goldin-novikova-vvedenie-v-kvantovuyu-fiziku-2002 (810754), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Пренебрегая единицей в знаменателе формулы Ферми, имеем у 2 Й -14ьн,.у~ьт 2И 4„„я,1 „-«+к,.уьт .Г (2яд) з (2яй) з,/ ля Р3 юсти Энергия Ферми м ьч Е м.д и и Рис. 136. К расчету плотности электронов и дырок в полупроводнике. Переходя от импульса к энергии с помощью формулы р, = ту2т,„'Ь'„ и от числа электронов Л„к их концентрации и,„=- Лну$', найдем (2т* ~зг'а — 4Уьт / Е1га — Б„Уьт4Е (13.6) 2 .звз о Интегрирование в (13.6), строго говоря, следует производить от дна до потолка зоны проводимости. Однако при увеличении Еи экспоненциальный множитель в подынтегральном выражении настолько уменьшается, что верхний предел можно заменить бесконечностью, что и было сделано в (13.6). ГЛАВА 13 Произведя интегрирование, найдем ио = 1,)„е (13.7) ир = Я„е (13.9) Яр — -- 2.5 10 ( —,) (2 ) см (13.! О) В выражения для Я„и Я входят эффективные массы электронов и дырок.
У германия и кремния значения масс зависят от направления движения электронов относительно осей кристалла (см. (12.35м)), 1-!аибольшие значения эффективных масс (продольные массы) составляют для электронов 1,6кпе в германии и 0,98ш, в кремнии. Массы дырок соответственно равны 0,34т,„и 0,52впе Минимальные значения масс (поперечные массы) существенно меньше.
Они составляют для электронов 0,08пт, у германия и О, 2т, у кремния. Соответствующие массы для дырок равны 0,04 и О,!6 масс электрона'. Остановимся сначала на собственных полупроводниках. У таких полупроводников концентрации электронов и дырок равны друг другу. !!риравнивая правые части (13.7) и (!3.9), найдем ти„' 9 — 5 = 7с7' 1п — = — ' И' 1и —.. 1,)„2 т,', Естественным масштабом для величины т! — 5 является ширина щели (запрещенной зоны) тл. Как мы видели, лТ « Ь.
Приведенные массы 1 На самом деле сушестаует даа типа дырок — легкие и тяжелые. Множитель Яа в (13.7) играет роль эффективного числа уровней в зоне проводимости. Правая часть равенства (13.8) приведена в виде, удобном для численных оценок. Температура 293 К соответствует комнатной. Формула (13.8) показывает, что эффективная плотность уровней у полупроводников существенно меньше плотности ионов в решетке, тогда как у металлов зти плотности близки друг к другу. Причина различия заключается в том, что у полупроводников существенны только электронные уровни, расположенные в области дна зоны проводимости, где мал фазовый объем 4яр~г)р. Рассуждая аналогичным образом (смысл величины г1 ясен из рис.
136), найдем $66. Концьгнтрхция элсктронов и дьшок Энвргия Фаями 33? электронов и дырок близки друг к другу, так что !п(тп„*,?ги,*,) обычно не превышает единицы. Поэтому с хорошей точностью можно считать (13. 12) ! =б. Уровень Ферми в собственных полупроводниках лежит вблизи середины запрещенной зоны (практически совпадает с пей).
В полупроводниках и-типа концентрация электронов существенно превышает концентрацию дырок, а в полупроводпикахр-типа преобладает концентрация дырок. Уровень Ферм и в пол упр озоди иках и-типа смещен от середины запрещенной зоны вверх (к зоне проводимости), а в полупроводниках р-типа — вниз, к валентной зоне. Перемножим формулы (13.7) и (13.9): п,„пр — — Я„Яре -гг?ьт (13.13) При написании (!3.13) сумма б + г! была заменена шириной щели Л. Эта формула показывает, что п р о из в еде н и е ко н ц е н т р а— ций электронов и дырок не зависит от положения уровня Ферми, т. е. от количества примесей в пол у п р о в о д н и к е. При внесении в полупроводник донорных атомов концентрация электронов увеличивается, а, следовательно, концентрация дырок уменьшается, а при увеличении числа акцепторных атомов концентрация дырок увеличивается за счет уменьшения концентрации электронов.
