goldin-novikova-vvedenie-v-kvantovuyu-fiziku-2002 (810754), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Мы увидим далее, что связь между энергией и импульсом у электронов, проходящих через кристалл, также илтеет необычную, непараболическую форму. Понятие массы становится в этом случае бесполезным. Динамика частиц, движущихся в кристалле, должна непосредственно извлекаться из з а ко н а д и сперси и этих частиц, т.е. из уравнения, связывающего их энергию и импульс. Мы отложим исследование этого вопроса до следующей главы. Остается выяснить, чему равен спин фонона. Как мы знаем, спин частицы определяет число ее возможных в н у т р е н н и х состояний, т.е. состояний, не зависящих от импульса. Мы установили в свое время, что спин фотона равен единице, а из трех, вообще говоря, возможных при таком спине состояний осуществляются только два — они соответствуют двум возможным поляризациям электромагнитной волны, гИз урввпеиия Эйнштейна Е = гвос — р с" з яз зз следует.
что линейная связь между энергией и импульсом возиикзет только при тгзо = О. 1ллвх 11 В твердых телах звуковая волна может иметь три поляризации; звуковые волны могут быть продольными и поперечными, причем имеются две независимые поперечные поляризации. Таким образом, спин фонона равен единице. Фонон принадлежит к числу базанов и описывается статистикой Бозе — Эинштейна (гл. 8). ф 57. Теплоемкость кристаллических решеток Тепловые колебания кристаллических решеток сводятся к звуковым волнам и, следовательно, к движению фононов. Задача о теплоемкости решетки сводится поэтому к расчету суммарной энергии фононов, подобно тому как энергия и теплоемкость теплового излучения рассчитываются через энергию фотонов. Как мы уже знаем, спин фононов равен единице, а их число не сохраняется. Они подчиняются, следовательно, статистике Бозе — Эйнштейна с переменным числом частиц, т.е. описываются той же формулой (8.!6), что и фотоны теплового излучения.
Имеются, однако, и отличия. Световые волны поцеречны и обладают двумя возможными значениями поляризации, в то время как у акустических волн их три, Скорости распространения световых волн от поляризации не зависят, а звуковых — зависят: поперечные акустические волны распространяются медленнее продольных. Наконец, вместо лнастояшего» импульса фотонов мы должны научиться работать с квазиимпульсом фононов. Как мы уже знаем, в единице объема в интервале импульсов от ~р~ до,р~ ! др помещается 3. 4»г!р '-' й~р' (11.37) (2пй)з состояний.
Стоящее в этой формуле число 3 равно числу возможных поляризаций (числу проекций спина, равного единице). Согласно (8.16), каждое из этих состоянии заполняют (П.38) ехр(Е,'lгТ) — 1 фононов с энергией (на один фонон) Е. 11олная энергия звуковых колебаний решетки равна, следовательно, 'р~ ° ° 12 1 Е = Ео+, 3.4к ' з . (11.39) ехр(Ег'йТ) — 1 (2л.г»)з о 9 о?. Теплоемкость кРистдллических Решеток 295 Е 3 = )г,:р(. (11.40) Формула (1!.39) в атом случае дает Е -- Ео =, / Е йЕ.
(11.41) 2пейззз У охр(Е/)сТ) -- 1 о Вводя вместо Е безразмерную переменную ап Е/йТ = т, найдем Мыта у' Узах Е-Ео= азз/' 2тглйг з',/ о Как мы уже знаем, входящий в зту формулу интеграл равен пл/1ос. Следовательно, Š— Ео = †' ,, (низкие Т). тг2 )сата 10 йзкз (11.42) 'р„, определяется нз условня, ято 4)аяр~, равно объему зоны Брнллюзна. Член Ео характеризует энергию нулевых колебаний, которая в данном случае не представляет интереса, так как не вносит вклада в теплоемкость. Рассчитывая знергию теплового излучения, мы получали очень похожую формулу.
Отличие состояло в том, что в ней стоял множитель 2 вместо 3, а интегрирование производилось не до р1яею а до бесконечности, поскольку импульс фотонов может быть сколь угодно большим'. Наиболее просто производится расчет при низких температурах. В зтом случае возрастание стоящего в знаменателе зкспоненциального множителя ехр(Е/ЙТ) делает несущественным вклад, который вносит в интеграл область больших ~р~, так что интеграл можно распространить до бесконечности. Связь ш и ~р у звуковых волн не так проста, как у световых, но при малых ~р~, как мы видели, скорость звука постоянна, что существенно упрощает расчеты.
Пренебрежем, наконец, различием скоростей продольных и поперечных волн. Обозначая скорость звука через з, найдем 1ллВА 11 Соответственно теплоемкость кристалла, точнее его р е ш е т о ч н а я тепловы кость", равна с .= — тг (низкие Т).
2 а каТз (11.43) кз з Последние две формулы очень похожи на формулы для теплового излучения и получаются из них путем замены скорости света с на скорость звука а и умножения на 3/2 (отношение числа возможных поляризаций). Как следует из вывода, они определяют тепловую энергию и теплоемкость кристаллической решетки, отнесенные к е д и н и ц е о б ъ е м а. Если учесть различие скоростей поперечной зт и продольной в) звуковой волны, формула (П,43) переходит в несколько более точную: (низкие Т). (11.44) Перейдем теперь к теплоемкости при высоких температурах. Естественцо ожидать, что при повышении температуры должны становиться справедливыми классические формулы и на каждую колебательную степень свободы должна приходиться энергия йТ (по И"/2 на кинетическую и на потенциальную энергии).
Число степеней свободы решетки равно 3Лг, где тт' — число атомов в единице объема. Отнесенные к единице объема внутренняя энергия и теплоемкость твердого тела должны поэтому стремиться к значениям Š— г 3зкт)сТ (высокие Т), с — 3тт')г (высокие Т). ( П.45) Эти классические формулы носят название з а к о и а Д ю л о н г а и П т и. Опыт показывает, что они выполняются не слишком хорошо, хотя при оценках ими вполне можно пользоваться. Основная причина неточного соответствия с экспериментом заключается в том, что температуры, при которых сохраняется кристаллическое состояние, «недостаточно высокиь, так что многие кристаллы плавятся до того, как наступает область хорошей применимости классических формул.
Рассчитанные по формуле (П.45) и измеренные значения теплоемкости приведены в таблице. зОитнческяе ветви колебаний, в особенности при низких температурах, почти ничего не вносят в теолоемкосгь кристалла. У металлов вклад в теилоемкость создактг свободные электроны. Этот вклад мы рассмотрим в гл. 12. з 5?. Твплоемкость кгисталличвских Решеток Таблица 6. Теплоемкость некоторых элементов 297 Справедливая при всех температурах формула для теплоемкости должна основываться на (11.39).
При этом следует правильно выбирать ~р,„„х и, более того, правильно учитывать анизотропию кристалла, что приводит к изменению структуры подынтегрального выражения (оно записано для изотропной среды) и к появлению своего верхнего предела для каждого направления вектора р. Такое рассмотрение должно проводиться заново для каждого кристалла. Точное вычисление тсплоемкости представляет собой поэтому крайне неблагодарную задачу. Существеннос упрощение проблемы было найдено Дебаем. Он предложил не учитывать анизотропию и не рассчитывать;р~м,„, а выбирать верхний предел интегрирования в (!1.39) таким образом, чтобы получать правильное значение теплоемкости (11 45) при высоких температурах. Получаемая при этом формула нестрога, но приводит к правильному результату как при низких, так и при высоких температурах. Она позволяет получать вполне приемлемые количественные оценки и в промежуточной области температур, где формулу Дебая можно рассматривать как интерполяционную.
Вычисление интеграла (11.39) можно произвести только после установления закона связи между р~ и Е. Для этого мы снова воспользуемся (11.40), которая при невысоких температурах хорошо выполняется. Погрешности, возникающие при высоких температурах, мы учтем автоматически, когда потребуем, чтобы полученная формула при повышении температуры переходила в (11.45). Действуя указанным образом, мы снова придем к (!1.41), но верхний предел интегрирования должен быть теперь разумно выбран.
Решение этой задачи потребует некоторых усилий. Переходя в (11.4!) от энергии 1ллвл 11 к частоте, получим Š— Ео=, з . ~ дго. (146) 2ггавз У ехргГы~ИТ) — 1 о — 1 Здесь |ао определяет энергию фонона, а множитель ~ехр(Гко,гкТ).-1] число фононов в одном состоянии. Остальные члены этой формулы определяют, следовательно, число состоянии. Это число равно щз 3 Г З щггах зз / "~' зз. 2я в ./ 2я в о Полученное число нужно приравнять числу степеней свободы ЗУ.
Поэтому ьъв„, = в(бтз11Г)~~з. (1. 47) где 1Ч вЂ” число атомов в единице объема. Выразив в через чь„,„ и, введя его в П1.46), получим (11.48) „~з ~ ехр(йгв,гйТ) — 1 "'"' о Входящий в эту формулу интеграл в элементарных функциях не выражается. Чтобы его упростить, введем уже знакомую нам безразмерную переменную оч ю = —.
кТ (11.49) Заменяя щ на л, получим (11.50) о Вместо го„м,, в формулу для энергии обычно вводят те м пер а т у р у Д е б а я, определяемую формулой (11.51) З О?. ТСПЛОЕМКОСть КРИСтАЛан1ЧЕСКИХ РЕШЕТОК Нетрудно видеть, что вместо х „. можно писать тмах -- ~~ ~ххах()г™гза Т Формула для энергии тепловых колебаний принимает при этом вид (11. 52) где функция 1(Т/с!Аа) определяется выражением о ~т (11.53) Эта формула является окончательной. При желании из нес можно получить формулу для теплоемкости кристаллической решетки. График теплоемкости, рассчитанной по Дебаю, приведен на рис.
120. При высоких температурах отношение Т~Йо велико, а Йо)Т мало, так что ы„1т ваха а Т В этом случае формула (11.52), как и следует ожидать, переходит в (11 45). График, представленный на рис. 120 показывает, что классическая формула для теплоемкасти применима не только при Т(Оо » 1, но и пРи Т,~ОАа - -1 (пРи Т = Ота теплоемкость кРисталла всего на 5% отличается от классического значения).
При низких температурах интеграл (11.53) может быть распространен до бесконечности. Как мы знаем, он равен к"/15. Подставляя это значение в (11.52), найдем Š— -- -Х и'( ) ЬТ. Подстановка в эту формулу значений Нтт из (11.51) и ьа„„, из (11.47) приводит к (11,43), Мы убедились, таким образом, в том, что формула Дебая (11.52) правильно описывает энергию (и тсплоемкость) кристаллической решетки как при низких, так и при высоких температурах. 1ллвх 11 Скажем несколько слов о выборе ы,в„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
