Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Напомним в обших чертах суть дела. Сферическая мишень, состоящая из нескольких сферических слоев, выполненных пгнелижеиные методы вычислительной »венки (ч. и из разных веществ, подвергается мощному кратковременному облучению со всех сторон (рнс. 39), На поверхности мишени быстро создается высокая температура и, следовательно, высокое давление, сжимающее мишень. Процесс носит сложный характер. Высокое давление на границе порождает тепловую н, возможно, ударную волны, сходящиеся к центру.
В то же время поверхностные слои вещества начинают разлетаться от центра — идет так называемая волна разрежения. Будет ли в результате достигнут желаемый результат (создание в центре «термоядерных параметров», т.е, некоторой области с очень высокой температурой и достаточной плотностью), — на этот вопрос должен дать ответ расчет. Для нас сейчас важны следующие обстоятельства. Рассматриваемая среда состоит из нескольких областей, в которых физические свойства газа существенно различаются.
Рассчитываемый процесс сопровождается сильной деформацией первоначального расположения границ. Большая часть вещества сжимается в очень узкую зону. Если бы мы пытались решать задачу методом конечных разностей в эйлеровых координатах, мы покрыли бы область, первоначально занимаемую газом, какой-то сеткой. В начале про- 63 цесса в разных зонах имеется достаточно большое число счетных ячеек, что обеспечивает нужную точность разностной аппроксимации. ,г По мере развития явления ситуация меняется. Почти все вещество сосредотачивается в очень узкой области, в которую попадает небольшое Рис. 39 число ячеек сетки, и точность расчета, естест- венно, становится недопустимо низкой.
Если же расчет ведется з лагранжевых координатах, узлы счетной сетки движутся вместе с веществом и число ячеек сетки в каждой зоне остается неизменным, как бы ни сжимались сами области. Задачи в которых неудобны как эйлеровы, так и логр нжевы координаты.
Эйлеровы координаты оказываются неудобными в таких задачах, где рассматривается среда, состоящая из областей, заполненных вещесгвамн с разными физическими свойствами. Если в процессе течения границы таких областей передвигаются на заметные расстояния, т.е. контактная граница проходит последовательно через много счетных ячеек, происходит чисто вычислительное «размазывание» границы. Если не вводить в расчет эту границу явно (в виде отдельного математического абьекта), трудно указать, где имеется вещество одного типа, а где — другого. Приведем примеры содержательных задач, в которых нас как раз интересует достаточно точная картина эволюции контактных границ и в которых эти границы заметно перемещаются в пространстве.
й 23) РЕЩЕНИЕ ДеГМЕ»НЫХ Злллч глзаевй ДИИДМнКн 349 Задача о дифракции сильной ударной волны. Рассмотрим течение, особенности которого поясняет рис 40. По Г-образному каналу, заполненному газом, движется очень сильная ударная волна. В некоторый момент она выходит на границу твердого тела (заштрихованного иа рис. 40а), возникает сложное течение, основными объектами которого являются прошедшая и отраженная ударные волны в газе, ударная волна в твердом теле. При этом возникает существенное искажение перво- начальной контактной границы, связанное с течением типа мощной струи (рис. 40б).
Расчет пгщобных течений в координатах Эйлера затруднен тем, что определяющую роль в разви- Ударная Ря волна Ря»Р, тии явления играет имен- ' « б но форма поверхности, разделяющей разные гаРис. 40 зы. В эйлеровой системе эта поверхность «теряется», Трудности расчета в лагранжевых переменных связаны с существенными искажениями первоначальной геометрии лагранжевой сетки' при расчете течений с сильными деформациями. Дело е том, что в таких течениях происходит, так сказать, перемешивание вещества. Частицы газа, бывшие в начале процесса близкими друг к другу, стечением времени расходятся на большие расстояния: Наоборот, далекие вначале частицы газа могут сблизиться. Физически на движение частицы оказывают влияние лишь те частицы газа, которые в данный момент непосредственно примыкают к ней, (Этот факт связан с тем, что уравнения газовой динамики — это дифференциальные уравнения в частных производных.) В лагранжевых координатах близкими всегда считаются те частицы, которые были близки в начале процесса.
