goldin-novikova-vvedenie-v-kvantovuyu-fiziku-2002 (810754), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Число разрешенных состояний д(Е) пЕ в объеме И в интервале энергии г1Е можно найти с помощью формулы (8.9): 324 ГЛАВА 12 принятое значение дг: р =- 1 (3яздзКР 5 эв. 2т (12.46) Напомним, что энергии 5 эВ соответствует температура около 50 тысяч градусов Кельвина. Таким образом, энергия Ферми во много раз превышает температуры, при которых существуют твердые тела. Наша оценка показывает, что сделанное в начале расчета предположение о том, что Т = О, на самом деле является лишним, так как и всегда много больше йТ. Таким образом, при любых температурах, при которых металлы существуют в твердом виде, э л е к трои н ы й га з в металлах сил ь но вы рожден: все нижние состояния зоны проводимости, вплоть до 1ь заняты, все более высокие — свободны, а между ними находится узкая область шириной порядка йТ, в которой имеются частично занятые состояния.
Электроны, занимающие эту область,— и толька они — перераспределяются при различных физических процессах. Из сказанного ясно, что в физике металлов важнейшую роль играют электроны, энергия которых близка к энергии Ферми. Эти электроны располагаются вблизи п о в е р х н о с т и Ф е р м и — поверхности Е = = и в 1с- (или р-) пространстве. Поверхность Ферми сохраняет периодичность по волновому числу (или квазиимпульсу) и состоит из повторяющихся геометрических фигур, которые могут иметь самые разные формы. На рис.!30 изображена поверхность Ферми для меди.
Элементы поверхности имеют почти сферическую форму. Намного более сложный вид имеет поверхность Ферми у свинца (рис. 131). Большая или меньшая сложность поверхности Ферми зависит от симметрии кристаллической решетки и от плотности электронов. Высокая концентрация электронов в зоне проводимости существенно сказывается на большинстве физических свойств металлов. Однако она почти не влияет на теплоемкость металлических кристаллов.
При достаточно высоких температурах теплоемкость как диэлектриков, так и металлов неплохо описывается формулой Дюлонга и Нти (11.45), в которой учтены только те степени свободы, которые связаны с движением атомов, и не принимаются во внимание электроны. По классическим представлениям их присутствие должно было бы, грубо говоря, удваивать теплоемкость, чего на самом деле не происходит. Причина, меп~ающая электронам проводимости вносить вклад в теплоемкость, заключается в их в ы р о ж д е н и и.
Подавляющая часть электронов никак не реагирует на нагрев или охлаждение кристалла, потому что их движение измениться не может. Повышение температуры 325 з 63 ЭлектРОны в метАллАК сказывается только на той части электронов, энергия которых близка к энергии Ферми. При повышении температуры эта область «размывается», а при понижении — сужается. Доля этих электронов, грубо говоря, равна отношению «приповерхностного» объема к полному, т.е.
Ыре г«рм гфе -3 з рн' где урн — «область размытия» поверхности Ферми. Полагая для оценки Е = р~/2гп, г1ЕЛ - -2КТ, найдем 4 Г 1 МЕР И" РР 2 Р Р' Рис. 130. Поверхность Ферми для Рис. 131. Поверхность Ферми для свинца. меди. Таким образолп доля электронов, участвующих в тепловом движении по порядку величины равна ЗИ'',Гр, т.е. при Т вЂ” 300 К составляет менее 1"т« от полного числа электронов.
Именно поэтому при нормальных температурах электроны почти не вносят вклада в теплоемкость. Ситуация кардинально меняется при низких температурах, когда теплоемкость решетки резко уменьшается. Произведем простые оценки. Теплоемкость, приходящаяся на один «полноправный» электрон, равна (3/2)1ъ Доля таких электронов, как мы выяснили, составляет ЗЙТ/1«. Концентрация электронов была обозначена ~ерез Х. Таким образом, связанная с электронами теплоемкость, грубо говоря, ГЛАВА 12 326 равна с — Й»у ' , а электронная теплоемкость, рассчитанная на 1 моль (Х = Хл), равна 9 ВТ В литературе обычно приводится более точная формула для молярной теплоемкости электронного газа: к Р»Т », яа»»в (12.47) Эта формула совпадает с полученной выше с точностью до несущественного множителя и»'-г»9. Таким образом, теплоемкость электронного газа в металлах линейно зависит от температуры, в то время как теплоемкость решетки (теплоемкость фононного газа) пропорциональна Тз.
Поэтому при достато шо низких температурах (порядка 1 К) электронная теплоемкость превышает решеточную. Вернемся к электропроводности металлов. Формула (12.42) была выведена в предположении, что все электроны, находящиеся в зоне проводимости, принимают участие в электропроводности. Не следует ли в эту формулу внести поправочный фактор ЗАТ)ц, подобно тому как это делалось при расчете теплоемкости? Покажем, что в этом нет необходимости. На рис. 132 изображены две сферические поверхности Ферми — до и после включения электрического паля. Четкие границы сфер характерРис.
132. К электропро- ны для низких температур. Результат включеводности металлов. ния поля можно рассматривать двумя способами. Можно считать, что сфера перемещается как целое (наша «старая» точка зрения), а можно говорить, что сфера осталась на месте и только левая заштрихованная лунка заменилась на правую, так что ток переносят только электроны, расположенные в лунках, т.е. вблизи поверхности Ферми («новая» точка зрения). Из рисунка ясно, что обе точки зрения в данном случае приводят к одному и тому же (по крайней мере, качественно) результату, так что формула (12.42) не нуждается в пересмотре.
В заключение скажем несколько слов о роли столкновений в сильно вырожденном газе. Легко видеть, что такие столкновения в большинстве случаев «заканчиваются безрезультатно». Подавляющая часть состояний, в которые мог бы перейти электрон после столкновения, уже э 63 ЭлектРОны В метАллАх 32? занята, так что электрон может либо перейти в какое-либо из свободных состояний с энергией, большей и, что случается редко, либо остаться в своем первоначальном состоянии. В этом случае говорить о столкно- вении не имеет смысла.
ГЛАВА 13 ПОЛУПРОВОДНИКИ ф 64. Чистые и примесные полупроводники Пол у яр о води и ка м и на вы в а ются кр и с талл ы, которые при нормальных температурах проводят электрический ток, а при низких температурах являются изоляторами. Это означает, что у них при низких температурах самая верхняя из заселенных зон — валептная зона — до конца заполнена, а следующая за пей зона — зона проводимости — не содержит электронов.
Между этими зонами расположена запрещенная зона, ширина которой часто называется шириной щели. В отличие от изоляторов, ширина запрещенной зоны у полупроводников невелика. Так при комнатных температурах у германия ширина щели составляет всего 0,67 эВ, а у кремния — 1,11 эВ. Поэтому при нормальных температурах тепловое движение перебрасывает часть электронов из валентной зоны в зону проводимости и в обеих зонах появляется электропроводность'. Кроме германия, кремния и некоторых других элементов, к полупроводникам относится большое число химических соединений.
Среди них важную роль играют бинарные соединения, составленные из двух атомов, принадлежащих разным группам периодической системы: баЛь, А166, 1п66 и многие другие. Четкой границы между полупроводниками и изоляторами нет. Обычно к полупроводникам относят вещества с шириной щели меньше 3 эВ. Энергетическая схема расположения зон в полупроводниках приведена на рис. 1ЗЗ. На этом рисунке изображено положение зон и расположение энергии Ферми-' у чистых, или, как еше говорят, с о б— с т в е н н ы х, полупроводников, т.е. полупроводников, практически не содержащих примесей. Направление вверх соответствует возрастанию потенциальной энергии электрона. Электрический потенциал возрастает в обратном направлении.
Как будет пояснено ниже Я 66), энергия 'Большую роль в проводимости играют примеси. ЗВ физике твердого тела энергию Ферми аам ~гго обозвачают Еи, а пе гг. э 64. Чистые и ПРимеспыв полУИРОВОДники Зона =проводимости= .'Энергия Ферми Запрещенная зона Валенгнвя зона Рис. 1ЗЗ. Схема расположения энергетических вои у чистых полупроводников. Ферми у собственных полупроводников лежит вблизи середины: запрещенной зоны. Количество электронов в зоне проводимости !и свободных мест в валептной зоне) составляет у собственных полупроводников ничтожную долю < 1О 'о от числа атомов. Поэтому даже очень пеболыпие концентрации примесей, способных увеличивать или уменьшать количество электронов проводимости, существенно влияют на электрические свойства полупроводников.
Полупроводниковая техника стала интенсивно развиваться лишь после того, как были найдены методы получения веществ исключительной чистоты. Оценим энергию связи электронов в полупроводниках. В водородоподобных атомах энергия связи электронов выражается формулой В атомах, не принадлежащих к числу водороподобных, эта формула может быть использована в качестве оценочной. При определении л следует учитывать экранировку ядра внутренними электронами электронной оболочки атома. При оценках можно полагать л =" 1. Радиус боровской орбиты у водородоподобных атомов определяется выражением йг о = 7 ГГ1 е Е 11ри оценках и в этом случае можно полагать л = 1. Для кристаллов вместо массы электрона т„ следует подставлять эффективную массу т*, которая у полупроводников в несколько или даже во много раз меныпе тя, Рассчитанный по приведенной форму- 330 ГЛАВА 13 2евйз и" еа (13.1) =0,5.10 ае — ' см т*ее ш' (13.
2) Мы приходим, таким образом, к очень большим — по сравнению с атомными — расстояниям между внешними электронами и «свонмн» ионами и к очень мали»м энергиям связи. Обе эти причины приводят к тому, что внешние электроны в полупроводниках обобществляются'. Кристаллы германия и кремния связаны ковалентными силами и имеют структуру алмаза (рис. 106). Для управления электрическими свойствами этих полупроводников в них вводят атомы донорных и акцепторных примесей. Донорными являются атомы»У группы таблицы Менделеева (Р, Аз, 3(»), имеющие 5 валентных электронов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