Из (13.12) следует, что в собственном полупроводнике концентрации электронов и дырок равны друг другу. Обозначая эти концентрации и„ найдем (13.14) и формула (!3.!3) может быть записана в более простом виде а г~ьггр пг ' (13.15) Обратим внимание на показатель экспоненты в (13.14). Он равен — Ь?2йТ, а не — Ь,?йТ, как могло бы на первый взгляд показаться. Эта особенность формулы связана с распределением энергии перехода между электроном и дыркой. Половина энергии перехода приходится на долю электрона, а половина — на долю дырки.
ГЛАВА 13 ф 67. Электропроводность полупроводников Электропроводность полупроводников, как и любых других тел, определяется концентрацией носителей тока и их подвижностью. При переходе к полупроводникам формула П2.42) приобретает следующий вид: а Г77ртп 77рТр, 7т = е ) "„" + „) = п„еи„,(+ар'еггр1 (13.16) т*„7П„* В собственных полупроводниках электроны и дырки вносят сравнимый вклад в электропроводность.
В полупроводниках и-типа основной вклад вносят электроны, а в полупроводниках Гртипа — дырки. В соответствии с величиной вклада в электропроводность электроны в полупроводниках и-рипа и дырки в полупроводниках р-типа называются о с н о в н ы м и носителями в отличие от неосновп ых носителей, вносящих в электропроводность меньший вклад. Рассмотрим зависимость электропроводности от температуры. При изменении температуры злектропроводность меняется из-за изменения как концентрации носителей, так и времени релаксации. В металлах основную роль играет уменьшение времени релаксации с ростом температуры (с увеличением числа фононов, на которых, как мы знаем, рассеиваются электроны).
В собственных полупроводниках этот эффект также присутствует, но перекрывается быстрым увеличением концентрации носителей, которая экспоненциально возрастает с увеличением Т. Поэтому с ростом температуры злектропроводность чистых полупроводников резко увеличивается. Рис. 137. Зависимость удельной проводимости примесного полупроводника от концентрации электронов.
Сложнее зависит от температуры концентрация носителей в примесных полупроводниках. Кривая зависимости концентрации от темпе- э б? ЭлектРОпРОВОДность пОлУпРОВОДникОВ пг т 2 2 г!2, 2 П,тр = 2е Йгг„пй тп„' (13.17) Вторая из полученных формул показывает, что кривизна кривой гг —. = гг(пи) является существенно положительной величиной, так что заВисимость гг = п(гг ) имеет один минимум, подобно тому, как это изображено на рис. 137. Положение минимума можно найти, приравнивая нулю производную г(гт(г)п, определенную выражением (13.17): т„гг, тр 2 гп„' пз тп„' Заменяя в этом соотношении ггзугг„через пр, найдем гг„г игпр пр,пр ~р 'и (13.
18) Сравнивая выражение, стоящее в правой части полученной формулы, с соотношением (12.41), найдем, что оно равно отношению подвижностей электронов и дырок и обычно отличается от единицы не более ратуры состоит у них из двух участков. Увеличение концентрации в области низких температур связано с опустошением донорных уровней (или с заполнением акцепторных). Этот процесс в большинстве примесных полупроводников заканчивается при температурах несколько десятков градусов Кельвина, т.е. задолго до комнатных температур. Быстрое опустошение донорных уровней (и заполнение акцепторных) связано не только со сравнительно малой энергией, необходимой для перехода, но и с тем обстоятельством, что эффективная плотность уровней в зоне проводимости и в валентной зоне на несколько порядков величины превосходит плотность примесных атомов.
После того как опустошение донорных и заполнение акцепторных уровней заканчивается, дальнейшее увеличение температуры приводит к росту собственной проводимости, происходящему из-за теплового переброса электронов из валентной зоны в зону проводимости (второй участок кривой). Этот процесс происходит в примесных полупроводниках так же, как и в чистых, и определяется множителем ехр( — гЬ,г2)сТ). Исследуем, как зависит электропроводность полупроводника от концентрации примесей. Для этого продифференцируем (13.16) по пи. При дифференцировании пр следует заменить через и, с помощью (13.15). Вычисление дает 340 ГЛАВА 13 чем в несколько раз, так что в минимуме электропроводности и„= тгр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
