Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Например, идеальный газ определяется соотношением Е(р, р) = (1/(у — 1))р/р, где у — постоянная, характеризующая данную среду (разные газы имеют разные значения у). Уравнение состояния может иметь и более сложную форму. Разумеется„уравнения (1) дополняются начальными данными, заданными функциями и, и, р, р(0, х, у), и краевыми условиями на границе Р. Эти вопросы мы пока не рассматриваем. Обратим внимание на то, что во всех уравнениях присутствует характерный оператор д/д/+ ид/дх + ид/ду. Он называется субстанциальной производной и обозначается а//Нд всвязи со следующей важной физической интерпретацией. Пусть фиксированная («окрашенная») частица газа в момент времени / = 0 находится в точке (Хи, уи). В по- 344 пгивлижвнные мвтоды вычислительноя визики [ч.
и следующие моменты времени она будет находится в точках (Х(с), У(с)). Уравнения движения выделенной частицы суть Х= и(С, Х(С), У(С)), У= и(С, Х(г), У(С)). (2) Рассмотрим функцию /(с, х, у). На данной траектории (х(г), у(с)) она является функцией только от и /(с, х(г), у(с)). Вычислим ее производную по времени: — „, =/, +/„Х+/ У=/', + и/„+ и/.
в/ Таким образом, субстанцнальная производная — это производная по г вдоль траектории частицы. Уровнепня газовой динамики в дивергентной форме. Простыми преобразованиями уравнения (1) можно привести к важной в приложениях днвергентной форме: а, (Ра) + — ах (Ра'+Р) + — (Р ) =О, ас (Ри) + ах (Раи) +а (Ри + Р) =О, ас Р+ ах (Ра) + а (Р") = О ас Р е+ т +ах «Р+Ре+» з + + а и р+р е+ — =О.. Эти уравнения могут быть записаны в компактной форме: (4) которая часто служит исходной при построении рззностных методов, так как из нее непосредственно вытекают важные, имеющие фундаментальное физическое значение, соотношения (законы сохранения).
Интегрируя (4) по параллелепипеду (г„ ас) х [а, А] х (Ь, В), получаем с,лв ~ ~ ~ (Исс + я„+ я ) ей ах ау = Ссва с, в ',л лв = ~ ~ $У асх йу ~ , '+ ~ ~ В йу сй ~ ' + ~ ~ Д сй асх ~ ьв = О, (5) а Ь с,а сч а 345 »звание лзгык1 нык злдлч глзовой динлмнки й зз1 лв Соотношение (5) имеет следующий смысл: ~ ~ Иг ах ь(у — общее а Ь количество величины И' (компоненты импульса, массы или полной энергии) в объеме [а, А) х ~Ь, В), ~ ~ Я а'Г а'у, ~ ~ (2 йГ ау, — потоки за время г, — гв через границу этого объема. Таким образом, изменение в данном объеме количества И' связано с перетеканием его через границу этого обьема.
решения уравнений газовой динамики нужно искать среди «обобщенных решений», т.е. среди функций, удовлетворяющих тождеству (5) для всех параллелепипедов. Обратим внимание на то, что проверка тождества (5) не требует дифференцирования функций и, ш р, р и может быть осуществлена даже при наличии разрывов в этих функциях. Действительно, решения газодинамических задач могут содержать поверхности, на которых рвутся функции и, о, р, р. В двумерных задачах имеются те же два основных типа разрывов: ударные волны и контактные разрывы. Соотношения на разрывах имеют ту же форму, что и в одномерных задачах, если использовать систему координат, в которой поверхность разрыва ортогональна (в рассматривавмой точке) оси х, а и и ив проекции скорости на оси локальной системы координат, На контактном разрыве непрерывны р и и (нормальная к разрыву компонента скорости); р и в (касательная к разрыву компонента скорости) могут иметь произвольный разрыв.
Если о рвется, разрыв называют тангенциальным (кстати, такое течение неустойчиво). На ударной волне и, р, р по разные стороны от разрыва связаны одномерными соотношениями Гюгонио. Касательная к разрыву компонента скорости о на ударной волне непрерывна. Однако в двумерных задачах линии разрывов в плоскости Г = сопзг могут иметь угловые точки. Уравнения газовой динамики в форме Лагранжи Другая форма уравнений шзовой динамики связана с точкой зрения Лагранжа. Она отличается от рассмотренной выше тем, что искомые функции и, щ р, е считаются не функциями декартовых координат Г, х, у, а функциями лагранжевых переменных Г, Ч, и, где à — то же время, что и в эйлеровой форме, а координаты Ч, ~) выбираются так, что они остаются постоянными вдоль каждой траектории системы (2).
