goldin-novikova-vvedenie-v-kvantovuyu-fiziku-2002 (810754), страница 58
Текст из файла (страница 58)
В заключение рассмотрим природу теплового расширения. Покажем, как оно связано с ангармоничностью колебаний. Мы не будем з55. КолевАния кРистАллических Решеток 289 рассматривать ~силовое расширение кристалла, потому что зта задача слишком сложна, а покажем, как возникает тепловое расширение на примере двухатомной молекулы, связанной силами, имеющими ангармоническую составляющую. В отсутствие колебаний расстояние между центрами атомов определяется раз- Ы меРами их электРонных оболочек и Равно ~ ОФ вета а 10 зем. Обозначим удаление от положения равновесия буквой х.
При наличии квадратичной ангармонической составляющей сила, действующая между атомами, может быть записана в виде - пуа КГ'а й Рнс. П9. Акустическая и оп- тическая ветви колебаний. Š— — --ягх щ мгх . , а О величине коэффициентов яг и мт мы поговорим позднее. Уравнения Ньютона для нашей молекулы имеют вид т -, ягх — мтх = О. г1 х сЫ Найдем среднее значение г~зхфаа.
По определению среднего значения где Т вЂ” период колебаний. Это выражение равно нулю из-за периодиче- ского характера движения, Наше уравнение принимает теперь вид Тепловым расширением называется изме~ение среднего значения рас- стояния между атомами (удлинения) с температурой. Возьмем поэтому среднее от написанного уравнения. Будем обозначать средние значения фигурными скобками 290 1ллвх 11 откуда Мы получили важнейший результат. Среднее значение увеличения расстояния между атомами (удлинения молекулы) пропорционально коэффициенту ангармоничности ага и зависит от среднего размаха колебаний хз, а последний, как мы знаем, определяется температурой.
Осталось довести вычисления до конца. При расчете будем считать, что колебания носят, в основной, гармонический характер, а ангармоничность играет роль поправки. Среднее значение потенциальной энергии при гармонических колебаниях равно (таам ) = — аг(л' ) = — 1" Г. 1 2 1 2 2 В правой части этого равенства стоит обычное больцмановское выражение для энергии колебаний. Заменяя в формуле для Ех) величину Ела) значением, полученным из этой формуле, найдем Коэффициентом линейного расширения называется отнесенное к единице объема (в нашем случае — длины) увеличение размера, отнесенное к изменению температуры на 1 градус Мы получили еше один важный результат: коэффициент температурного расширения не зависит от температуры. Для твердых тел это не совсем так.
В области комнатных температур этот коэффициент, действительно, мало зависит от температуры, а в области низких температур зависит очень сильно, но в этой области наши вычисления, основанные на классической физике, мало пригодны. Численные оценки содержат много произвола, поскольку структура нашей модели далека от реальной структуры кристалла. Посьштрим всетаки, чео следует ожидать. Положим для оценки, что ангармонический член в формуле для силы составляет 20 % от гармонического.
Это дает маа = (1,аоа)аа так что а = (1ааГз)(1/и аг)/г. го 56. Фоноцы 291 Труднее всего оценить величину лс. Примем для оценки, что гармоническая часть потенциальной энергии колебаний, при х = а равная (1/2)агаз, по порядку величины равна энергии связи молекулы 10 эВ. Постоянная Больцмана й равна 8,6 10 з эВ/К, о = (1/5)(1/20 зВ)8,6 10 з зВ/К 10 о 1/К. Коэффициенты линейного расширения кристаллов по порядку величины равны обычно 10 ' !/К. Если учесть грубость сделанных предположений, совпадение следует признать не таким уж плохим. В 66.
Фононы Энергия звуковых волн, как и энергия всяких колебаний, квантуется в соответствии с формулой (11. 29) Е = й«о(и 1 1/2) Нулевая энергия колебаний Ео = й ~/2 нас сейчас интересовать не будет. Избыток энергии Е..Ео= « и (11.30) следует представлять себе в виде совокупности и квантов, каждый из которых несет энергию йс». По аналогии с квантами светового излучения кванты акустических колебаний получили название фон онов'. Звуковые волны — с точностью до нормировки — являготся волновыми функциями фононовз.
