Главная » Просмотр файлов » Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku

Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 86

Файл №810773 Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku) 86 страницаFedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773) страница 862020-08-18СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 86)

При а = 10 3 погрешность некорректности 0 достигает 10%, функция и, может состоять нз двух-трех первых гармоник. При а = 7.5 10 4 функция и, может состоять из трех первых гармоник, но погрешность некорректности д может достигать 25%. При а = 5 10 4 функция и, может состоять нз чегырех первых гаРмоник, но погРешность некоРРектносгн !7» может все испоРтить'. И т.д. Заметим, что вышеприведенные результаты существенно связаны со значением Ь ° 0.01. При меныпих Ь можно в принципе использовать н меньшие а, однако, например, при 3= 10 4 максимальное значение шах 0 — Оы Ьехз 4и Ь 10", так что далеко здесь не продвинешься, Правда, есть еще адин резерв регуляризацяи — проведение расчетов в пространстве, базис в котором составляют несколько первых гармоник (л = 10, например).

Этот резерв й 26 ПОИСК МИНИМУМА неявно используется при решении задачи методом сеток, когда берутся сетки из 10 -ь 20 узлов. Вывод из проведенного обсуждения почти очевиден: возможности метода квазиобращения, видимо, достаточно ограничены, и пользоваться им следует осторожно. й 26.

Поиск минимума Приведем общие сведения о мегодак решения так называемой задачи математического программирования. Это название в современной литературе присвоено задаче на условный экстремум. Общая ее формулировка такова. Требуется найти точку х (из Я~), минимизирующую значение функции гь: ппп гь(х), (1) при условиях а) Х„<х„<Х+, п=1,2 АУ (2) б) Р;жу'(х) <Р+, Здесь г'(х) — заданные функции, которые, если не оговорено иное, предполагаются гладкими (например, имеющими вторые производные); Х,, Х+, Р~, Р+ — заданные числа. Начнем обзор методов решения с простейших вариантов этой общей задачи. Поиск безусловного минимума. Имеется в виду задача (1).

Никаких условий и ограничений на диапазон изменения х нет. Конструкции алгоритмов решения этой задачи основаны на идеях, которые, соответственно усложняясь и модифицируясь, используются и при решении общей задачи. Основная идея заключается в построении минимизирующей последовательности точек хУ. Начиная с некоторой заданной точки х« (начального приближения) строят последовательность точек х', хз, хз,...

таким образом, чтобы значение /О монотонно понижалось: г»(хУ+') < ~О(х'), Вш г«(хг) = ш!и гз(х). Эта общая идеи конкретизируется построением алгоритма «улучшенця» текущей точки хУ: если она не является точкой минимума, в ее окрестности должна найтись другая точка хУ ', в которой /О(хг+') < гО(хУ). Есть несколько способов найти такую точку. 410 пгивлижвнныв мвтоды вычислительной «изики Метод покоординатного спуска. Точка х?+' ищется в виде хг + зе, где е„— /г-й орт в пространстве Ял.

Скалярный параметр з («шаг спуска») определяется задачей того же типа: ппп 1«(х~+ зе ). Ее решение (так называемый линейный поиск) осуществляется специальными алгоритмами (разумеется, приближенно), они описаны в специальной литературе. Что касается индекса х, то он меняется на каждом шаге А циклически пробегая значения 1, 2,...,Ф. Алгоритм достаточно прост, но возникает вопрос; к чему он сходится, действительно ли он позволяет отыскивать точку минимума? Мы не будем рассматривать ситуации, когда точки х~ уходят в бесконечность, когда У(хг) - — и т.п. Предположим, что все хз остаются в ограниченной области пространства Ф».

Следовательно, имеется предел!пп хз = х' (либо предел какой-то подпоследовательности хб). Что можно сказать о такой точке х'? Очевидно, онз является стационарной точкой метода, т.е. если задать х' в качестве хо, то попытки переместиться из нее по любому из ортов е„ни к чему не приведут. Очевидно, стационарными для метода покоординатного спуска являются точки, в которых д/о(х')/дх = О, дз1(х')/дхг > О, й = 1, 2, ..., Ж, Однако точка х" может и не быть точкой минимума, даже локального; она может быть точкой перегиба.

Если метод приведет в такую точку, процесс изменения х? прекратится. Однако вероятность попасть в подобную точку не очень велика, так как в ее окрестности есть точки со значениями у(х) с Дх'), н если хоть одна точка х? именно такова, то в дальнейшем точки х~ ', ... не приблизятся к х'. Наиболее вероятным результатом описанного процесса является сходимость последовательности х' к точке локального минимума уь(х). Подчеркнем — именно локального, а не точного, «глобального» минимума. Если функция У«(х) имеет несколько точек локального минимума, результат, естественно, зависит от выбора стартовой точки хо.

Каждая точка локального минимума х* имеет свою «область притяжения» — совокупность 'точек х«, начиная с которых процесс спуска приводит именно к точке х'. Это относится и ко всем остальным методам построения минимизирующих последовательностей. Они отличаются друг от друга в первую очередь способом построе- з 2б1 поиск минимгмл ния направлений спуска.

Легко понять, что для таких методов области притяжения к той или иной точке локального минимума практически одинаковы. Метод спуска по градиенту. Более эффективным является метод, отличающийся от описанного выше только выбором направления спуска. В каждой точке х' вычисляется градиент У~(хз), и следующая точка ищется как точка минимума функции Го на луче х(з) = х' — гг~(ху). Очевидно, множество стационарных точек процесса здесь шире — это все точки, в которых У~(х) = О, Однако наиболее вероятным исходом является сходимость хг к точке локального минимума.

Метод спуска по градиенту можно получить, применяя к задаче одну из самых плодотворных в вычислительной математике конструкций — линеаризацию в окрестности текугцего приближения и решение последовательности линейных задач (вспомним в связи с этим метод Ньютона). Кстати, мы не доказываем теорем о сходимости методов спуска, так как они дословно повторяли бы доказательство сходимости модифицированного метода Ньютона (см. з 1). Итак, в точке х' найдем хз+' = хз + Ьх, где поправка Ьх является решением линеаризованной задачи (3) пйп (у'(хг) + у„'(хэ) Ьх), ЦЬхЦ < с. ь* Ограничение !)Ьх)! необходимо, чтобы избежать бесконечного решения. Решение легко находится методом множителей Лагранжа.

Формируем функцию Лагранжа .У(Ьх, Х) = Уо(х1) + /~(х~) Ьх+ 0.5 Х(Ьх, Ьх) с неопределенным пока множителем Х и ищем точку ее минимума по Ьх. Задача решается просто. Приравнивая нулю производную по Ьх, находим Ьх(Х) = — (1/Х)У~(хг). Множитель Х определяется условием (Ьх(Х), Ьх(А)) = с~. Теперь можно использовать Ьх двумя способами: либо считать Ьх направлением спуска и определять хгт' =хг+ гбх после решения задачи минимизации по з, либо определять хг"' = хт + Ьх. В первом случае величина с, очевидно, никакой роли не играет.

Этот способ надежный, но требует нескольких дополнительных вычислений Уо для определения к Второй способ более экономный, но величину с надо назначать очень ответственно: она должна быть достаточ- 412 пгнвлнжзнныв методы вычнслнткльной»нзнкн (ч. и но мала, чтобы линейная аппроксимация ~в(х + Ьх) Ув(х) + гв Ьх была достаточно точной. Однако е не должно быть слишком малой величиной, чтобы «движение» хт проходило не слишком малыми шагами. В своей работе автор обычно использовал второй способ (в сложных задачах вычисление У~ часто оказывается одной из наиболее дорогих операций), Для определения е используется алгоритм адаптации.

Сначала в назначается из каких-то грубых соображений. После очередного шага сравнивается приращение ьУв = ~в(ха+') — Ув(хг) с вариацией ЬУ = У„(х~) Ьх. Если оии совпадают с высокой точностью, значение в, соответственно, увеличивается; если совпадение плохое,— уменьшается. (Обычно увеличение н уменьшение в осуществляются умножением на числа, не сильно отличающиеся от единицы. В дальнейшем мы подробнее обсудим зги вопросы в более сложной ситуации.) Если ЬУ» > О, происходит «возврат» в точку хт и Ьх вычисляется заново после пересчета в:= т/2, например.

Метод случайного спуска. Он отличается от описанных выше тем, что в качестве направления движения выбирается «случайное» направление, т,е. единичный вектор е, генерируемый каким-либо датчиком случайных векторов, равномерно распределенных на единичной сфере в Р (такие датчики входят в состав математического обеспечения современных ЭВМ). «Почти любое» направление е является направлением «спуска», если, конечно, рассматривать как положительные, так н отрицательные значения ю. Стационарными точками процесса построения минимизирующей последовательности являются только точки локального минимума уо. Эффективность методов спуска.

«Овраги». Задача поиска минимума гладкой функции с общематематической точки зрения является одной из простейших. Основная идея решения (построение минимизирующей последовательности) очевидна, да н конструктивная ее реализация не очень сложна. Проблема существования решения н сходимостн процесса решается тоже ие очень сложными средствамн. Ответ дают такие простые факторы, как непрерывность н принадлежность всех точек хт некоторому компакту.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,23 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6417
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее