Главная » Просмотр файлов » Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku

Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 87

Файл №810773 Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku) 87 страницаFedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773) страница 872020-08-18СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 87)

Поэтому сведение какой-либо задачи к поиску ппп ув(х) на компакте справедливо считают почти исчерпывающим ее решением, Многие сложные задачи естествознания и техники стремятся оформить именно как варнациоиные задачи. Однако внешняя простота решения обманчива. Дело в том, что задача проста, если она решается «в принципе»: на уровне доказательства сходнмости. Но пока не обсуждался важнейший фактор — эффективность процесса поиска минимума, количество вычислений функции ув, которое по- 413 з 2М ПОИСК МИНИМУМА надобится для определения пип г»(х) с какой-то (часто не очень высокой) степенью точности.

Продолжающееся до сих пор конструирование алгоритмов поиска минимума имеет основной целью повышение их эффективности и надежности. Такая работа должна опираться на достаточно четкую теоретическую концепцию, обьясняюшую причины возможной крайне низкой скорости убывания /О(хз). конечно, одной из причин этого может быть существенная фактическая негладкость гв, даже Если формально она имеет сколько угодно непрерывных производных. С точки зрения вычислителя гладкость — это не число существующих производных, а константы, ограничивающие их значения.

Если эти константы просто «конечны», то нет особой разницы между классами гладких и негладких функций. Эту причину (существенную негладкость /'О) оставим пока в стороне. Ведь отношение вычислителя к тем или иным методам определяется не столько их способностью решать задачу данного типа в ее общей формулировке, сколько эффективностью метода в классе тех задач, которые нуждаются в фактическом решении.

Итак, в каком случае методы спуска оказываются эффективными, а в каком нет? Этот вопрос сейчас изучен достаточно полно. Основной моделью, на которой получаются точные результаты, является класс квадратичных функций /з(х) = (а, х) + 0.5(Ах, х) с положительно-определенной самосопряженной матрнцей А. В окрестности точки минимума (слово «локальный» будем для краткости опускать) гладкая функция / хорошо аппроксимируется именно квадратичной функцией.

Матрица А в данном случае аналогична матрице дзГП/дх1дхз, именуемой гессианом. Существенным фактором, определяющим эффективность метода спуска по градиенту, является обусловленность матрицы А, т.е. отношение 1з = 1/1., где 1. н 1 — максимальное и минимальное собственные числа А. Расстояние 11х1 — х'11 убывает, как д1, где о= (1.

— 1)/(1. +1). При малых значениях 11 имеем д ж 1 — 2 у~. Чем меньше ть тем медленнее осуществляется поиск минимума. Число Ч имеет простую геометрическую интерпретацию: линии уровня квадратичной функции (при А > О) суть «эллипсоиды», отношение экстремальных полуосей которых как раз и есть у~. Таким образом, «трудная» функция /О(х) — это функция, график которой похож на «овраг» с крутыми «склонами» и очень длинным пологим «дном», вдоль которого нужно очень долго идти до точки минимума. Первые шаги процессов поиска приводят к быстрому спуску со «склона» на дно оврага, после чего начинается длительное «зигзагообразное» движение вдоль «дна» с очень медленным темпом убывания / за шаг.

Прн и =! (линии уровня — сферы) метод спуска по 414 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ 1ч. и градиенту приводит к минимуму за один шаг. Скорость сходнмости (число д) покоординатного спуска в этом случае легко оценить. Предоставим это поучительное упражнение читателю (здесь интересна зависимость о от размерности пространства). Несколько сложнее оценивается математическое ожидание убывания уо (при з1 = 1) за один шаг спуска в случайном направлении. Здесь существенна размерность, причем сказывается следующее неприятное обстоятельство: почти вся площадь сферы в Ях сосредоточена в узком поясе около экватора (это свойство сфер проявляется тем резче, чем больше М). Поэтому «почти любое» случайное направление «почти ортогональное направлению градиента, т.е.

направлению в точку минимума такой просгой функции, как " х~. (Предоставим читателю эти вычисления. Они не составят труда для того, кто знает формулу площади многомерной сферы.) Эффективность процесса поиска минимума можно существенно повысить линейным преобразованием пространства, т.е. используя замену х = Ву, Легко понять, какой должна быть матрица В; квадратичная форма после замены переменных перейдет в (АВу, Ву) = (В'АВу, у). Чтобы в переменных у получить просто сумму квадратов, следует найти В из уравнения В'АВ = Е, например.