Энергия и импульс фононов связаны с частотой и волновым вектором звуковой волны обычными соотношениями (11.81) Система звуковых волн, проходящих через кристалл, при квантовом подходе эквивалентна фононному газу, заполняющему кристалл. Система независимых гармонических волн соответствует идеальному газу не взаимодействующих друг с другом фононов. Тепловые свойства кристалла рассчитываются путем изучения термических свойств этого идеального газа. Такая картина, конечно, неизмеримо проще исходной картины, 'термин «фоион был предложен Я.
И. Френкелем. зСитуация с фононами и звуковымн волнами полностью аналогична ситуапии, которая имеется в случае фотонов и световых волн Звуковая полна содержит в себе сведения об интенсивности звука (иормируется на полное число фононов), в то время как волновая функпня нормируется на одни фонои. 292 1лхвл 11 в которой огромное количество атомов совершает тепловые колебания, и может быть несравненно лучше рассчитана. При больших амплитудах звуковые колебания приобретают ангармонический характер, Звуковые волны перестают быть независимыми друг от друга. На квантовом языке при этом говорят о столкновении фононов — при увеличении плотности фононный газ перестает быть идеальным. Рассмотрим основные особенности фононов.
Как мы уже знаем, частота звуковой волны является периодической функцией ее волнового вектора. Это означает, что энергия фонона является периодической функцией его импульса. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, часто говорят, что фонон обладает не импульсом, а к в а з и и м п у л ь с о м. Надлежащим образом выбранная область физически различных значений импульса носит название первой зоны Бриллюэна. В одномерном случае ее положения определяются условием [р, < яб,га. (11.32) Как мы уже выяснили в предыдущем параграфе, периодические свойства волнового числа (и волнового вектора) объясняются тем, что соответствующие волны в узлах кристаллической решетки неразличимы.
Это означает, что к импульсу фонона можно добавить величину (11.33) Ьр — —. 2пйп/а, где и — любое целое число. Из сказанного ясно, что в проиессах, в которых участвует кристаллическая решетка, закон сохранения импульса верен с точностью до слагаемого ,Ьр — -- 2пйпн'а. Более точно следует писать гор —..
2пЛЪ, (11.34) где Ь вЂ” вектор о б р а т н о й р е ш е т к и. В простейшем случае прямоугольной решетки его значение определяется путем очевидного обобщения множителя и/а. В более сложных случаях базисные векторы обратной решетки определяются формулаии [аг, аг' [аг, аг) [аы а ) Ьг =- (а,, аг, аг) (а,, аг, аг) ' ' (а,, аг, аг) (в числителе этих формул стоят векторные, а в знаменателе — смешанное про- изведение). Вектор обратной решетки равен Ь: ЙЬ1 + 1Ьг + пгЬг> где к, 1, т — любые целые числа.
б5б. Фоноцы 293 Процессы, происходящие с добавлением з'.лр, называются п р о ц е ос а м и п е р е б р о с а. Величину Ьр следует выбирать так, чтобы все фононы лежали в области первой зоны Бриллюзна. (При небольших импульсах зто происходит само собой,) Обратим внимание на еще одно важное обстоятельство. При изучении фононов мы сталкиваемся с динамикой частиц, н е о б л а д а ющ и х о п р еде л е н н о й м а с с ой. У обычных медленно движущихся частиц энергия связана с импульсом квадратичным законом р =.- 2тЕ. (11.35) Массой частицы называется деленный на два коэффициент связи между квадратом импульса и ее энергией.
У релятивистских частиц энергия и импульс не связаны параболическим законом. Ясный физический смысл имеет в этом случае только масса покоя частицы. У частиц, движущихся с постоянной скоростью (фотоны, акустические фононы и, по-видимому, нейтрино), энергия пропорциональна импульсу и масса покоя равна нулю'. У фононов закон связи между энергией и импульсом может иметь самый разный вид. Формула (1!.23), которую можно переписать через энергию и импульс; (11,36) является одним из примеров таких законов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
