Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Другое обстоятельство, стимулирующее совершенствование методов этого направления, — стремление обеспечить дивергентность схемы, т.е. наличие в дискретной системе прозрачных и естественных аналогов основных законов сохранения. В схеме, описанной выше, этого нет. Вышеизложенная методика была использована для расчета сложных течений, сопровождавшихся сильной деформацией контактных границ, разделяющих газы с существенно различными физическими свойствами.
Рисунок 40а дает представление об одной из таких задач. По газу идет мощная ударная волна, наталкиваюшаяся на твердое препятствие. (Хотя заштрихованная часть есть часть металлической конструкции, ее поведение описывается уравнениями газовой динамики в рассматриваемой задаче.) Рисунок 40б дает представление о последующем течении: показаны первичная ударная волна (которая в «твердом» теле движется медленнее, чем в газе), отраженная волна и сложная деформация контактной границы. Процесс сопровождается образованием мощной струи. В 241 НРИВЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ВЛАСОВА 377 5 24. Приближенное ннтегрнроввине уравнения Власова Уравнение Власова описывает движение совокупности большого числа заряженных частиц (ионов и электронов, например) в условиях, когда можно пренебречь столкновениями частиц и их взаимодействие определяется только электрическими силами.
Это уравнение описывает события, пространственный масштаб которых мною меньше длины свободного пробега и характерное время много меньше времени свободного пробега. Такие ситуации достаточно распростраиены в теории сильно разреженной плазмы, а их практическое значение связано с изучением, например, космического простраиства, взаимодействия космических аппаратов с очень высокими (и, следовательно, сильно разреженными) слоями атмосферы и Некоторых других вопросов. В этой модели состояние плазмы описывается двумя функциями: у,(г, О, г) и у,(г, О, Г).
Здесь независимые координаты имеют следующий смысл: г= (х, у, г) — декартовы координаты точки пространства, трехмерная координата О = (О„, Оу, О,) представляет координаты в импульсном пространстве, à — время, функции у,, У, — плотности электронов и ионов. Таким образом, например, если мы выделяем в пространстве маленький кубик (г, г+ Лг) и интересуемся числом частиц, содержащихся в этом кубике и имеющих скорости в диапазоне (О, о+ лО), то оио выражается (в первом порядке) величиной У Ухг,хе. Область фазового пространства г, О, которая иас интересует, обычно ие ограничена по скорости, ио функции У быстро спадают при ! О) — О; можно ограничиться конечной областью ~О~ < 3', поставив граничное условие у)~,~ „— — О. В пространстве область ограничена размером У. = (У,, Уу, У,у).
Будем предполагать, что по пространственным переменным все функции периодичиы с периодом у. (в такой постановке решается большое число задач, связаииых с теоретическим изучением процессов в плазме). В дальнейшем, ради простоты изложения, будем рассматривать двумерные задачи: г = (х, у), О = (О„, О ). Уравнение Власова описывает эволюцию во времени функций у,, у,: аУ, аУ, аУ, д, Уа аУ, а дУ.) †' + О . †' + Π†' — †' ~-~ †' + -х †'~ = О ду х дх у ду т, ( ах дР„ ду дР ~ У ау, ау, ау, д, уд ау, д ду,) †' + Π†' + Π†' — †' — ~ †' + -~ †' = О.
аГ х ах у ду уи '(ах дР ау дР ) У ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФНТИКН 1ч. н Здесь ~р(х, у, ~) — потейциал электрического поля; ( — р„, — р )— компоненты напряженности электрического поля. Потенциал р определяется уравнением Пуассона Ь р = 4п д, ~ /,(х, у, н, /) БЬ + д, ~ /,(х, у, и, /) /и, (2) где д„д; — заряды электрона и иона; Рл„, т; — нх массы. Система уравнений (1), (2) замкнута. Уравнение (2) называют уравнением самосогласованного электрического поля (в том смысле, что оно не задается расположением каких-то внешних зарядов, а создается участвующими в процессе частицами). Существует альтернативная математическая модель, в которой рассматриваются отдельно все частицы. Движение каждой из них описывается уравнениями и~„н~, =пы — '= — 'Е(х, у, Г), А=1,2, ..., К.
(3) Здесь А — номер частицы; д, Рл — се заряд н масса; Š— напряженность электрического поля, связанная с частицами тем же уравнением Пуассона Е= — Кгас$ р, бр= 4н р(х, у, г); р — плотность заряда. В соответствии с моделью частиц р( г) =Х ~,,„п, ° (4) р(х, у, г) =!Пп '„Г дг/! оз~, ю О Ф где ~ — сумма зарядов частиц, попавших в этот объем. Предел в вышеприведенной формуле надо понимать «физическн» в следующем, например, смысле.
