Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 80
Текст из файла (страница 80)
2. Наличие разных масштабов времени. На электроны и ионы действует одна и та же сила, но массы их существенно разные, соответственно различны их ускорения и характерные масштабы времени. Самый легкий ион (водорода) примерно в 1800 раз тяжелее электрона. В плазме явления носят обычно колебательный характер, и в ней имеются характерные частоты (нли периоды): -~4 г, ° -2~ - ./ 7 Р. е е е~ и е е и е и (5) ,=2<,=~. 7 .и Здесь п„и; — плотности частиц (числа частиц на единицу обьема), они одинаковы; д„д, — их заряды, они тоже одинаковы (по абсолютной величине); массы же частиц разные.
Если нас интересуют времена порядка 100т;, то считать приходится с шагом, существенно меньшим т„например й = 0.1т,. Поскольку у, < т,/40, расчет требует 40 000 шагов. Это очень много. Поэтому в расчетах часто искусственно .полагают ль,. ж (10-;-100)ль,. Опре- ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ВЛАСОВА 38! 8 241 делающим считается сам факт, что ионы намного тяжелее электронов и что за один ионный период электрон совершит «много» колебаний. А сколько именно, не так уж важно. Дифференциальные свойства функций $ (г, ч, 1). заметим, что в уравнениях отсутствуют какие-либо диссипативные (сглаживающие) факторы и, наоборот, существуют факторы, приводящие к очень негладким функциям, особенно по переменным О.
Это можно пояснить следующим образом. Как уже отмечалось, значения У сохраняются на характеристиках. Пусть при Г = 0 заданы гладкие функции У(Р, О, О). Фиксируем при каком-то 1 точку Г и рассмотрим 2(РВ, О, Р) как функцию только О. В точках с близкими значениями О могут оказаться (н фактически оказываются) частицы (характеристики), пришедшие нз разных начальных точек и принесшие с собой разные значения /. Поэтому график 2 приобретает после некоторого времени (большого, но еще не настолько, что расчет можно прекратить) «пилообразный» характер. Это — не неустойчивость (никакой катастрофы нет), а просто потеря гладкости решения, свойственная самим уравнениям.
Попытки решения уравнения Власова методом конечных разностей были не очень успешными (в сложных задачах), что, конечно, существенно связано и с тем, что сетки приходилось брать относительно скромные. Однако в задачах с учетом столкновений (в правую часть уравнения Власова (1) добавляются интегралы от У по импульсному пространству — так называемые интегралы столкновений) ситуация более благоприятная. Столкновения — это диссипативный процесс, приводящий к сглаживанию функций У. Но здесь, к сожалению, появляется другая трудность — вычисление цнтегралов столкновений. Модель частиц.
Первые попытки расчета явлений в бесстолкновительной плазме предпринимались на основе модели взаимодействующих частиц (3), (4), н оии были достаточно успешными, пока можно было ограничиться небольшим чиаюм частиц. И алгоритмов изобретать не приходилось: ведь модель (3), (4) — это просто задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений только довольно большого порядка. Можно было пользоваться обычными методами интегрирования задачи Коши. Однако приложения быстро потребовали существенного увеличения числа частно. Тут возникли трудности и весьма существенные.
Первая и, видимо, важнейшая из них — рост числа операций. В самом деле, мы имеем дело с большим числом К частиц (в современных расчетах К порядка 108, 104, 108), попарно взаимодействующих друг с другом. Следовательно, вычисление правых частей (сил) «стоит» 0(!Р) операций. Конечно, существенное влияние на движе- звз ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ 1ч. и ние данной частицы оказывают ближайшие к ней; действие остальных можно учитывать более грубо. Но как это сделать? Ведь даже само определение того, какая частица близка к данной, какая нет, требует (если не применять каких-то алгоритмических изобретений) такого же примерно объема вычислений, что и прямое вычисление всех сил.