В качестве В можно взять А из. Это, конечно, рецепт чисто теоретический. Ои только указывает направление, в котором следует искать В: ведь можно брать матрицы В, близкие к идеальной, но более доступные иа практике. Приведенные выше соображения можно трактовать несколько иначе. В линеаризованной задаче ограничение Ьх можно сформулировать в какой-то другой метрике, например (В Ьх, Ьх) и е~ с положительной самосопряжеиной матрицей В. В этом случае методом Лагранжа найдем Ьх ж В 'У~(хэ). Квадратичная модель подсказывает идеальный выбор В: это должна быть матрица, близкая к гессиаиу А. Практическая реализация такой подсказки возможна двумя способами. Самый очевидный — использовать метод, основанный на квадратичной аппроксимации: Уо(х+ Ьх) Уо(х) + Уо Ьх+ О 5(УО Ьх Ьх) В очередной точке хг следует вычислить Д(хг) и гессиан у~„.(хт), решить задачу минимизации квадратичной функции.

Например, если размерность пространства Ф нЕ Очень велика, можно решить систему линейных уравнений уо(х~) +уо„(х') Ьх=О. Такой алгоритм иногда называют методом Ньютона, так как его можно трактовать как решение системы нелинейных уравнений У~(х) = О. Применение вышеприведенной схемы вычислений сталкивается с двумя препятствиями. В начальной точке хо гессиан у~„может ие 415 й зб1 поиск мииимтмл быть положительно-определенным.

Тогда решение задачи минимизации квадратичной формы (если мы ее действительно минимизируем) уводит нас в бесконечность. Если же решается система линейных уравнений (необходимое условие экстремума квадратичной формы), то мы уже не отличаем минимума от максимума и от другого типа стационарных точек. Поэтому такая техника применяется после некоторого числа шагов спуска по градиенту, которые проходят достаточно эффективно и выводят точку х' в область положительности гессиана.

Более серьезным препятствием является необходимость вычисления вторых производных. В пространствах не очень малой размерности это очень дорогая операция. В семидесятых годах был найден удачный компромисс, приведший к созданию так называемых квазиньютоновских процедур. Оии основаны на следующем соображении. В методе спуска по градиенту, располагая значениями градиента в разных точках у„(х.), мы получаем некоторую ограниченную на каждом шаге информацию и о у„„. В самом деле, если смещение 11х'+' — х1й ие очень велико, У,(х'+1) — /„(хэ) г„„(ху~' — хэ), т.е. если пренебречь величинами О(11х1+1 — х111з), мы знаем величины Н линейных комбинаций из элементов Ж-ьН матрицы ~„„. Накапливая такую информацию на нескольких подряд идущих шагах, можно с какой-то точностью восстановить и гессиан.

Практическая реализация вышеизложенных соображений приводит к процессу следующего типа. Кроме точки х1, имеем еще и положительно-определенную самосопряженную матрицу Н'. Функцию /(х~ + Ьх) аппрокснмируем разложением У(х1+ Ьх) ж Лхз) + /„(х1) Ъх+ 0.5(Нзбх, Ьх). Минимизируя правую часть, определяем Ьх, т.е. Ьх = — (Н'),Г„. После нахождения точки ххь1 = хз + Ьх определяем У„(х'+') и пересчитываем матрицу Н, вычисляя Н1~' таким образом, чтобы выполнялись Н вышеупоыянутых соотношений между М(У + 1)/2 элементами гессиана.

Элементы Н этими соотношениями, конечно, однозначно ие определяются. Поэтому нужно привлечь какие-то дополнительные эвристические соображения, например минимизацию отличия Нэь' от Н1 или что-либо в этом роде. Не будем доводить дело до конкретных расчетных формул (все это описано в обширной литературе по математическому программированию); ограничимся лишь изложением основных идей. В настоящее время квазиньютоновские ме- 416 пгизлижвнньш матовы вычислительной»изики (ч. и тоды составляют основу наиболее эффективных алгоритмов безусловной минимизации. Правда, нх высокая эффективность проявилась пока в задачах сравнительно невысокой размерности. Поиск глобального минимума. Это характерный пример проблемы, которая с одной точки зрения тривиальна, с другой — в сущности неразрешима.

В самом деле, вот ее тривиальное решение. Введем в Я" куб ~х„~ а Х и сетку с шагом л, покрывающую куб. Вычислим Уз(х) в узлах сетки (это потребует конечного числа операций) и найдем точку сетки, в которой достигается минимальноЕ значение Уз. Затем удвоим размер куба (Хн»2Х), уменьшим шаг Ь вдвое и повторим вышеописанную операцию. Нетрудно доказать, что для любой непрерывной функции /» мож но получить последовательность точек, сходящихся к точке глобального (абсолютного) минимума.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,23 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6417
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее