goldin-novikova-vvedenie-v-kvantovuyu-fiziku-2002 (810754), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Для каждого из ннх система (12.2!) может быть разрешена и определяет (с точностью до постоянного множителя) два набора решений Ь'„Ь~г н Ь",, Ь~г'. Подставляя эти значения в (12.16), получим функции Ф,(х) и Фг(х), определенные с точностью до постоянного множителя. Это и есть искомые функции, существование которых мы, таким образом, доказали. Исследуем уравнение (12.22). Раскрывая детерминант, найдем Л -- Л[фг(хо Ф а) — ' Фг(хо а))-'г — [Фг(го а)ыг(хо — а) — М(хо+ а)фг(хо -1- а)1 = О. (12.23) Г'(х) = Фг(х)ь,"г'(х) — Фг'(х)фг(х) = Фг (х)!с "(х)фг(х) — й (х)1~"г(х)таг(х) = О.
Покажем прежде всего, что стоящее во второй квадратной скобке выражение равно единице. Это выражение равно значению, которое принимает в точке хо †' а функция гг(х) = Мх)тг'х — о'г(х) Ьг(х). Вычислим производную этой функции. Дифференцируя у(х), найдем 1ллвл 12 314 При вычислениях мы воспользовались тем, что функции вп(х) и Фг(х) являются решениями уравнения (12.14).
Таким образом, функция 2(х) просто является константой. С помощью (12.7) нетрудно убедиться, что в начальный момент, а следовательно, и всегда она равна единице. Уравнение (12.23) принимает теперь окончательный вид Л вЂ” Л [~Ой (ха + а) ' Фг (хо т а)~ + 1 = О. (12.24) Введем обозначение Фг(ха — и) + Фг(хо -' а) = 2С. (12225) Корни (12.24) равны Л,, = С~,УС'- — 1. (12.26) Рассмотрим прежде всего случай, когда [С > 1.
При этом оба значения Л действительны, причем ни одно из них не равно единице. В этом случае решения Фг(х) и Фг(х) при переходе через каждый период решетки умножаются на действительное число, не равное единице, т.е. либо неограниченно убывают, либо неограниченно возрастают (что соответствует движению навстречу затухающей волне). Общее решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде линейной комбинации Фг(х) и Фг(х) и обладает тем же свойством. В этом случае электронная волна не может беспрепятственно распространяться по кристаллу, что соответствует з а п р е щ е н н о й з о н е.
При С~ < 1 удобно положить (12.27) С =- соз и, где и — новая константа Имеем при этом (12.28) Лцг .— е В этом случае решения Фг(х) и Фг(х) при смещении на период решетки не изменяют своей величины и просто уыножаются на фазовый множитель (12.28). Случай ,'С~ < 1 соответствует р а з р е ш е н н ой з а н е. Функции Фг и Ф при переходе через период решетки умножаются соответственно на множители ехр(гь!м).
Запишем эти решения в виде Фг г = иьь(х)е ьгь (12.29) где й выбрано так, что ( ! 2.30) й = и/а. Найденные решения совпадают по форме с функциями Блоха (12.12) (в одномерной записи). Множитель ехр(=!йх) обеспечивает нужное изменение Ф при смещении на период. Функция иь(х) должна поэтому возвращаться к своему исходному значению, т.е. быть периодической. Как уже отмечалась, эта функция (вернее, $61.
Волны Блохл квадрат ее модуля) определяет изменение электронной плотности внутри ячейки кристалла. Она мадулирует по амплитуде н по фазе плоскую волну, которая описывается экспоненциальным множителем в (!2.29). Определенная формулой (12.30) величина й является с р е д н и и в оп н о в ы м ч и с л о м электронной волны. Произвольное решение уравнения (!2.!4) является линейной комбинацией волн Блоха Фт и Фз, движущихся в разные стороны (в трехмерном случае— наложением волн, распространяющихся во всевозможных направлениях). Полученный нами результат содержит, таким образом, два утверждения. Первое из них состоит в том, что электронная волна, распространяющаяся в кристалле, описывается не простой плоской волной, а волной, модулированной по амплитуде (и по фазе).
Этот результат является вполне естественным, н его можно было предугадать заранее. Второе утверждение состоит в том, чта энергия электронов, распространяющихся в кристалле, может принимать не любые значения, а лишь значения, лежащие в области разрешенных зан. Исследуем границу между разрешенными и запрещенными зонами. Как ясно из (!2.26), такие переходы происходят в точках Сз = 1. Это означает, что при движении через разрешенную зону С меняется от — 1 до .!1 или от +1 до - 1, а н, в соответствии с (12.27), от -тг да +тг или от я до -.тг. Сопоставляя этот результат с (12.30), мы приходны к еще одному важному вгяваду.
Переходы между запрещенными и разрешенными зопамн происходят на границах зоп Бриллюэн а, т.е, при волновом числе, соответствующем границе зон Бриллюэна, полны перестают распространяться в кристалле-. Аналогичная ситуация имеет место при отражении рентгеновских лучей. В самом деле, из оптики рентгеновских лучей известно, что электромагнитные волны плохо проходят через кристалл (отражаются от него) при выполнении условия Брэгга — Вульфа 2оЬвш0 = пЛ. (12.31) В одномерном случае каждая кристаллическая плоскость изображается точкой и распространяющаяся вдоль линии точек волна движется вдоль этой линии, так что д = пу'2. Заме!шя ог на и и Л па 2х,гк, найдем, что отражение волн наступает при (12.32) й —.-. — ' 'п, р = — 'и, ' а ' о т.е.
как раз ~а границах зон Бриллюэна. 'Периодические функция ггье, воофде говоря, комплексны. Их амплитуда определяет изменение электронной плотности, з фаза — отклонение реальной фазы электронной волны от равномерно меняющейся фазы плоской волны. Содержащееся в иь периодическое изменение фазы нас в дальнейшем интересовать не будет -Все сказанное оолносшю применимо только к одномерному случаю. В трехмерном случае картина усложняется.
3!6 ГЛАВА 12 Полученные соотношения справедливы не только для электромагнитных, но и для любых волн. В самом деле, из (12.32) следует, что а —.— ЛЛ72. Разность хода между волнами, отраженными от соседних кристаллических плоскостей, равна 2а = иЛ. Иначе говоря, все отраженные волны находятся в фазе и усиливают друг друга. Ясно, что это условие является вполне общим и не предполагает, что рассматриваемая волна является имеьшо электромагнитной. При сильном отражении волна не может распространяться в кристалле, что характерно для запрещенной зоны.
Каждая запрещенная зона соответствует некоторому диапазону изменения энергии и одному — брэгговскому — значению импульса. Проследим связь между импульсом электрона и его энергией. — 2 — 'й — — Л , я г а а О ал 2лдл а а Рис. 127. Энергия и импульс почти свободного электрона в кристалле. На рис. 127 изображена обычная параболическая зависимость энергии от импульса, характерная для свободного электрона. При наличии периодического поля в точках, удовлетворяющих соотношению (12.32), возникают запрещенные полосы (рис.
127 характеризует случай очень слабого периодического поля, когда изменяется не вся кривая Е = Е(р), а только участки, прилежащие к границам зон Бриллюэна). Зависимость энергии от импульса в этих точках искажается (разрывы в сплошной кривой), причем никаких запрещенных областей импульса не возникает, а запрещенные энергетические зоны соответствуют границам зон Бриллюэна. Участки параболической кривой, соответствующие второй зоне Бриллюэна, можно сместить в первую зону (как мы уже знаем, закон сохранения импульса в кристалле выполняется с точностью до 2п1т~2). з 62. ДинАмикА электРОнОВ В кРистАлле 31Т ф 62. Динамика электронов в кристалле. Электропроводность кристаллов Как мы уже могли убедиться, энергия и импульс электронов в кристаллах, вообще говоря, связаны между собой сложным з а к о н о м д и с п е р с и и, а не привычным соотношением Е =.
рз(2»п, характерным для классической физики. При расчете движения электронов нужно исходить непосредственно из закона дисперсии. Основной закон движения электрона, записанный в ньютоновской форме, имеет вид П (12.33) Это уравнение позволяет находит импульс (вернее — квазиимпульс) электрона, если известны действующие на него силы (магнитные и электрические). Вычисление импульса является первым шагом в решении задачи о движении электрона. Следующий шаг состоит в том, чтобы по найденному импульсу рассчитать скорость и координату.
Знание координат позволяет найти силы и, таким образом, замкнуть решение. Скорость электрона равна групповой скорости соответствующей волны Блоха. Переходя от гц и )с к Е и р, найдем (12,34) Такая процедура проделана на рисунке (штрихпунктирная кривая). Та же операция может быть проведена и с участками кривой, расположенными в следуюших разрешенных зонах. Кривая зависимости энергии от импульса при этом целиком умешается в первой зоне Бриллюэна, но содержит несколько Ветвей.
Мы видим, таким образом, что два совершенно разных подхода — теория, основанная на исследовании поведения электронов, которые сильно связаны в своих атомах Я 60), и теория «почти» свободных электронов, движушихся в периодическом поле (настояший параграф), — приводят к одинаковым выводам.
Это совпадение заставляет думать, что полученные результаты имеют очень общий характер и должны выполняться в любых кристаллах. В частности, формулы, связывающие энергию и импульс электронов, и вся динамика электронов в кристалле совершенно не похожи на соответствующие формулы— и динамику — свободных электронов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