Пусть ю — квадрат размером л, т.е. 1ю~ =Ьз. Тогда можно ввести величину р„=2' /Б/Ьз. При где дь/1г — гь~ — потенциал, создаваемый к-м зарядом, находящимся в данный момент в точке РБ(1), При определенных условиях, когда нас не интересуют детали, имеющие пространственный размер порядка так называемого дебаевского радиуса (и меньше), можно считать, что поле определяется уравнением Пуассона, а плотность р(х, у, г) определяется как апре- деле при стремлении к нулю некоторого обьема ю, окружающего точку (х, у): пгивлижвщщ: иптсг игоеАнив г Авнсния нллсовл зтч уменьшении Ь эта величина как-то меняется, приближаясь к некоторому пределу р(х, у, г), и прн Ь.
< Ь < Ь' (где Ь„м«Ь') более или менее совпадает с этим пределом. В дальнейшем (при Ьсс Ь,) величина рь начинает беспорядочно и весьма ощутимо меняться — начинает сказываться дискретное строение вещества, в обьеме ю оказывается уже слишком мало частиц, и, конечное никакого математического предела не существует. Дифференциальные уравнения пишутся именно для относительно устойчивых значений р, Ь Е (Ь., Ь'). Используя эти уравнения, мы неявно предполагаем, что интересующие нас явления описываются подобными функциями, причем они гладкие относительно шага Н~Ь', т.е.
мало меняются при изменении аргументов на Н. Вообще, доверие к уравнениям, убеждение в том, что они описывают реальную действнтельнгкть, держится не столько на строгости их вывода, сколько на опыте успешного их применения в анализе разл н чных физических ситуаций. Характеристики уравнения Власова. Постановка краевых задач, Две модели разреженной плазмы (модель (1), (2) в терминах полей /, р, р, Е и модель частиц (3), (4)) тесно связаны друг с другом и с чисто математической точки зрения. Покажем, что траектории частиц являются характеристиками уравнения Власова и что вдоль этих характеристик значении /,, /, сохраняются, Пусть функции /,(г, г, Г), /,.(г, е, !), р(г, Г), Е(г, Г), р(г, Г)— решение уравнения Власова. Тогда на этом решении могут быть определены траектории системы (3): функции Я,(г, Яв, ро) и р,(б Ф, $'~), где йв, гв — данные Коши прн ~ = О.
Определим на этой траектории функцию / (Г) вв/ (Р(г»о ря) и(!»о ро) Индекс е указывает, что рассматривается система (3) с «электронными» параметрами д и т. Из той же точки (Ф, го) выходит и «ионная» характеристика, вдоль которой сохраняется значение /;. Вычислим производную /, по и Производная и/,/и'г' = О, так как /, удовлетворяет уравнению Власова.
Итак, / (р(г хо рв) р(г по ьо) ~) =/ (до ~о О) пгиьлижзнные методы вычислительной физики 1ч. и Перенос значений У вдоль характеристик имеет определенные неприятные последствия, которые обсуждаются ниже. Пока же мы используем картину характеристик для пояснения математической структуры тех краевых задач, постановка которых является корректной. Граница области разбивается на две части в зависимости от знака скалярного произведения (Ц, 1ь1), где М вЂ”, б-мерный вектор внутренней нормали к границе, а У вЂ” 6-мерный вектор скорости характеристики в данной точке, т.е.
У = (ч, дЕ) (это разбиение различно для электронов и ионов). Там, где (1), 1ь)) > О, характеристики входят в область извне; на этой части границы нужно задавать краевое условие, например значение у, соответствующее входящей характеристике. Там, где (11, Х) < О, характеристика приходит на границу изнутри области, и краевое условие не ставится. Если, например, область является прямоугольной (О < х < Е,„О ~ у < Ь~, 0 < г ~ х,,), то часть границы х = 0 разбивается на две области: при и„> 0 нужно задавать значения у„уп при и„< 0 никакие краевые условия на ставятся.
Что касается краевых условий для р, то здесь мы имеем стандартную для оператора Лапласа ситуацию. Отметим основные особенности уравнения Власова, определяющие трудности его численного решения. 1. Высокая размерность задачи. Если нас интересуют задачи двумерные с точки зрения геометрического пространства, т.е. задачи в (х, у), то, естественно, появляются две импульсные координаты (н„, и ) и события развиваются в области четырехмерного фазового пространства. Даже при миллионе узлов шаг сетки по каждому направлению будет порядка 1/30 линейного размера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
