраняют при различных реализациях. Проблемы геометрии. Одним из наиболее серьезных вопросов, решение которого существенно определяет расчетные схемы, является проблема достаточно аккуратного отражения геометрии течения, если она не слишком проста, Здесь есть два аспекта проблемьп внешняя геометрия течения и внутренняя. Поясним суть дела.

К проблемам внешней геометрии мы отнесем те, которые обычно возникают при решении задач обтекания тел достаточно сложной формы или расчет течений в каналах сложного профиля. Характерным примером является, например, задача обтекания самолета (или даже его части).

Если связать систему координат с обтекаемым телом, то расчет течения газа проводится в области, для которой поверхность тела является границей. На ней ставится достаточно простое «условие непратеканияьи нормальная к поверхности тела компонента скорости равна нулю. Реализация этого условия несложна, когда поверхность тела проходит по линиям счетной сетки, например ) = 1/2. (Читатель без труда внесет необходимые дополнения в описанную выше схему для учета условия О=О иа границе.) Все потоки П, и —— О, и единственная проблема, которая возникает при использовании стандартных формул из-за отсутствия величин в узлах ниже границы, — это отсутствие в них давления. Во всех остальных случаях величины, формально зависящие от значений в узлах, не входящих в область определения сеточных функций, умножаются на нулевой поток массы на границе.

Исключением является величина р, необходимая для аппроксимации члена р в уравнении для ш Однако уравнение (ри), + 1рип)„+1риз) + р =0 на границе при п(г, х, О) =0 превращается в р =О, что дает осно- У ванне полагать р на границе равным значению р в центре ячейки. Однако все это просто в случае, когда граница тела проходит по линиям координатной сетки. А если обтекаемое тело имеет сложную форму? Эта проблема возникла в начале шестидесятых годов, когда мощности ЭВМ уже позволяли приступать к решению двумерных задач обтекания тел.

В то время выявились два направления. В одном направлении используется простая (декартова прямоугольная) система координат и так или иначе решаются проблемы построения аппроксимаций уравнений в нестандартных ситуациях около границы. В другом направлении строится специальная система координат, в которой граница тела является координатной линией. Построение таких сеток, называемых адаптирующимися (к форме тела), — не такое простое Решение двумегных ЭАдАч ГАЭОВОЙ динАмики 367 5 23] дело. Ведь обычно граница тела не задается простой формулой, она может быть даже задана графически. К тому же предьявляются определенные требования к координатной системе: переход от декартовых координат х, у к криволинейным $, з) должен быть по возможности гладким, чему явно препятствует наличие угловых точек на контуре обтекаемого теда.

Итак, первая проблема на этом пути — само построение адаптирующейся сетки. Далее, описание сетки в координатах Р, В состоит в том, что для узлов (г', /) нужно вычислять и хранить в памяти декартовы координаты х,, у, . Они необходимы при построении аппроксимаций уравнений. После перехода к уравнениям газовой динамики в переменных (1, е, у~) вид уравнений резко усложняется: в них появляются выражения х, х„, ...

Использование такой формы уравнений требует запаса гладкости в отображении (х, у) =(У„д), что, как указывалось, трудно обеспечить при сложной форме контура тела. Эта гладкость нужна, в частности, ддя разностной аппроксимации производных х, х„, ... Здесь возможен и часто используется другой путь, тоже не очень простой, — аппроксимация уравнений газовой динамики на неправильной и не очень регулярной сетке.

Если ячейки сетки заметно отличаются от параллелограммов, стандартный и наглядный способ построения разностных схем (состоящий в замене входящих в уравнение производных простыми разностными отношениями) начинает отказывать. На смену ему приходит другой способ, к которому прибегаюг все чаще, так как возрастающие требования адаптации к геометрии рассчитываемого явления заставляют использовать сложно устросиныс, нерегулярные сетки. Несколько слов об этом способе, базирующемся на использовании интерполяционных полиномов, мы скажем ниже (в связи с изложением основных идей так называемого метода свободмых точек). Важным достоинством метода адаптирующихся сеток является возможность учета априорной информации о гладкости решения.

Эта информация имеет достаточно неопределенный характер и состоит в предположении о том, что рассчитываемое течение является кусочно-гладким, т.е. пространство (г, х, у) можно разбить на некоторое число частей достаточно гладкими поверхностями и внутри каждой части искомые функции достаточно гладкие. Таким Образом, вышеупомянутые разделяющие поверхности— это поверхности разрывов (сильных или слабых). К ним могут быль присоединены и поверхиосги разрывов (слабых) в отображении (х, у) Д, у)), которос, тем самым, является тоже кусочно-гладким. С.точки зрения математический постановки задачи эти поверхности являются в некотором смысле «внутренними границами», на которых ставятся соответствующие граничные условия, связывающие значения искомых функций на разных сторонах поверхности збз ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ Рз.

и разрыва. Если такая поверхность является ударной волной, это— соотношения Гюгонио; в случае контактного разрыва, это — условия непрерывности давления и нормальной компоненты скорости при произвольных разрывах плотности и касательной к поверхности компоненты скорости, и т.п. В каждой из выделенных частей обычно вводят свою систему координат таким образом, чтобы в этих координатах область стала прямоугольником, а сетка, как говорят, была топологически эквивалентна прямоугольной. Это весьма удобно для программирования вычислительного процесса, который организуется, как система вло-' женных циклов. Однако в таких системах координат точность разностных аппроксимаций зависит не только от гладкости искомого решения, но и от гладкости отображения (х, у) =(е, т)).

Построенная сетка должна быть достаточно регулярной, ее ячейки (прямоугольники в координатах $, н) не должны слишком сильно отличаться От параллелограммов в пространстве х, у. Трудности возникают, если, например, ячейки оказываются сильно скошенными параллелограммами, и т.п. Построение хороших сеток, топологически эквивалентных прямоугольным, в областях даже не слишком вычурной формы — сложная задача, рсшение которой составляет специальный раздел вычислительной математики.

Часто трудно даже обеспечить построение взаимно однозначного отображения (х, у)=(ч, Ч). Следует еще подчеркнуть, что число и топологическая структура выделяемых областей гладкости заранее не известны и определяются в процессе решения задачи, что заставляет использовать алгоритмы построения сетки в оперативном режиме — почти на каждом шаге интегрирования уравнения по времени. Сказанного достаточно, чтобы понять, что реализация вышеизложенного подхода связана со значительными трудностями. Программы получаются очень сложными; онн разрабатываются целыми коллективами в течение многих лет. В процессе эксплуатации мощного вычислительного аппарата происходит его постоянное развитие. Тем не менее такие программы созданы, и полученные с их помощью результаты считаются наиболее достоверными. Наряду с этим направлснием, естественно, возникла идея использовать самые простые сетки — прямоугольные в декартовых координатах и, преодолевая трудности аппроксимации уравнений около границы (с учетом краевых условий), получать достаточно простые программы для расчета течении.

Характеристики

Список файлов книги