goldin-novikova-vvedenie-v-kvantovuyu-fiziku-2002 (810754), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Опыт хорошо подтверждает эти выводы. 3!8 ГЛАВА 12 Формулу (12.34), содержащую дифференцирование по вектору, нужно понимать как сокращенную запись формул ц = дЕ/дрт, и т.д. Координаты электрона находятся путем интегрирования (12.34). Формулы (12.33) и (12.34) возвращают нас от кристалла с его сложным устройством и волн Блоха к динамике одиночных электронов. Разберем некоторые простые примеры. —. кдг'а 0 кГг/в Рнс. 128.
Модельный закон дисперсии для электрона в кристалле. Пусть закон дисперсии электрона (т.е. зависимость его энергии от импульса) имеет вид, изображенный на рис. 128 (одномерная задача), и электрон находится в точке 1. В этой точке его импульс и энергия равны пулю и скорость ц .— —. г1Е1др также равна нулю. Подействуем на электрон постоянной силой Е, направленной, например, вправо. Формула (12.33) показывает, что его импульс будет монотонно увеличиваться, а значит, электрон начнет смещаться вправо по кривой на рис. 128.
Его энергия вначале возрастает. Вместе с ней увеличивается скорость. В точке 2 скорость (наклон кривой Е = Е(р)) достигает максимума. При дальнейшем действии силы электрон начнет приближаться к точке 3. Его импульс и энергия продолжают расти, а скорость (наклон кривой г(Е/др) падает. На границе зоны Бриллюэна (точка 4) электрон останавливается. Фазовая скорость волны при этом остается положительной. Продолжим воздействовать на электрон той же силой.
У правой границы зоны Бриллюэна происходит процесс переброса, и электрон «перескакиваеть к левой его границе — из точки 4 в эквивалентную ей точку 4' (напомним, что из импульса частицы всегда можно вычесть 2п11/а). При дальнейшем движении скорость меняет знак (движение направо сменяется движением налево), а энергия уменьшается. Электрон начинает все быстрее двигаться влево.
В точке 5 он замедляет свое движение и, дойдя до точки 1, останавливается. При изображенном на рис. 128 законедисперсиидвижение электрона под действием постоянной силы носит не равноускоренны й, а колебательны й характер. э 62. ДинАмикА электРОнОВ В кРистАлле На приведенном примере мы старались показать, какие кардинальные изменения вносит в динамику частиц кристаллическая решетка.
Остановимся на их причинах. Переход от обычных уравнений Ньютона к уравнениям (12.33), (12.34) связан, конечно, не с тем, что кристаллическая решетка видоизменяет законы механики. Дело заключается в другом. Привычный метод решения сводится к тому, чтобы рассматривать движение электрона в суммарном поле, созданном как Внешними силами, так и зарядами электронов и ионов, входящих в состав кристалла. Такой подход труден или даже невозможен. Однако оказывается возможным переписать уравнения Ньютона, оставив в их правой части одни только внешние силы.
За это приходится расплачиваться изменением уравнений — переходом к уравнению (12.34). При таком подходе свойства кристаллической решетки включаются в уравнения движения. Это делается с помощью закона дисперсии Е = Е(р), форма которого, в принципе, может быть рассчитана, но, как правило, определяется экспериментально'. В окрестности точек Š†..Ем„ (точка !) и Е =.- Ео„„ (точки 4 и 4' на рис. 128) зависимость энергии от импульса в первом приближении носит квадратичный характер.
В окрестности точки 1 она может быть изображена в виде Е = р~/2пт' (12.35) (коэффициент параболы 1г'2пт' ) О), а в окрестности точек 4 и 4' (12.35') (коэффициент параболы 1Г'2т* < О). В обоих случаях формула (!2.34) приобретает привычный вид (12.36) м =. р/тп если отсчитывать импульс от вершины параболы. При таком отсчете импульса формулы (12.35), (12.35') и (12.36) совпадают с обычными формулами классической механики. Однако вместо массы свободного электрона т,„в них стоит его э фф е к т и ни а я масса пт', которая в центре зоны положительна, а у краев — отрицательна.
