Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 78

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 78)

Анализ поля скорости показывает, что около твердой стенки поток параллелен ей с хорошей точностью, а скорость внутри области непрерывно сопрягается с граничной скоростью мг Графики линий уровня плотности намного хуже, хотя «топология» тришока про:матривается и там. Это не случайно.

Графики плотности в слож- ных течениях часто получаются в ги«. «з расчетах очень «корявыми». Сложные, хотя локализованные в малых областях пространства-времени события в рассчитываемом явлении (пересечение ударных волн, отражение волны от препятствия и тш.) оставляют на графиках плотности долго несглаживающиеся следы, получившие специальное название «энтропийные». В графиках давления такие следы не сохраняются, так как перепады давления вызывают изменение скорости и локальный максимум (или минимум) в давлении долго держаться не может. Плотность же является «пассивной» величиной: мы уже видели, что сколь угодно долго может существовать разрыв в плотности (контактный разрыв).

Разумеется, неровности плотности согласованы с неровностями температуры, так что давление оказывается гладким. Видимо, читатель догадался, что реализация вышеизложенной схемы в общем случае (и тем более в трехмерных задачах) достаточно сложна, так как нухсно реализовать разветвленную логику программы, ориентирующейся в отношении сетки к заданной каким-то образом (обычно, таблично) границе тела. Поэтому большинство вычислителей предпочитает более простые алгоритмы «фиктивных» точек.

В них перед очередным шагом интегрирования по Г во все «внешние» узлы сетки (которые сами не являются счетными, но которые необходимы для реализации стандартного во внутренних узлах счета) засылаются некоторые значения, подбираемые так, что расчет во всех счетных точках по стандартным формулам учитывает краевые условия. Это сравнительно легко сделать, если граница все-таки проходит по узлам счетной сетки (например, граница проходит по диагонали сетки).

Но как работает эта упрощенная технология в достаточно сложной геометрии, не очень ясно. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ЕЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ 1ч. и Метод свободных точек. Следующий подход к построению методов приближенного интегрирования уравнений газовой динамики ориентирован на тот же класс задач, который имелся в виду при разработке Р1С-метода. Это — расчет течений с контактными границами, подвергающимися сильным деформациям. Можно говорить о задачах н без контактных границ,' но с очень сильными деформациями первоначальной лагранжевой сетки. В некотором смысле (достаточно осторожно) можно иметь в виду течения, в процессе которых происходит сильное перемешивание вещества (но это все-таки далеко не турбулентность). Основу метода составляет отказ от сетки как таковой.

Основные счетные величины, описывающие состояние среды, здесь следующие. 1. Частицы нумеруются индексом х (й = 1, 2, ..., К). Каждая частица имеет номер а вещества, из которого она «сделана». Этот номер влияет только на выбор уравнения состояния, которым следует пользоваться при расчете давления в той точке, в которой в данный момент находится х-я частица. Положение частицы в момент времени г„определяется ее координатами Х„", У». 2. С каждой частицей связываются значения и«, н~, р„", е". Они трактуются как значения скорости, плотности и относительной внутренней энергии в точке (Р„, Х'„', У"). Таким образом, точки (Х„", У'„') (/с = 1, 2, ..., К) образуют подвижную сетку, в узлах которой определены основные величины.

Стандартный шаг интегрирования (переход от и-го слоя к (л + 1)-му) начинается с того, что для каждой х-й точки формируется набор соседей — точек с номерами /' (1 = 1, 2, ..., 1"). В набор входят точки, находящиеся в момент 1« В НЕКОтсрсй маЛОй ОкрЕСтности точки (Х'„', У"). Именно по этому набору соседей и по значениям функций в них производится аппроксимация уравнений газовой динамики в х-й точке. Технику аппроксимации поясним, начав с некоторой простейшей модели.

Пусть некоторая функция Дх, у) известна в точках (Х,", У«), где)=)1«(1=0, 1, 2, ...). Обозначим эти значенияГ"1(считаем, что РО« = й). По этим значениям можно проинтерполировать функцию и получить непрерывную функцию /(х, у), совпадающую в узлах с У1 (1 = О, 1, 2, ... ). Теперь можно продифференцировать / в точке (Х", У") и полученные выражения для производных подставить в уравнения. Таким образом получим аппроксимацию тех или иных дифференциальных операторов.

Выше изложена общая идея,, которая сейчас постепенно начинает применяться при расчетах на неправильных сетках, узлы кото- гвшвнив двгмвгных злдлч глзовой динлмики 375 ч зз1 рых не образуют простой и гладкой структуры. Фактически схема расчета более сложна. Это объясняется тем, что решения уравнений газовой динамики не настолько гладки, чтобы использовать интерполируюший полипом высокой степени (степень зависит от числа соседей У). Желательно использовать аппарат, работающий при минимальном запасе гладкости.

Разъясним основные идеи, используемые при построении разностных формул стандартного шага. Линеаризацил. В окрестности некоторой точки (~„, х', у') функпии У(О х, у) представляются в виде У(Г х, у) = У(1„, х, у') + бу(г, х, у), ~~ Е (О, т), где Ы вЂ” малое приращение /, т — малый шаг численного интегрирования. Подставляя такие выражения в уравнение, разлагая нелинейные члены в ряд Тейлора и ограничиваясь линейными по Ь| членами, можно получить для них линейную систему уравнений с постоянными («замороженными» в точке (г„, х', у')) коэффициентами. Формула Герглотца — Петровского.

Для уравнений газовой динамики линеаризация приводит к линейной гиперболической системе. Такие системы хорошо изучены. Решение задачи Коши (без краевых условий) для них может быть получено по упомянутой выше формуле. Если Г' — полный вектор газодинамических параметров и, ш р, р, то эта формула принимает вид 2» Я1») Ы(т, х', у') = ~ а р ~ б(р, г) Ы (О, х' + г соз р, у' + г з1п р) Ыг, о в где 6(р, г) — известное ядро; Я(~р) — граница пересечения плоскости Р = О с некоторым наклонным конусом, имеющим вершину в точке (с, х', у').

Это так называемый «характеристический конус», осью которого является «энтропийная характеристик໠— линия, касающаяся направления Ж: ах: с1у = 1: и': о' (и', в"— скорости в точке (г», х', у')). Раствор этого конуса определяется скоростью звука с'. Для вычисления интеграла от уже «известного» прн ~ = 1„решения нужно воспользоваться интерполяцией газодинамический параметров, заданных в узлах нерегулярной сетки (Х,", 1') (й = 1, 2, ..., К). Интерполяция. Множество соседей точки (Хы У»в) формируется так, чтобы они как бы окружали к-ю точку, т.е.

можно разбить окрестность й-й точки на некоторое число треугольников. В каждом треугольнике функции интерполируются линейно по х, у. Полученная зть лгиелижеииые методы вычислительной»ивики 1ч. и таким образом на и-м слое функция /(х, у) (кусочно-линейная) интегрируется с весом О по основанию конуса. Условие устойчивости формул требует, чтобы эта область интегрирования целиком находилась внутри выделенной набором соседей окрестности. Этого всегда можно добиться выбором достаточно малого шага интегрирования т.

Однако чрезмерно сблизившиеся точки могут сделать такую окрестность слишком малой, что приведет к нерационально малому т. В этом случае слишком близкая к А-й точка игнорируется. Таковы основные методические моменты метода свободных точек. Они соответствуют одной из первых работ этого направления, выполненной В. Ф. Дьяченко.

В дальнейшем эти идеи развивались, детали изменялись, они достаточно разнообразны. Все это привело к формированию специфического научного направления в вычисля- тельной гидродинамике, получившею в западной литературе название «Ргее Еаягапке Ме1Ьоо» (РЕМ). Следует отметить, что реализация подобных методов в первую очередь требует тщательной проработки алгоритма формирования соседей для каждой точки. Если оперировать только с той информацией, которая была введена выше (это минимально необходимая, но достаточная информация), придется в каждой х-й точке устраивать просмотр координат всех остальных точек.

Это требует О~Кз) операций на каждом шаге интегрирования по времени, что слишком дорого и ограничивает число К. Поэтому приходится разрабатывать систему сопровождающей расчет информации, которая грубо разделяет точки на близкие друг к другу и при выборе соседей х-й точки существенно сужает необходимый перебор. За малый шаг т координаты точек мало меняются, и сопутствующая информация, соответственно, корректируется. От удачного и остроумного решения этой достаточно' сложной проблемы существенно зависит трудоемкость метода.

Характеристики

Список файлов книги