goldin-novikova-vvedenie-v-kvantovuyu-fiziku-2002 (810754), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Мы произвели его из формальных соображений. Покажем, что к близким значениям щ,„,„ приводят соображения, основанные на представлениях о зонах Бриллюэна. Как мы знаем, предельное волновое число, соответствующее краю этой зоны, для линейной цепочки равно )гмья — и!гт. При кубической решетке это зна Об чение применимо и для трехмерноРис. 120 Зависимость теплоемкости го случая, а для кристаллов других кристалла от температуры по Дебаю. симметрий справедливо по порядку величины. Мы вправе поэтому ожидать, что должны выполняться следующие оценочные формулы: (11.54) Сравнивая это выражение с (П,47), мы, действительно, наблюдаем их близкое согласие.
Формула (П,51) позволяет перейти от оценочных формул для щвмх к соответствующим формулам для температуры Дебая, В табл. 7 приведены дебаевские температуры некоторых веществ. Таблица?. Дебаевские температуры некоторых кристаллических веществ ф 58. Решеточная теплопроводность При наличии градиента температуры в кристаллах, как и во всех других телах, возникают тепловые потоки. Материальными носителями этих потоков являются фонопы. При полуколичественных оценках для фононной (решеточной) теплопроводности можно применять обычную формулу для теплопроводности газов м —.. свЛ73, (11.5о) Э 58 Ряшгточнхя тяплопговодность 301 где хг — теплопроводность, с — теплоемкостгч отнесенная к единице объема газа, а — скорость фононов, а Л вЂ” средняя длина их свободного пробега.
Теплоемкость решетки мы научились рассчитывать в предыдущем параграфе. Скорость звука следует считать известной. Обсудим причины, ограничивающие длину свободного пробега фононов. При низких температурах, когда тепловые колебания невелики и ангармоничность сил, связывающих атомы в решетке, еще можно не принимать во внимание, длина свободного пробега Л очень велика. При низких температурах ее величину ограничивают примеси, дефекты кристалла и размеры самих кристаллов. Длина свободного пробега фононов может равняться при этом нескольким миллиметрам.
Рассеяние фононов на дефектах кристалла схематически изображено на рис. 121. При рассеянии фонон меняет направление движения, не изменяя своей энергии. При повышении температуры на распРостРанении звУковых волн все больше Рис. 121. Схема рассеяния фо- начинает сказываться ангармоничность ко- ионов на дефекте решетки.
лебаний. Соответствующие процессы изображены на рис. 122. При разделении, слиянии и столкновении фононов выполняется закон сохранения энергии, а закон сохранения импульса верен с точностью до Ьр = 2яйи(а (см. П1.33) и следующий за ней текст). чь 1 Ът Рис !22. а — Распад одного фонона на два; б — слияние двух фононов в один; в — столкновение двух фононоз, приводящее к их рассеянию.
Формула (11.55) позволяет оценивать теплопроводность кристаллов, если известна длина свободного прооега фононов, и может служить для определения этой длины, если сведения о ней отсутствуют. При температурах, близких к абсолютному нулю, теплопроводность кристаллов возрастает с температурой вместе с его теплоемкостью, а затем быстро падает из-за уменьшения длины свободного пробега фононов.
ГЛАВА 12 ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛАХ 9 59. Связанные колебательные системы. Разрешенные и запрещенные зоны В твердых телах атомы близко подходят друг к другу и не могут рассматриваться как независимые. Задача о положении уровней взаимодействующих атомов очень сложна и нс может быть исследована простыми методами.
Основные эффекты, которые возникают при таком взаимодействии, близки к эффектам, происходящим при взаимодействии классических колебательных систем. Рассмотрим две одинаковые классические колебательные системы Х и У, например, два маятника или два колебательных контура. В отсутствие взаимодействия их движение описывается обычными уравнениями (12.1) х- ок х =О, у+щ у=О. Переменные т и у в этих уравнениях определяют характерные для системы изменяющиеся величины — отклонение маятников или напряжение в электрических контурах и т.д.
Частота колебаний гп у обеих колебательных систем одинакова. «Включим«взаимодействие между системами (наприьтер, свяжем маятники слаоой пружинкой или сблизим колебательные контуры). Сила, действующая на первую систему, начнет после этого зависеть нс только от координаты х этой системы, но и от координаты у другой системы. В силу одинаковости систем влияние системы У на систему Х равно влиянию системы Х на систему У. В присутствии взаимодействия уравнения движения примут поэтому вид' х — щ х+ оу = О.
у+ щзу -, ап: = О, (12.2) 'Равенство ковффипиептов при перекрестных членах докааываетск в Приложении П). аПри написании (!2.2) предполагалось, что,о) « ька. 959. СвязАнные колеБАтельные системы зоз Чтобы решить эту систему, следует перейти к координатам и и ш и = к+ у, ш = (и+о)У2. о = ш — у, у = (и — тг)гг2. (!2.3) Складывая и вычитая уравнения (12.2), с учетом (12.3) найдем й+ (оз + а)и = О, О+ (ага — а)о = О. (12А) Вводя обозначения 2, 2 'Зт ОЗ Гхг ОГ2 (12.5) найдем 'и — Аг з122( ~гг-, газ)г и = Аззш(ш21 — , '922).
(12.6) Ат и А2 — амплитуды колебаний,:дт и гдз — их начальные фазы. Возвращаясь с помощью (12.3) к переменным л и у, найдем, что колебания наших систем складываются из двух гармонических колебаний и и о, несколько различающихся по частоте'.
Константы Аз, А, гдт и р зависят от начальных условий. Рассмотрим, например, случай, когда в момент а =-- О колебалась только система Х. Нетрудно убедиться, что в этом случае Аз = Аз — А и грз =.газ = = пгг2. Тогда ю = — (сов шг1 р созоз21), д .= —,(созиггг — созог21). А А 2 ' 2 С течением времени различие между штг и иг21 постепенно увеличивается. При о 21 — нг21 = я колебания в системе Х затухают, а в системс 1" доходят до максимума. Затем снова вся энергия колебаний сосредотачивается в системе Х и т.д. Главный результат, который следует отметить, заключается в том, что две одинаковые системы с равными собственными частотами после «включения» взаимодействия характеризуются двумя коллективными колебаниями и и и со слегка ярасщепившимися» частотами ~т и В квантовой механике уровни энергии осциллятора квантуются, причем расстояние между уровнями равно энергии перехода й ~.
Изменение частоты колебаний нг приводит к изменению расстояния между уровнями. Расщепленные уровни энергии, соответствующие колебаниям и и о, являются коллективными уровнями и характеризуют не атомы порознь, а систему из двух взаимодействующих атомов. гВ теоретической механикс гарлюннческне саставляющне и н о носят название нормальных колебаний. зол ГЛАВА 12 Подобное «расщепление» частот происходит и в кристаллах, состоящих не из двух, а из большого числа взаимодействующих между собой одинаковых атомов.
Наиболее сильно выражено расщепление «верхних» уровней, связанных с движением электронов, слабее всего связанных со «своими» атомами и ближе всего подходящих к «чужим» атомам'. Рассмотрим для примера кристалл, содержащий грамм-атом нещества.
Каждый из уровней в этом случае расщепляется на 6 10зз подуровней. При этом величина расщепления зависит не от числа атомов в кристалле, а от силы их связи. Поэтому все подуровни, на которые расщепляется один атомный уровень, находятся внутри некоторой полосы с.'»Е, ширина которой при не очень сильной связи оказывается существенно меньшей, чем расстояние между соседними невозмушенными уровнями. Ясно, что распределение расщепленных уровней в полосе тдЕ оказывается непрерывнымз. Уровни, образовавшиеся при расщеплении каждого атомного уровня, образуют свою р а з р е ш е н н у ю з о н у. Разрешенные зоны разделены между собой свободными от уровней энергетическими промежутками, которые называют з а п р е щ е н н ы м и з о н а м и.
Зону, возникшую при расщеплении какого-либо уровня, принято обозначать также, как и сам уровень. На рис. 123 изображено образование энергетических чон из атомных уровней 1з и 2з в кристалле лития. На рисунке видно, что зона 2з существенно шире зоны 1в, так как радиальная протяженность волновых функций, соответствующих уровню 2л, гораздо больше (рис.
107), чем их протяженность для 1л-уровня, и взаимодействие 2з-уровней проявляется существенно сильнее. Рассмотренная картина расщепления характерна для всех твердых тел. В зависимости от свойств конкретного тела меняется число, ширина и распределение зон, но общий характер картины не изменяется. Низко расположенные атомные уровни переходят в твердом теле в очень узкие зоны, а высоко расположенные уровни образуют зоны большой ширины. Если в твердом теле имеется несколько сортов атомов (например, в случае МаС)), то возникиот зоны из уровней энергии всех компонент. Самыми широкими оказываются зоны, соответствующие уровням валентных электронов. Именно поэтому у твердых источников излучения не обнаруживаются линейчатые оптические спектры, характерные для атомов, входящих в их состав.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