Введем функции Х(г, ч, ~)), у(И $, В), являющиеся эйлеровыми координатами частицы (г„п), Они удовлетворяют уравнениям Х,(И ~, ~)) = и(г, Х(г, ~, И), У(И й, ь))), (6) у,(г, ~, и) = (д х(г, ~, и), у(И Ъ, и)). 346 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОЛЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ 1Ч. Н К ним следует присоединить начальные данные. Обычно берут в качестве лагранжевых координат частицы ее декартовы координаты в момент времени 1= О, т.е. х(о, ~, ч) = ~, У(о, Ц, и) = ч но возможны и другие способы.
Разумеется, и(1, х, у), О(1, х, у) в (6) считаются известными решениями уравнений газовой динамики, Перейдем к выводу уравнений газовой динамики в форме Лагранжа, используя уравнения в форме Эйлера. Пусть известна функция зйлеровых координат /(1, х, у), а х, у известны как функции лагранжевых координат ц к, и. Тем самым мы имеем / как функцию лагранжевых координат.
Именно эта операция превращает функции и, щ р, е(Г, х, у) (решенне уравнений газовой динамики в эйлеровых координатах) в функции й, б, р, е(1, Р, Ч), которые естественно считать решениями уравнений в лагранжевых координатах. Итак, 7(1, 6, ч) =/(1, х(1, 6, н), У(ц 8, н)). Вычислим производную этой функции по П /Р /1 + / Х1 + /уУ( /1 + и/ + 1 /у Такие выражения (субстанцнальные производные) входят во все уравнения газовой динамики, которые можно переписать в форме й,+р-'р.=о, й,+ р-'р =о, (7) е, + р ' р(й„ + й ) = О, р, + р(и„ + йу) = О, Уравнения (7) содержат производные по х, у, а не по Р„тн как хо- телось бы, чтобы иметь замкнутую систему уравнений в перемен- ных 1, $, з).
Система уравнений (7) дополняется уравнениями (6) для Хи У. Теперь осталось выписать выражения для р„, р, й„, й через производные р, й, й по к, и, Продифференцируем 7 по ч, гр / =/„Х +/ У, /ч=/„Хч+/ У„. Эту систему мы рассматриваем как систему линейных алгебраиче- ских уравнений относительно неизвестных /„, / . Решая ее, полу- чаем /„=(7,у — 7 у)/(х у — х у), ч чч 1ч ч (8) /', = (/чх, — /',Хч)/(Х„У — Хч У,), Формулы (8) определяют правила вычисления входящих в (7) про- изводных по х, у через производные по й, и, Таким образом, урав- нения в форме Лагранжа — это совокупность уравнений (6), (7) и формул (8).
й гз! аешение шнмеаных зкдлч гАзовой диикмики 347 Задачи, в которых удобны координаты Эйлера. Рассмотрим характерную прикладную задачу, в которой удобна и естественна эйлерова форма уравнений. Это — важная в разных областях прикладной аэродинамики задача обтекания. Пусть имеется некоторое тело, обтекаемое потоком газа.
Нас интересует картина течения газа около тела и значения основнмх газодинамических переменных, так как ими определяются такие характеристики, как сопротивление, подъемная сила, температура, давление на поверхности тела и т.п. Систему координат обычно выбирают связанную с телом. В этой задаче интересуюшие нас события разворачиваются в некоторой фиксированной в геометрическом пространстве области (рис. 38).
Лагранжево представление здесь явно неудобно. Если мы выделим некоторую область в лагранжевых координатах, то она вместе с потоком газа прой- У дет мимо тела, удалится от него, и что в исй будет происходить, уже не очень ин- В тересно.
к Кроме задач, связанных с расчетом, например, аэродинамических характери- 2 стнк крыльев, к этому классу относятся задачи расчета течений в соплах, задачи Рис. зз внешней баллистики, в том числе задачи о спуске космических кораблей, и т.п. Отметим, что в этих задачах есть проблема постановки краевых условий. Граница расчетной области состоит из двух частей. Первая часть границы есть граница тела Гг Это — естественная граница, и на ней ставится физически очевидное условие непротекзния: нормальная компонента скорости потока равна нулю, т.е.
ин, + ип = О, где и,, и — вектор нормали к границе Гг Вторая часть границы Г вводится искусственно. По существу задача ставится в неограниченной плоскости, но реализация расчетных схем неизбежно требует ограничить область. Никаких «естественных», точных граничных условий на Г нет. Вычислители стараются отнести границу Г подальше от тела, чтобы искусственные граничные условия мало влияли на картину течения вблизи тела.
Этот факт контролируется численными методами. Решив задачу один раз, повторяют расчет, отодвинув границу. Если основные интересующие нас характеристики изменились не очень сильно, считают их достаточно достоверными, несмотря на искуССтвенность математической задачи, Задачи, в которых удобны координаты Лаеранжа. Типичный пример такой задачи — задача, связанная с проблемой лазерного термояда.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
