goldin-novikova-vvedenie-v-kvantovuyu-fiziku-2002 (810754), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Рис. 124. Энергетические зоны бериллия. Косой пприхоикой указаны заполнен- ные электронами уровни. $61. Волны Блохх 309 Валентная зона ф 61. Волны Блоха Исследуем движение обобществленных электронов в кристалле более внимательно. Энергетические уровни электронов определяются из уравнения Шредингера лв — — Ььз(г) + И(г)Яг) = ЕЮ(г),. 2пт (12. 7) Рассмотрим теперь структуру зон у и з о л я т о р о в. У изоляторов последняя из занятых зон — валентная зона — полностью занята, а зона проводимости совершенно пуста.
Схема расположения зон у изоляторов изображена на рис. 125. В качестве примера рассмотрим структуру зон у КаС1. На рис. 126 изображены зоны кристалла ХаС!, получающиеся при расщеплении уровня Зз натрия и уровня Зр хлора. Ьолее низкие зоны не представляют интереса, так как они заполнены. Кристалл МаС! состоит из ионов Ха и С( При образовании ионов энергия Зз-уровня натрия повышается (затрачивается энергия на от- Зона рыв электрона), а энергия Зр-уровня хлора пони- проводи- масти жается (выделяется энергия при присоединении электрона).
Поэтому уровни Зз и Зр пересекаются и электроны уходят из зоны Зз натрия в зону Зр хлора, где есть бтУ свободных мест. Зона Зр оказывается до конца заполненной, а зона Зз — совсем пустой. Расстояние между зонами велико (10 эВ), и спонтанный переход электронов с нижней зоны в верхнюю при обычных тем- пературах очень мало вероятен. Поэтому гчаС! Ряс. 125, Расположение оказывается хорошим изолятором.
энергетических зон Изоляторы представляют собой системы, у у изолятора. которых число электронов в точности равно числу квантовых состояний в заполненных зонах. На примере (х!аС1 было показано, что такое равенство автоматически выполняется в некоторых кристаллах.
На электропроводность кристаллов сильно влияют примеси. Атомы примесей могут отдавать свои электроны в незаполненную зону или поглощать их из заполненной. В обоих случаях возникает проводимость. Таким образом, хорошими изоляторами оказываются лишь достаточно чистые кристаллы.
ГЛАВА 12 С! 'на гь Рнс, 126. Картина расположения верхних энергетических зон в кристалле МаСК где ф — волновая функция электрона, 1'(г) — его потенциальная энергия в электрическом поле решетки, а Š— его полная энергия. Рассмотрим свойства этого уравнения в декартовой системе координат. Оператор Лапласа, стоящий в первом члене формулы, является дифференциальным оператором и от выбора начала координат не зависит.
Потенциальная энергия, входящая во второй член левой части уравнения, представляет собой периодическую функцию координат, поскольку 1'(г — а) =- г'(г), (12.8) где а — любой целочисленный вектор трансляции. Введем новую систему координат, смещенную относительно старой на — а. Векторы р (с проекциями Г, г1, с) в новой системе координат получаются из старых некторов г с помощью очевидной формулы р =- г -Г а. (12.9) е~ — функция электрона в новой системе координат может быть получена с помощью уравнения Шредингера, записанного в этой системе координат: — — гхьь(р) + !'(р)гл(р) = Еф(р) (12.10) Легко видеть, что уравнения (12.8) и (12.!О) не отличаются одно от другого, поскольку +, =,, л=~Л дэ дэ дт д2 дэ дз дюз дуя д а дьлз ' дг!и дьла 1'(р) = 1'(г+ а) = 1х(г).
$61. Волны Блохх Уравнения (12.8) и (12.10), таким образом, идентичны. Это означает, что их решения можно выбрать так, чтобы они отличались только числовым множителем. Обозначим его С (величина множителя, вообще говоря, зависит от вектора трансляции а). Имеем, следовательно, (12.1Ц ф(г - а) = С„из(г). Самый общий вид функции, удовлетворяющей (12.11), имеет вид Ю(г) = ия(г)е (12. 12) где ия(г) — периодическая (с периодом решетки) функция г. Убедимся в том, что функция (12.12) действительно удовлетворяет уравнению (12.11). При замене г на г -, 'а функция ия не меняется, а функция е'"" приобретает множитель Ся = е'Як, который является числом, зависящим от а.
Если повторить трансляцию т раз, то уравнение (!2.12) приобретает множитель (е" )™, как и должно быть. Наше утверждение, таким образом, доказано. Функции (12.12) носят название ф у и к ц и й Блоха. Экспоненциальный множитель функции Блоха соответствует обычной плоской волне. Эта волна модулирована периодической функцией ия(г), которая зависит от структуры кристаллической решетки, от волнового вектора 1« и, вообще говоря, от некоторых других параметров (например, от поляризации волны).
