Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 84

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 84)

Ф(и) — Ф(и+ Ьи) ~ ЦКЦ ЦЬИЦ. Следовательно, ~Ф(и+ Ьи) — Ф(и)~ ( ЦКЦ ЦЬИЦ. Для того чтобы квазирешение представляло интерес с прикладной точки зрения, оно должно обладать важным свойством — непрерывной зависимостью от правой части /. Это свойство обеспечивается при дополнительных требованиях к компакту М. Определение 2. Компакт М называется множеством корректности в смысле Тихонова, если существует такая функция скалярного аргумента соД), что: а) 1пп сл(Е) = 0; В О б) для любых двух элементов и' Е М и и" Е М имеет место соотношение Ци — и Ц к Вэ(ЦКИ" — Ки Ц). (7) Определение 3.

Задача Ки=/, и Е М называется корректной в смысле Тихонова, если: а) априори известно, что существует ее единственное решение; б) компакт М является множеством корректности атой задачи. й 251 ИЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИБЛИЖЕНИОЕ РЕШЕНИЕ звэ Поясним смысл этих определений. Прежде всего подчеркнем, что в (7) используются обычные нормы, например нормы в 2, . Из определений следует, что если правые части /', /" брать из множества АГ=КМ, то соответствующие им решения и', и" мало отличаются друг от друга при малом отличии !!и" — и'!! и ог(!!/" — /'1!). Другими сдовами, «сужение» задачи на множество М делает ее корректной.

Однако решению подлежит задача, в которой /2с Аг. Теорема 2. Пусть задача К и= / корректна в смысле Тихонова и М есть ее множество корректности. Тогда квазирешение непрерывно зависит от правой части /. Уточним суть дела. Предполагается, что существует точное решение и, Е М. Ему соответствует точная правая часть /, = Ки, Е Аг. Известна правая часть /, близкая к /, в обычной норме: !!/ — /Д н Ь, где Ь вЂ” малое число. Однако в сильной норме типа (3) погрешность в правой части бесконечна.

Пусть найдено квазирешение и . Теорема утверждает, что ![и — ИД- О при Ь- О. Перейдем к доказательству. Доказательство. Введем / = Ки Е г»' н оценим !!/» — /,!! ( !!/» — /!! + !!/, — /!! Второе слагаемое в правой части оценивается величиной Ь. Оценим первое: !!/ — /!! = !!Ки, — Л! = Ш1п !!Ки — /!! ч !!Ки, — /!! = !!/, — /!! ( Ь. »ни Итак, !!/ — /Д н 2Ь и в силу (7) имеем !!и — иД ч: оэ(2Ь), так как /» Е 22Г и /, Е ЬГ.

Теорема доказана. Множество корректности в задаче Адамара. Поясним технику построения множеств корректности в конкретной задаче (2). Удобно 2 'т обозначить 7г„= ее "т. Это собственные значения оператора К ', если задачу (2) представить в виде Ки =,/. Сначала покажем, что множество М функций [и(х) ! ~ 1, х Е [О, 11, множеством корректности не является. (Напомним, что искомая функция и(х) служит начальными данными для обычной задачи теплопроводности, решение которой в момент времени Т должно совпасть с заданной функцией /(х).) Возьмем и'(х), О, и"(х) = Рйп (йях), Им соответствуют функции из М=КМ, /'=О, /"= Х гйп (клх).

Итак, !!и" — и'!! =1, — «2„/т !!/" — ' /'1! = е " т. Нельзя построить никакой требуемой в определении 2 функции ог(Ч), такой, что 1 = !! и" — и'!! и ог(!!/" — /'!!) = го(е А» т). пгиэлижеииыв мктоды вычис!и!тельной физики 1ч. и Принадлежность Г' и /" множеству КМ (т,е. К !/ Е М) означает выполнение неравенств и' ~Х', Лгкгаг и 1 » ! „г тр Лг!гйг ~ ! »=! (9) Функциям у' и у" соответствуют элементы и', и", коэффициентами Фурье котормх являются числа Л»а» и Л»Ь».