Вторая трудность — малый шаг по времени. Он часто определяется постоянно происходящими сближениями небольшого числа частиц на столь малые расстояния, при которых силы их взаимодействия быстро меняются, движение приобретает сложный характер и требует слишком малого шага интегрирования, И этот шаг навязывается всей системе„хотя движение большинства частиц можно было бы интегрировать с гораздо большим шагом, Указанные выше сложности построения расчетной схемы как на базе уравнений в частных производных (1), (2), так и на базе модели частиц (3), (4) привели к некоторому их синтезу, который и стал основой дальнейших конструкций, успешно применяемых для расчета сложных явлений в плазме.
Метод заряженных облаков. Наиболее успешным методом численного решения уравнения Власова является метод «облаков в ячейках», или метод «макрочастиц». Изложим его основную вычислительную схему. Состояние плазмы будем описывать следующими функциями. 1. Потенциал р~" определяется в узлах некоторой фиксированной сетки в пространстве х, у (л — временной индекс; 1, т — пространственные индексы).
Величину р," мы трактуем как значение р в точке (х, = (л, у = тл, т„). 2. «Макрочастицы» нумеруются индексом е. Каждая частица характеризуется следующими величинами: Х", г'«В — положение частицы; У"„+НЗ, У"+ПЗ вЂ” компоненты ее скорости в момент 1„+ т/2; ты йь — масса и заРЯд частицы. Отметим, что скоРости относЯтсЯ не к моменту 1„, а к полуцелому моменту 1„,, Опишем стандартный шаг процесса интегрирования, при котором информация (РВ, х", УВ, 1/" +~я, К«+из) переходит в данные на следующем (л+1)-м слое (р«+', Х"" 1'"+' У" +з'з, Р"+зц).
Наиболее популярна схема «1еар 1гоя» (у нас ее называют «чехардой»). Расчет начинается с вычисления новых положений Х~+', У«+' всоответствии с уравнениями характеристик (3): (ХВ«~ ХВ)УЕ 1/В+из (УВ+~ УВУт Р В+из (б) (схема второго порядка точности). й 24) пгивлижзнвог. ивтпгвговАнив гглзнвния влАсовА звз Вычислим потенциал у««+' в момент времени ~„»,. Он определяется из уравнения Пуассона, аппроксимированного по обычной разностной схеме: ( р„, — 2т, + р,, ) + (р, „— 2~, + рь,) = 4пр,"+'Л~, (7) но сначала нужно с калсдым узлом связать величину р~ + ' — плотность заряда. Напрашивается такой способ: возьмем ячейку размером л х л с центром в точке (хп у ), посчитаем сумму зарядов частиц, находящихся в ней в момент /„',, и положим р,"+' = ~' д /лз.
Первые же попытки расчетов показали существенный дефект такого подхода. При относительно небольшом числе частиц, приходящихся на каждую ячейку (10 частиц — это уже хорошо), плотность принимает лишь дискретные значения: д/йз, 29/Ьз, ... Кроме того, она разрывно зависит от положений частиц. Если частица пересекает границу ячейки, плотность в смежных с этой границей ячейках резко изменяется, следствием чего является изменение напряженности поля Е.
Движение частиц становится нерегулярным, проявляются колебания явно счетного, а не физического характера. Выход был найден в том, что точку (Л'„", У") стали трактовать как положение центра некоторого заряженного облака малого размера, например Зл х Зл. В каждой из 9 ячеек ах Ь этого облака плотность заряда считалась постоянной. При вычислении р, определялась часть облака, попавшая в связанную с точкой (/, гл) ячейку л х Ь, и в эту точку «передавалась» соответствующая часть заряда облака. Кстати, кусочно-постоянная плотность в облаке использовалась для того, чтобы облегчить необходимый подсчет.
После вычисления р,"" решается уравнение (7). Это наиболее трудоемкий элемент алгоритма. Используются наиболее эффективные методы, в частности метод Фурье, реализованный в форме быстрого дискретного преобразования Фурье, являющегося одним из фундаментальных алгоритмов современного численного анализа.
Его развитие связано с решением рассматриваемых здесь задач. Он будет подробно описан ниже. Вычисление скоростей производится из очевидной аппроксимации уравнений (3): п«»3/2 п««ю г»»зт г +ш « (Е )л+! (8) Здесь нужно еще определить силы, действующие на облако. Напом- ним, что Е= — йгад р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