Это приводит к тому, что разностные формулы в лагранжевых координатах с течени- Задача о волнах на новерхностпи. Рассмотрим течение, возникающее вследствие неустойчивости тангенциального разрыва. Пусть при г = 0 линия у= 0 является линией разрыва в начальных данных; при у < 0 заданы постоянные значения н = и = О, р и р„при у> 0 — значения в = О, и > О, р и рз«рг (при у< 0 — покоящаяся вода, при у > 0 — воздух с горизонтальным «ветром»). Такое течение является стационарным решением уравнений газовой динамики («чистый» тангенциальный разрыв).
Но если поверхность раздела сред немного возмутить, разовьется сложное течение с сильной деформацией поверхности раздела. Лагранжевы координаты здесь неудобны: отображение (г, х, у) «е(г, $, г)) разрывно. 350 пгивлижвиныв мвгоды вычислительной +изнки [ч.
и ем времени теряют точность до такой степени, что расчет не заслуживает никакого доверия. Первоначально прямоугольные ячейки постепенно деформируются, теряют даже форму параллелограммов, а в особо сложных случаях часто наблюдается «выворачиваниеь лагранжевой ячейки. Р1С-метод (метод частиц в ячейке), Р1С-метод (Рагйс!е-1пСей) был предложен и разработан Ф. Харлоу (Лос-Аламос) в 1955 г. и является типично американским. Этот метод требует большого обьема оперативной памяти и большою числа арифметических операций, поэтому в нашей стране он нашел применение лишь в последние годы — после ввода в эксплуатацию мощных машин серии ЕС.
Теоретическое обоснование метода, видимо, до настоящего времени еще не получило законченной формы, а первоначально метод имел чисто прагматическое оправдание. С его помощью были проведены расчеты очень сложных течений. Хотя точность проведенных расчетов признается не всеми и большинство вычислителей согласны с тем, что она не очень высока, качественная картина, полученная в расчетах, выглядит убедительной и правдоподобной.
А если учесть, что попытки проведения подобных расчетов другими методами приводят обычно к явно недостоверным результатам, легко понять популярность Р1С-метода. Характерная ситуация, в которой Р1С-метод демонстрирует свои преимущества перед иными, — это течение среды, первоначальна разделенной на простые по форме области, заполненные разными веществами.
В процессе течения эти области сильно деформируются и перемещаются в просгранстве. Для расчета подобных течений неудобны как эйлерова сетка (происходят большие перемещения контактных границ в геометрическом пространстве), так и лагранжева (происходит сильная деформация первоначальной лагранжевой сетки), Р!С-метод — это попытка совместить достоинства эйлерова и лагранжева описаний течений сплошной среды.
Перейдем к описанию вычислительной схемы метода. Эйлерова сетка. Область течения покрыта неподвижной в пространстве сеткой. Для простоты будем считать шаг сетки Ь постоянным, одинаковым по х, у. Ячейки сетки занумерованы парами индексов й 1. Величины, которые в дальнейшем помечиотся индексами г, 1, трактуются либо как относящиеся к ячейке в целом, либо (при разностной аппроксимации уравнений) как относящиеся к центру ячейки.
Основные счетные величины В центрах счетных ячеек определены Величины и"... и", — компоненты скорости среды (индекс л показывает их принадлежность,ко времени 1„). Совокупность чисел го, г„..., г„, ... образует временную сетку, вообще говоря неравно- гашение лвхмьтных зхллч гхзовоя линлмнхн 351 меРнУю; г„,, = г„+ г„+ из (шаг т«+ из выбиРаетсЯ на основе сообРа- жений точности и устойчивости в зависимости от состояния среды в момент г„). Кроме того, в ячейках (1, /) определены величины (Е„" . Р М'„',,) (а = 1, 2, ..., А).
Поясним их смысл. Иногда ради удобства мы будем опускать ин- дексы г, /, но не следует забывать, что этн величины — свои в каж- дой ячейке. Напомним, чзо в задаче изучается течение в области, заполненной в разных частях веществами с разными физическими свойствами (а — номер вещества). Вообще говоря, в данной ячейке может быть либо одно вещество, либо несколько разных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