Поянление периодической функции ия(г) в (!2.12) является вполне естестненным, так как электроны кристалла распространяются не в однородной среде, а н среде с периодически изменяющейся потенциальной энергией. К одним областям они притягиваются, а от других отталкиваются. Поэтому плотность электронной волны в кристалле периодически меняется (пропорционально ия(г) ). Она велика в «ямах» и мала «на холмах» потенциальной энергии.
Как мы уже знаем, в кристаллах все физические величины являются периодическими функциями волнового вектора (и импульса). Значения )с принято приводить к первой зоне Бриллюэна. В этой зоне следует выбирать как значение волнового числа, так и импульса — точнее говоря, квазиимпульса — электрона. Как показывает более подробное рассмотрение (см., например, ниже текст, набранный петитом), решения уравнения (12.7), удовлетворяющие всем необходимым требонаниям (однозначности, непрерывности, гладкости и конечности), могут быть найдены не при всех значениях Е.
Те значения Е, при которых уравнение Шредингера имеет такие решения, ГЛАВА 12 312 Исследуем функции Блоха более подробно. Рассмотрим уравнение Шредингера (12.?) Для простаты ограничимся одномерным случаем Как обычно, умножив уравнение на 2аг/й~ и введем обозначение 2гп г/г 1-( )1 /Л( (12. 13) Уравнение Шредингера примет вид ,/г / ' ., — ' /лг(г)Ф = О, г/х (12.14) Входящая в это уравнение функция я~(х) л|ожет, вообще говоря, сложным об- разом зааисеть от х. Важно, однако, что в силу периодичности кристалла /с (х+ а) = я (х) (12.15) для всех х. Здесь а — период кристаллической решетки.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами носят название уравнений Матье и, вообще говоря, аналитически не решаются. Некоторые важные их свойства, однако, легка могут быть установлены. Покажем прежде всего, что среди решений (12.14) всегда имеются два независимых решения Фг(х) и Фг(х), которые при смешении на х, = а не меняют своего вида, а просто умножаются на некоторое число. Так как при замене х на х г- а уравнение (12.14) не изменяется, для доказательства до с тат очно показать, что сушествуют два решения, у которых нач а л ь н ы е ус л о в и я, т.е.
значения самой функции и ее первой производной, одновременно умножаются на некоторое число. При доказательстве будем вначале исходить из двух произвольных независимых решений этою уравнения фг(х) и Фг(х), которые, вообще говоря, указанным свойством не обладают. Искомые решения, как и всякие решения нашего уравнения, могут быть представлены в виде линейной комбинации этих двух решений Опуская индекс при искомом решении, запишем поэтому Ф( ) —..
Ьгфг(х)+бата (х). (12. 16) Для упрощения расчетов выберем в качестве мг(х) и фг(х) решения, обладаю- щие тем свойством, что в начальной точке г'а Фг(хо) = 1, Фг(ха) =- О, ~г(та) =- О., г/г(ха) =' 1. (1'2. 17) образуют области, называемые разрешенными зонами, а области, в кото- рых решений нет, называются запрещенными зонами энергии. К этому результату мы уже приходили с другой та1ки зрения. 361. Волны Блоха 313 Здесь и ниже штрихами обозначены производные по х. Подставляя эти значения в (!2.16), найдем начальные значения Ф(х): Ф(хо) = Ь„Ф'(хо) = Ьг. (1'2.
18) Г!ри переходе через период функция Ф и ее производная равны Ф(хо ч-а) = Ьггггг(хо+ а)+ Ьгфг(хо+ а), Ф (хо- а) = ЬгФг(хо —, а) +Ьггдг(хо+а). (12.19) Функция Ф будет обладать необходимым свойством, если Ф(хо+ а) = ЛФ(хо), Ф'(хо -1- а) = ЛФ'(хо), (12.20) где Л вЂ” некоторое число (в общем случае комплексное). Подставляя (12.!8) и (12.19) в (12 20), найдем Ьдач(то+ а) х Ьгфг(хо а) =- Лбы Ьгагг(хо+ а) г- Ьг4,(хо '. а) = ЛЬг. (12.21) Система (12.21) однородна относительно неизвестных коэффициентов Ьг и Ьг н имеет решение в том и только в том случае, если ее детерминант равен нулю. Ф (хо — а) —.Л, бм( о — 'а) 0 Фг(хода), Фг(хо — 'а) -Л( (12.22) Уравнение (12.22) является квадратнь1м уравнением относительно Л и определяет два решения Лд и Лг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