Расстояние между ними есть !! ц" — и'!!г = ~ Лг(Ь» — а»)г. (10) » ! Коэффициенты Фурье производных и„', и„" суть кЛ»а», кЛ»Ь». Неравенства (9) выражают принадлежность /', У" множеству !з! = КМ. Оценим (10), используя (8), (9). Выберем некоторое число лг и воспользуемся следующей из (9) оценкой Лгаг П 1/(кгйг) Лгйг П 1/(пгйг) Имеем юл ~х' Лг(Ь» — а )гп ~х' Лг»(Ь вЂ” а )г+ 2 ~х' Лг(аз+ Ьг). (11) » ! »-! Второе слагаемое в правой части (! 1) оценим так: О Л,(а» + Ь„) и , г г г 2 ! 2 ! » ыь! »ь В+! Первое слагаемое оценим, используя (8): ~х Л»г(Ь вЂ” а»)г П Лг ,'Р (Ь вЂ” а»)г П Лг Ьг »-! »-! (!г) Получаем !! цп ц'!(г и егт*к гбг + г !и Определим теперь множество М условием !!и„(х) !! ж 1 (кроме того, есть еще и условия ц(0) = ц(1) = О).

Рассмотрим функции У' и У" нз лГ. Пусть а», Ь» — их коэффициенты Фурье. Обозначим расстояние между ними Ь (ради простоты, ниже мы будем иметь дело с квадратами рассгояний): х, (Ь „ )г Ьг (8) » ! 3 251 ивкоггвктиьш злвлчи и их пгивлижвииов евшеиив 401 Теперь нужно распорядиться числом т так, например, чтобы оба слагаемых в оценке были равны. Логарифмируя выражение е~ "гбз = 4/(нзт), приходим к уравнению для т: р(т) вв атз+!и (Ьзнз/4) + 1и т = О, а = 2хзТ. (1З) Будем ориентироваться на задачу с Т=0,01, Ьж10-з. В этом случае а а 0.2, 1п (Ьзпз/4)) = — 7.5.

В первом приближении можно отбросить в формуле (13) для р третий член, после чего уравнение решается: т, = [ — а '1и (Ь~х~/4)[пз (в примере т, ж 6). Однако это слишком грубый результат. Прн таком выборе т первый член в оценке (12) для [[и" — и'[[ есть О(1). Полученная оценка ие дает права утверждать, что М есть множество корректности.

Уточним корень уравнения р(т) = 0 одной итерацией по Ньютону: тз= т~ — <р(т,)/~р'(т,). Очевидно, р(т,) = 1и ти р'(т,) = 2ат, + 1/т . Так как мы рассматриваем все-таки значения Ь м1, то т,:г 1 и можно упростить выкладки, полагая тз = т, — 1п т,/(2ат,), Оценим первое слагаемое в (12), используя приближение тз: где р = [ 1п т,/(2ат,) [з — величина, пренебрежимо малая. Мы не будем доводить оценки до абсолютной строгости — это дело техники, не очень сложной, но громоздкой. Итак, имеем ехр (атзз) Ьзж ехр (атз) Ьзехр — — 1и т, 1 = —, Ь~ ехр — — 1п — — 1п —" Таким образом, опуская несущесгвениые детали, мы получили оценку типа [[и" — и'[[з (1/!и Ь ')'~ .

Тем самым доказано, что условие [[и„.(.)[[ н С определяет множество корректности для обратной задачи теплопроводносги. Однако очень медленное стремление к нулю соответствующей функции о>Д) при с- 0 (см. определение 2) служит предостережением тем, кто на этом основании счел бы исследование задачи (2) законченным. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОЛЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ Совершенно ясно, что множество функций и(х) = ~Р аг з1п (хпх) В 1 и при условии ~ аг зж Р1 н любом заданном лз является множеством коре ! ректности для задачи (2). Более того, соответствуюшая функция ьзЯ) = С$, где С = е" "' г.

Это насголько большая величина, что реально можно использовать соответсгвуницее множество М лишь при очень малых лз = 2, 3, 4 и в том случае, когда есть уверенность, что искомое точное решение может быть аппроксимироваио с нужной точностью тремя-четырьмя гармониками. Приближенное решение обратной задачи теплопроводиости. Дальнейшее знакомство с некорректными задачами удобно провести в более конкретной форме — в виде комментария к процессу приближенного решения моделъной задачи обратной теплопроводности. Она конструируется просто.

Возьмем относительно простую функцию и,(х) и решим прямую задачу теплопроводности и, = и„„при краевых условиях и(б О) = и(Р, 1) =0 с начальными данными и(0, х) = и,(х). Полученную (численно) функцию и(Т, х) используем как начальные данные для обратной задачи. Полезно еще возмутить ее малой случайной погрешностью. Итак, построим функцию Дх) = н(х, Т) + Ь(х), 1Ь(х) ~ П Ь.

Теперь попытаемся решить обратную задачу. При построении модели надо достаточно разумно выбрать два числа: Т и Ь (уровень погрешносгей). Значение Ь выбирается из таких соображений. Если найдена функция и(Т, х), то в качестве Ь можно взять, например, 0.01 среднего значения и. В дальнейшем, говоря о решении уравнения теплопроводности, мы имеем в виду приближенное решение, получаемое методом сеток с шагом Ь = 0,01 (по х) и с шагом т лз (по г) при использовании самой простой, например явной, схемы. Что касается Т, то обсуждаемые ниже расчеты проводились при Т = 0.01.

Этот выбор может удивить читателя, но для рассматриваемой задачи время 0.01 не такое уж малое. Оценим, какие события могут произойти в задаче за это время. Если разложить начальные данные прямой задачи и ряд Фурье: и,(х) = ~ с„з1п (ххх), то решение в момент времени г = Т есть и(х, Т) = ч~, ссе "" зш (йпх). з 251 НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ 4ОЭ В табл.

13 приведены значения е 4 "~ для разных Т и к. Видно, что время Т = 0.1 является почти асимптотически большим. За это время из всек гармоник, входивших в начальные данные, «выжива- Таблица 13 ют» только две первых. За время Т = 0.01 в системе, описываемой уравнением теплопроводности, происходят достаточно сложные события.

Нетрудно сообразить, что функции и(0, х) и и(Т, х) достаточно сильно отличаются друг от друга. К обсуждению приведенных в табл. 13 значений мы а «со „> вернемся чуть позже. На рис. 44 показаны функции и(0, х) и и(Т, х). Возмущенная функция У(х) = и(Т, х) + Ь(х) при Ь= 0,015, «>г,„> и>х> в таком масштабе не отличается от и(Т, х). Итак, нам задана функция /(х) и мы предполагаем, что для обратной задачи Дх) отли- Рис. 44 чается от точных «начальных данных» на величину, не превосходящую 0.015.

Решение обратной задачи теплопроводности будем искать как решение задачи математического программирования. Требуется найти функцию ц(х) («начальные данные прямой задачи»), такую, чтобы: ! а) значение $ и(х)н(х) 41х было минимальным; о б) >пах ! Н(Т, х) — /(х) ! < Ь; « в) Раг ц( ) < ИР. Здесь и(Т, х) — решение прямой задачи теплопроводности с начальными данными ц(х). Речь идет о том, чтобы «подобрать» начальные данные прямой задачи так, чтобы ее решение в момент времени Т попало в «коридор» шириной Ь около заданной функции У( х).

Мы знаем (по постановке задачи), что искомый ответ и,(х) порождает решение, попадающее в тот же коридор, и не собираемся извлекать из У(х) более точной информации. Мы отступили от рекомендаций метода квазирешеиий, согласно которому следовало бы выбирать функцию н(х) такой, чтобы минимизировать 1>н(Т, ° ) — Д.)11. Оба ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ ~ч.

Характеристики

Список файлов книги