Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Их координаты удовлетворяют уравнениям Х,=а<и Х,, У), У»=о(г, Х,, У,). Расчеты ведутся по очевидным разностным аналогам этих уравнений: Х вЂ” Х +тУ У вЂ” У +тУ. »' »» Скорости У», У» определяются некоторой интерполяцией величин й, б в ячейках, окружающих точку (Х», У„"). Один из вопросов, который здесь возникает: почему используется интерполяция величин й, б, а не и", э" или (й+ и")/2, (б+ о")/2? Ответ простой: использовавшие этот метод специалисты утверждают, что лучшие результаты дает именно интерполяция й, б, ссылаясь на опыт решения задач, в которых точность приближенного решения может быть проконтролирована. Итак, мы знаем новые положения частиц Х"+', У"+'. Теперь можно перейти к учету изменения основных физических величин за счет переноса.
2. Перенос массы и вычисление М"+,' . Зная старые положения частиц Х„", Уч» и их новые положения Х"+', У»+', для каждой ячейки можно выделить три группы частиц. а) Частицы, оставшиеся в пределах ячейки: Эти частицы на данном шаге не вносят изменений в массу, импульс и энергию ячейки Сьз. б) Частицы, покинувшие ячейку С, .и перешедшие в соседние: ь/ (Хй+! Уй+1) Ю С » ' » »т 1Х,", У») Е Сь р в) Частицы, пришедшие в С, из соседних ячеек: [Х», У») Ю С-, (Х~+', У~+~) Е С- ., В расчете используется ограничение шага по» типа тч'и~+из с й, т.е. за один шаг частица может переместиться только в соседнюю ячейку, Каждая х-я частица, перешедшая на данном шаге из одной ячейки в соседнюю, переносит с собой свою массу т».
Таким образом, величины М"+,'~ считаются по очевидным формулам: нужно гвшвиив двхмвгиых зхддч гдговой динамики 557 з гз) взять все частицы типа а, для которых (Х~+', У"+') Я С,, и просуммировать их массы. 3. Перенос импульса. Промежуточное состояние (найденное на первом этапе расчета и отмеченное гильдой) характеризуется относящимися к каждой ячейке С, значениями импульса и полной энергии. Компоненты полного импульса могут быть вычислены по формулам М", ~й; з, М"; й, Каждая й-я частица, покинувшая ячейку С,, уносит с собой импульс твй~ ~, твйг .
(Впрочем, при желании импульсы можно вычислять и по формулам т У, т„У .) Вычислим изменение импульса в ячейке С, г за один шаг. 1 г М,".+'иЯ' =М",,й,, — ~Х' т„й,, +~Х' т„й„„.„ (17) 1 г О~ ~ М( г ' г И~~~ ~игвй у + гъ хиву у ! Здесь ~' означает суммирование по и, соответствующим частицам, 2 покинувшим ячейку С~ ~,' ~ соответствует частицам, пришедшим в С,. г нз соседних С„„Из (17) вычисляются и,"+', а,"+', так как все остальные величины известны. 4. Перенос энергии. Если частица с номером и имеет тнп а н переходит из одной ячейки С, в другую, она переносит с собой полную энергию Ли~в = тв Е,, 7+ Теперь можно вычислить полную энергию вещества типа а, находящегося в ячейке С, .
На промежуточном этапе эта величина есть и« ~ г Х тг Е« ~ + г «« х (суммирование по всем частицам типа а, находящимся в момент ~„в ячейке С~ ~). В момент времени 1„+, полная энергия изменится за счет переноса в соответствии с формулой «« ««« где первая сумма берется по всем частицам, покинувшим ячейку С;,, а вторая — по всем частицам, пришедшим в ячейку С, ~. Ра- 556 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ 1ч. и зумеется, учитываются только те частицы, у которых а» = а. Завершается шаг вычислением величин Е",+,!! по формулам Дг +! ~ «+1 г ~а +Нг (18) «,1,! Мл«! 2 «,1,! Диеереентность Р!С-метода.
При конструировании разностных схем приближенного интегрирования уравнений газовой динамики, как правило, стремятся обеспечить дивергентность разностных уравнений. Другими словами, стараются получить дискретную модель среды, в которой выполняются простые и наглядные аналоги законов сохранения основных физических величин: массы, импульса и полной энергии. Их изменения внутри области (взаимодействия пото»»ов с границами мы сейчас не рассматриваем) должны определяться только «перетеканием» из одной части пространства в другую. Не должно быть так называемых «разностных» источников (стоков) этих величин, Покажем, что Р1С-метод удовлетворяет этим требованиям.
!. Сохранение массы. Проследим эволюцию массы в ячейке С, . при переходе от момента времени »л к »„+,. Эта величина, как указывалось, вычисляется двумя способами, согласованными между собой: М! =ЯМ"!у=~~ т», й: (Х",У„)ЕС!.. а=а„. а На первом этапе масса просто сохраняется: М; = М"; На втором этапе изменение массы осуществляется за счет перемещения частиц.
Можно ввести потоки 1 г П!'!.' = — ~ т»+~К т„, где ~ — сумма по тем /с, для которых ((!', !л) х (1, 1)) ໠— — а, (Х», У») Е С, (Х"+', Ул»~!) 1= С,,; 1,!' » !'д'> г — сумма по тем Й, для которых а» = а, (Х», Ул»! Е СЛ „(Х»+', У"+') Е С! р Итак, П,'<'! есть количество вещества типа а, перенесенное потоком за время (гл, »л,) в ячейку С, . через «границу» между ячейками (г, 1) и (!', 1 ), В терминах потоков изменение массы можно выразить так: ! ! Мл+! =М«+С» тП! С1+л. «!! а!/ Хл «а «!! ! -! л=-1 359 РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ й тз1 Дивергентность связана с соотношением П; '—,'/ = — П,'. /, На втором этапе импульс изменяется по формуле ! ! Ма+(на+! М й + з' а' П(+1,/+'а ! / 1 / 1 / !1 Сг Сг Е/ 1 — ! т=-! Выражения для потоков и свойство П,"/У = — П;', предоставим вывести читателю ~они в сущности очевидны).
Полное изменение импульса за шаг есть ! ! Ма+!„и+! — М» „«+ С. т П/РР/,/+т Ь/= !/1/ Х. Х 1--! а= — ! Здесь, конечно, значения двух потоков пересчитаны: П! -.! / Оа П! -.' / + П! З! /. А/ ' Е/ 1,/ 111. Сохранение энергии. Не будем выписывать потоков полной энергии из ячейки в ячейку и проверять их «кососимметрнчность». Это почти очевидно, В проверке нуждается дивергентность по времени. Напомним схему вычисления энергии, На первом этапе из величин Е„ "1 . образуется полная энергия ячейки: (ы" /з + (ы" !! ы' .а",'- ы'.. А/ — ~~ .1,/ а,1,/ А/ а (19) Для вычисления полной энергии используется дивергентная схема лт(Р/ / = /ГЗ(ыа/ .
+ ... Далее величина !Р, определяет значения Е На втором этапе из величин Е 1, образуются значения полной ЭНЕРГИИ ВЕЩЕСтВа а В ЯЧЕЙКЕ !Р,а, /, И ДЛЯ КажДОГО ИЗ НИХ ИСПОЛЬ- зуется дивергентная схема !Р„"+1 = (Р„, + ... (потоков мы явно не выписываем, при последующих выкладках они остаются кососим- Дивергентность этой формулы есть следствие очевидного соотношения П,'/!' = — П„'/1, / Таким образом, в расчетной схеме закон сохранения массы выполнен по всем веществам отдельно. 11. Сохранение импульса. Ограничимся аналином изменения только одной компоненты. На первом этапе импульс ячейки С, . изменяется от М/ и/ до М/ /й/ по формуле М..й.
= М" .и" + П'+'/+ П'. ) /, П'.-.' / = т. Ьтр с/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1 1 ' с/ 1-ж/' пгиелиженные методы вычислительной физики (ч. и метричными, дивергентность схемы по пространству очевидна). Суммируя по а, получаем дивергентную схему Ю".'.1 = И .. + ..., )Г.. = ~' )Г, )Га+.1 = ~' )Ги'".1 . с/,1 "' е,/ х,с/' 1,/ е .и/' а а (й, ) +(й, /)зй. = М..Е + М.. (20) (21) (й, )'+(и )' а Для величин Е, / использованаформула Е," = Е"; + де( /, где Л/ = Е/ — Е), а Е,". вычислялась через ю,". / (см.
формулу (19)), т.е. из соотношения М( .Е",. = ~'М" 1 .Е" 1 а Вычислим входяшую в (19) внутреннюю энергию: ,'Р и 1/Е„/ =~Ма/ (Е",1 +(Е// — Е",. )) = а а а Таким образом, установлено равенство )г) = 1г) /. Для того чтобы установить второе равенство, обратимся к формуле (18) для вычисления Е" +.',, переписав ее в виде ( и+1)2+ ( и+1)2 = М"+' .Е'+'. ИМ На(1 а)1 а11 аи/ 2 Суммируя по а, получаем („и+1)2+» и+1)2 Й И Р ! = Е .+. И М +.' Е'+!:~. М". Л~ а/,/ и,/ Ли а,е./ а1,/ С/ а а что совпадает с (19). Основные недостатки Р/С-мел»ода. Укажем два момента, с которыми связана критика метода. Первый момент — дискретность плотности.
В вышеописанной схеме, если имеется, допустим, в среднем по десять частиц на ячейку (это еще очень хорошо, часто их Для того чтобы установить дивергентность по времени, нужно проверить равенство ч / / = ю, и то, что ю";+1 вычисляется по формуле типа (19). Проверим первое равенство, сравнивая выражения для ве,. и )г,,: гашения двгмвгиых зАдлч глзовой диилмики зб! меньше), плотность может принимать небольшое число дискретных значений.
Особенно сильно это сказывается в областях разрежения, где плотность мала (по сравнению с первоначальной, например), т.е. на ячейку в среднем может приходиться одна-две частицы. В этом случае небольшое изменение положения частицы, находящейся близко около границы ячейки, приводит к ее переходу в другую ячейку. Плотность в соседних ячейках резко изменяется, что обычно приводит к соответствующему изменению давления. Возникает градиент. давления, меняющий скорость, частица стремится вернуться назад и т.д. Так возникают колебания положений частицы, имеющие явно нефизический характер. Именно дефекты такого рода в первую очередь бросаются в глаза при анализе полученных Р1С-методом приближенных решений. Второй тонкий момент Р1С-метода — реализация краевых условий. Здесь осложнения связаны с тем, что на каждом из этапов используется искаженная система уравнений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
