Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Не случайно слово «правильно» взято в кавычки. Оно не имеет сколько-нибудь определенного смысла. Требование полной консервативности уже вошло в практику конструирования разностных схем, и все более или менее однозначно понимают ее, хотя это свойство, видимо, не имеет четкого определения. Можно дать такое объяснение.
Уравнение для е получается (в дифференциальной форме) из уравнений для е+ и92 и и простой формальной выкладкой. Аналогичную выкладку можно проделать н для разностных аппроксимаций этих уравнений. Результат легко предвидеть: получается разностная аппроксимация уравнения для е типа (8), но с точностью до каких-то членов, пропорциональных т, Ь (с точностью до «аппрокснмационных источников»). Это есть очевидное следствие простою факта: разностное уравнение совпада- РеАаизАция РАзностной схемы зз! ст с дифференциальным с точностью до погрешностей аппроксимации. Схема называется полностью консервативной, если упомянутое формальное преобразование приводит к разностной аппроксимации уравнения для е, не содержащей упоминавшихся выше аппрокснмационных источников н, следовательно, «правильно» описывающей эволюцию е во времени.
Это почти определение, но мешает маленькая деталь. А что, собственно говоря, означают слова «уравнение содержит аппроксимационные источники или не содержит»? И почему, если содержит, это нехорошо? Вычислим эти «источники» для описываемой схемы. Умножнм (2) на (и"+! + и")/4 и вычтем из (5). То же самое сделаем, используя (2) при значении т+ 1. После несложных преобразований получаем в качестве следствия формул (2), (5) разностную аппроксимацию уравнения (б) для е: л .!" ! л л+! л+! ~л+!/2 л«!П ~; ~ 'л+! л+! л (9) + (Р+ ч)~+!22 А = т г»+!22* л«Ш где Г" = (1/422) ((ил+' — ил»')2+ (ил+' — Ил )~].
Это и есть пресловутый «аппроксимационный источник», превращающий «правильную» аппроксимацию (8) уравнения для е в якобы неправильную (9). Конечно, если бы кому-либо предложили на данной сетке аппроксимировать уравнение для е, едва ли кто-нибудь так сразу написал бы формулу (9), а формулу (8) написал бы всякий. С этой точки зрения аппроксимация (9) неестественна, Но все это имеет смысл лишь при простейшей технике составления разностных схем (производные заменяются самыми простыми, наглядными разностнымн аппроксимациями). Однако в настоящее время по мере усложнения задач, вида уравнений, сеток и т.п.
все чаще в практику входят гораздо более сложные методы составления уравнений, в том числе и чисто формальные, когда выбирается шаблон, пишется общая комбинация величин в узлах шаблона с неопределеннымн коэффициентами. Значения таких коэффициентов затем определяются требованиями аппроксимации, устойчивости и какими-то дополнительными требованиями, совокупность которых делает выбор схемы однозначным (это так называемый метод неопределенных коэффициентов в построении разностных схем).
При такой технике (а к ней приходится прибегать все чаше) в полученных выражениях не так-то просто выделить члены, относящиеся к тому или иному члену дифференциального уравнения. Поэтому понятие «аппроксимационный источник», казалось бы, очевидное в данном случае, в действительности особого смысла не имеет. Тем не менее некоторый смысл есть, и мы попробуем его сейчас выявить. Начнем с того, что предъявим более определенные ззг пгнвлнжвнныв мвтоды вычислительной «нзнкн 1ч. и претензии к дивергентиой форме аппроксимации (4).
Все нижеследующее основано иа опыте автора и его коллег, входивших в группу И. М. Гельфацца. Серийные расчеты задач такого типа„однако, продолжались в сущности только до 19бО г., поэтому наша точка зрения отражает оиыт тех лет. Явные дефекты аппроксимации уравнения для полной энергии проявляются обычно в зонах сильного разрежения,'когда происходит интенсивная «перекачка» внутренней энергии в кинетическую и иг/2 существенно превосходит е.
В этой ситуации неизбежные погрешности приближенного метода решения могут привести к отрипдтельиым значениям е. Это может произойти в одной-двух счетных точках, н этого можно было бы даже и ие заметить, если бм ие следующее крайне неприятное явление. В области е с О уравнения газовой динамики теряют физический смысл. С математической точки зрения они меняют тип, превращаясь из гиперболических в эллиптические: е с О означает «отрицательный квадрат скорости звука». Уравнения распространения звука превращаются в систему уравнений Коши — Римана, для которой, как известно, зацача Коши некорректна. Но программа и в этом случае продолжает решать задачу Коши (счет по слоям)! И вот эта некорректность, существующая сначала иа очень небольшом участке (в двух-трех точках), начинает «разрушать» течение в соседних точках. Процесс приобретает катастрофический характер, и численное решение быстро теряет физический смысл.
С этим иногда удается справляться, искусственно полагая е«+„'пг — — О, если расчет привел к отрицательному значению. Но это— скверный выход: ои маскирует явные признаки неблагополучия, и расчет может продолжаться внешне благопристойно, потеряв, в сущности, точность. К таким мерам следует прибегать очень осторожно. Чем же лучше в этом отношении недивергентная форма аппроксимации (8)? Дело в том, что р можно считать пропорциональным е. Следовательно, уравнение (8) можно записать в виде е, = Ае (где А = — (р/е)и«).
Решение этого уравнения не может перейти через ось е = О. Это в дифференциальной форме очевидно, В разиостиой форме аналогичное свойство не гарантируется, но его можно обеспечить достаточно малым шагом т. В самом деле, для явной и неявной схем имеем (р"+' — р")/т = Ар", р"" = (1+ тА)р", (р«+~ — р")/т = Ар"+', р""' = р"/(1 — тА). Внимательный читатель заметит, что и о может изменить знак, что тоже приведет в иефизическую область.
Здесь ситуация контролируется выбором шага: нпг~пг юп+пг+ (™)(нов«1 «г» )' ззз ! к«л!!!м!ия гюностной схемы 8 221 Конечно, шаг начинается лишь при известных величинах на и-и слое. Анализ этих данных позволяет выбрать шаг с, учитывая, например, условие типа т < 0.5А!!" «!!з/! и««! — и«), Ч !и. В большинстве случаев такой шаг т обеспечивает положительность п" ++'и .
В противном случае переход с л-го слоя на (л + 1)-й повторяется после уменьшения шага т вдвое, и т.д. Заметим, что это не единственные критерии, по которым шаг т ограничивается сверху. Итак, в расчетах по формуле (8) у нас есть средства, обеспечивающие положительность е. Обратим внимание на то, что в описываемой схеме (а она, таким образом, не является полностью консервативной) положение с этой точки зрения еще более благоприятное, так как источники неотрицательны. Можно было бы предположить, что постоянный знак источников приведет к систематическому завышению значения внутренней энергии. Может быть это и так, но тут все-таки нужна более основательная аргументация, В самом деле, по сравнению с чем будет это систематическое завышение? Ведь даже утверждать, что завышение будет по сравнению с расчетом по схеме (8), не содержащей источников, нельзя.
Если же сравнить с точным решением, то и тут ситуация далеко неоднозначная. Подстановка в разностные уравнения точного решения дает хорошо известный нам результат. Точное решение уравнений газовой динамики (точнее, его ограничение на сетку) удовлетвпряет разностным уравнениям с «источниками» в правой части (эти источники — погрешность аппроксимации)! Если бы мы знали эти источники, то включив их явно в правую часть схемы, мы получили бы точное совпадение разностного и точного решений.
Так что сам по себе факт наличия «источников аппроксимационного типа» не является безоговорочным дефектом разностной схемы. Аккуратное определение «полностью консервативной» схемы, должно учитывать следующее. Аппроксимацию (8), не содержащую источников, можно записать в виде (обозначая и = р+ д) «»+ ! «» »+! «! '+щ '»+!!! + 0 5 ! ~«+! + и«! "'+! "' »!+п2 «!«!/2/ »+ ! «+1 +0.5(л«+!!з — пт+пз) ""„" =О. Последний член можно трактовать как типичный аппроксимационный источник, имеющий (формально) величину О(т). Другой пример.
Имеется аппроксимация уравнения для е вида (е«+',!з — е" '!!2)/ ! + А =. О, где А — некоторая аппроксимация члена ри„, содержащая источники. Пусть схема (е" ~!!з — е«+!!з)/т+ В = 0 таких источников не содержит. Запишем «плохую» схему в виде НРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЬР!НСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ 1ч, и 334 (е"'+.,'нз — е" +,д)/т+ ТВ = О, где у= А/В= 1+ 0(т, Ь). Почему нельзя считать зто уравнение хорошей аппроксимацией, не содержащей источников? Уравнения на верхнем слое. Перейдем к аккуратному выписыванию уравнений, решая которые можно определить величины и, ю, Т, г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