При слабой связи, изображенной на рис. 127, эффективная масса электрона в центре зоны близка к массе свободного электрона. В реальных случаях связь не слаба, и эти массы могут отличаться в десятки и даже сотни раз. 'Мы отвлеклись сейчас от квантового характера движения алектрона (лифракция члектронной волны и т.д.) 320 глхвА 12 Формула (12.35) описывает зависимость энергии от импульса вблизи минимума потенциальной энергии лишь в изотропном случае. Если кристалл не изотропен (не обладает кубической симметрией), то эта зависимость имеет более сложный вид: 2 рз а (12.
35") 2т' 2т„* 2гп*. Эффективная масса электрона при этом зависит от направления. Вместо (12.36) имеем р =т г, р„=т*„ою р,=т"гц. (12.36') В качестве второго примера рассмотрим циклотронный резонанс. Исследуем движение электронов кристалла в постоянном однородном магнитном поле. Направим ось Я вдоль вектора магнитной индукции В. Будем считать, что электроны описываются приведенной массой т*.
(Это заведомо так, сели кристалл принадлежит к кубической системе и число электронов в зоне невелико, так что все они умещаются вблизи дна зоны.) Вместо уравнения (12.34) можно в этом случае применять (!2.36). При этом уравнение (12.33) приобретает вид пг'г' = —; (чВ1 (12.37) Для кохгнонент ч имеем б, =- швпю ба = — ывюк, б- = О, где еВ Оу т'с (12.38) Решение этих уравнений имеет вид ов = по з1п ш,1, па — — по сов ш,1, пх = сопзс. (12.39) Электроны движутся по спирали, ось которой совпадает с направлением вектора В.
Направление вращения определяется знаками е и т'. Частота (12.38) называется циклотронной частотой. Электронный циклотронный резонанс можно наблюдать на электронах, располагающихся как у нижнего, так н у верхнего краев зоны. Величину т' и знак ег'т* можно определить с помощью простого эксперимента. Для этого достаточно вдоль вектора В направить на кристалл циркулярно поляризованную электромагнитную волну. При частоте, равной ш,, наступает сильное поглощение вследствие циклотронного резонанса. Поглощение наблюдается лишь при одном из двух возможных направлений циркулярной поляризации. По найденной частоте из (12.38) можно определить эффективную массу электронов. 321 з 62.
ДинАмикА электРОнОВ В кРистАлле т р о н а' и: Е:-6 112.41) 'Термином подвижность» в липературе называют две разные по размерностям величины; коаффициент пропорциональности между скоростью дрейфа частиц и детзствуюптей на них силой и между скоростью дрейфа и напряженностью злектрического поля. Мы здесь применяем этот термин во взорам смысле. Рнс. 129. Схемы рассеяния электронов на фононах. На динамику электронов в кристалле оказывают существенное влияние дефекты кристалла и примесные атомы, на которых может рассеиваться электронная волна.
Не меньшее значение имеет рассеяние на фононах. Особенно сильно оно проявляется при высоких температурах, когда фононов много. Характерные графики рассеяния приведены на рис. 129. На рис.!29а изображено рассеяние электрона, приводящее к возникновению фонона. Возможен и обратный процесс — поглощение фонона электроном.!.1а рис. 129 б приведена схема рассеяния фопона на электроне. Во всех этих процессах сохраняются энергин и импульс (с учетом явлений переброса). Как всегда, процессы рассеяния характеризуются длиной Л и временем т свободного пробега (это время часто называют в р е м е н е м р е л а к с а ц и и).
С их помощью можно рассчитать электропроводность и электронную теплопроводность кристаллов. Расчеты особенно просты в тех случаях, когда электронов мало и их движение рассчитывается с помощью эффективной массы. Рассчитаем для примера электропроводность металлов. Нод действием электрического поля Ь" электроны, находящиеся В зоне проводимости, приобретают ускорение еЕ/т* и скорость етзу,Ут*. Производя усреднение по всем электронам, найдем Е, т' 112,40) где т — среднее время свободного пробега. Среднюю скорость электронов о„, обычно называют с к о р о с т ь ю д р е й ф а.
Как мы видим, скорость дрейфа пропорциональна напряженности поля Е. Их отношение называется и о д в и ж н о с т ыо э л е к- ГЛАВА 12 322 Используя (12.40), можно получить формулу для электропроводности металлов. В соответствии с законом Ома удельная проводимость гг связана с плотностью тока 1 соотношением гг =- т'УŠ—.— иев, (Е, где и— концентрация электронов. С помощью (12.40) и (12.41) найдем (12.42) Как мы видим, столкновения электронов приводят к тому, что под действием постоянной силы электроны приобретают некоторую постоянную среднюю скорость.
В этом смысле поведение э л е к т р о ив н о г о г а з а в кристалле не отличается от поведения обычного газа и описывается привычными формулами кинетической теории. Различие состоит только в том, что в формулы входит не обычная, а э ф ф е к т и в н а я масса электрона (если концентрация свободных электронов невелика и можно вообще пользоваться понятием массы). В заключение рассмотрим влияние температуры на электропровод- ность. Это влияние может проявляться через изменение п и изменение т. В металлах проводимость связана с присутствием электронов в зоне проводимости.
Их плотность п мало зависит от температуры. Основную роль играет уменьшение г при нагревании. Время релаксации т с температурой уменьшается из-за увеличения числа фононов. 1!риведем таблицу с экспериментальными данными, иллюстрирующими зависимость электрического сопротивления от температуры, для двух металлов— алюминия и меди. Таблица 8. Удельное электрическое сопротивление (10 ~ Ом см) для А1 и Си при раз- ных температурах В полупроводниках, т.е. в кристаллах, бедных электронами, решающую роль играет увеличение и (свойствам полупроводников посвящена гл. 13). з 63 ЭлектРОны В метАллАК 323 963.
Электроны в металлах До сих пор мы исследовали явления, которые могут быть поняты путем анализа движсния «одиночных» электронов, не оказывающих существенного влияния друг на друга. Во многих практически важных случаях такое влияние, однако, играет важную или даже определяющую роль. Взаимное влияние электронов прежде всего сказывается через принцип Паули. Начнем с оценки. Электроны подчиняются статистике Ферми. Распределение Ферми изображено на рис.
84 и описывается форму- лой (8.19); (12.43) ехр [(Š— Р) ( П'1 + 1 д(Е) ТИТЕ -- 2И вЂ” дЕ. (2яй)з г2Е (12.44) Число 2 заменяет для электронов множитель (22+ 1), определяющий число спиновых состояний. Найдем энергию Ферми при Т = 0 для металла, у которого в зоне проводимости имеется один электрон на атом. Приходящееся на единицу объема число атомов, а следовательно, и число электронов в зоне проводимости для всех металлов по порядку величины равно Х 10~~ см Из (12.43) следует, что при низких температурах заняты (и, =- 1) все уровни с Е < д и свободны (пь = О) все уровни с Е > д.
Примем для оценки, что электроны в металле свободны (что их энергия и импульс связаны между собой обычной формулой Е .††рз/2т, где ги — масса электрона). Интегрируя (!2.44) от нулевой энергии до энергии Ферми, найдем, что концентрация электронов (1/1х) 1 д(Е)г1Е равна о Х = 2 — = —, (2тд)з~~. з 3 (2яй)а 3 (2яй)з (12,45) Разрешим полученное выражение относительно д, и подставим в него Здесь я, — среднее число электронов в одном состоянии,Š— энергия состояния, д — константа (на самом деле — слабая функция температуры), носящая название з н е р г и и Ф е р м и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
