goldin-novikova-vvedenie-v-kvantovuyu-fiziku-2002 (810754), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Трансляционная симметрия кри° сталла поясняется рис, 111, на котором для упрощения чертежа изображена плоская модель кристаллической решетки, Из любого узла решетки, например из узла О, можно перейти в любой другой узел, смещаясь на целое число шагов Рис 111 Выбор базисных векторов (в ТУ или ДРУгУю стоРопУ) влоль базисных векторов а~ и аз. Выбор базисных векторов неоднозначен. С помощью векторов а', и аги изображенных в правой части рисунка, также можно попасть из любого начального узла в любой конечный. В реальном трехмерном кристалле имеются три базисных вектора. В простой кубической решетке зти векторы можно выбрать так, что они оказываются взаимно перпендикулярными и равными по длине, В других решетках расположение и соотношение длин базисных векторов оказывается более сложным.
На рис. !11 изображена не реальная, а схематическая структура кристалла, Каждая его ячейка может быть устроена как угодно сложно, Кружочки, расположенные на рисунке, могут изображать не только одиночные ионы, но н их группы. Рисунок поясняет, таким образом, пе реальное устройство кристалла, а его трансляционные свойства, или, как принято говорить, соответствующую реалыюму кристаллу р е ш е т к у Б р а в е. Говоря о симметрии кристалла, мы всегда имеем в виду именно его решетку Бране, а не реальную структуру кристалла.
Через узлы кристаллической решетки (решетки Браве) можно проводить различные системы параллельных плоскостей (рис. 112). Кроме плоскостей, изображенных сплошными линиями, можно провести множество других систем параллельных плоскостей; одна из таких возможных систем представлена плоскостями, изображенными пунктиром. $ 54. Симмпшия кгистлллов 281 Каждая система плоскостей охватывает все узлы решетки.
Чем плотнее расположены узлы решетки на плоскостях, тем больше расстояние между плоскостями. Наибольший интерес представляют кристаллические плоскости с большой плотностью узлов. Расположение кристаллических плоскостей принято характеризовать индексами Миллера, состоящими из трех целых чисел. Чтобы получить индексы Миллера, нужно провести нормаль к исследуемым плоскостям и спроектировать ее на базисные векторы решетки. Полученные проекции следует умножить на некоторое число, подобранное так, чтобы все трн проекции выражались наименьшими целыми числами.
Более нагляден другой способ нахождения индексов Миллера, который мы поясним с помощью примера (рис. 113). Найдем расположение Рис. !12. Две системы паралсемейства плоскостей с индексами (232) Пре. лельных плоскостей, прохообразуем тройку индексов Миллера в обратную. дящих через узлы кристалли- 1/2, 1/3, 1/2, и приведем ее к целым числам, ческой решетки.
умножив на общее наименьшее кратное знаменателей, в нашем случае на б. При этом получим числа 3, 2, 3. Отложим зти числа на осях координат, как зто показано на рисунке, и проведем через полученные точки плоскость. Эта плоскость и принадлежит к искомому семейству. 1 2 3 з Рис. 113. Плоскость (232). Рис. 114. Обозначения основных плоскостей в кристалле. Нетрудно убедиться, что боковые плоскости ячейки кубической системы имеют индексы (0 01), (010) и (100), диагональные плоскости имеют индексы (110), (101) и (01!) и т.
д, (рнс, 114). Мы уже выяснили в предыдущем параграфе, что наиболее выгодны с энергетической точки зрения плотные упаковки атомов (или ионов). 1ллвА 11 Легко показать, что с этой точки зрения простая кубическая решетка явно неоптимальна. Рассчитаем для этого объем, приходяшийся на каждый ион в кубической решетке, и сравним его с соответствующими объемами в других кристал лических структурах. В кубическом кристалле каждой элементарной ячейке принадлежат восемь ионов, расположенных по ее углам. С другой стороны, каждый ион одновременна принадлежит восьми разным ячейкам.
(В этом нетрудно убедиться, рассматривая, например, рис. Пб, Каждый узел решетки принадлежит четырем ячейкам под плоскостью бумаги и четырем— над ней.) Поэтому в среднем на ячейку приходится один ион. Заменяя для простоты ионы твердыми шарами, заметим, что сторона ячейки а (расстояние между центрами шаров) равна диаметру шара г1. Обьем, приходящийся на каждый ион, равен, следовательг13 Рассмотрим теперь об ъ ем но це и трир о за и ну ю кубическую решетку, получающуюся из простой кубической решетки при установке дополнительного шара в центр куба. На каждую ячейку приходится теперь 2 шара — один угловой (как в обычной решетке) и один центральный.
Выразим объем решетки через диаметр шаров. В обьемноцентрированной решетке соприкасаются друг с другом шары, стояшие на главной диагонали куба. Длина диагонали равна аъгЗ. Эта длина, с другой стороны, равна г(,Г2 — г( + ф2 —. 24. Приравнивая эти значения, найдем а = 2с(т7З. Полный объем ячейки равен, следовательно, Здз/ЗхГЗ, а на каждый ион приходится обьем 4г(з,гЗъгЗ = 0,77г(з. Мы видим, таким образом, что в объемпоцентрированной решетке ионы упакованы существенно более плотно, чем в простой кубической. Еще плотнее расположены атомы в г р а н е ц е н т р и р о в а н н о й к у б и ч е с к о й р е ш е т к е (в центре каждой грани кубического кристалла находится еще один ион). На каждый ион в такой решетке приходится объем Ф,Гъ'2 (вывод этого соотношения мы предлагаем читателям в качестве полезного упражнения).
Кристаллы некубических систем в этой книге не рассматриваются. эбб. Колеалния кяистдлличвских РешетОк 283 ф 55. Колебания кристаллических решеток. Звуковые волны. Тепловое расширение Изображенные на предыдуших рисунках, например на рис. П!, узлы кристаллической решетки определяют не фактические, а средние поло- жения ионов (точнее говоря, атомных ядер).
В реальных кристаллах ио- ны колеблются вокруг этих положений из-за теплового движения и под действием проходящих через кристалл звуковых волн. (Под звуковыми волнами в этой книге мы будем понимать упругие волны любой ~астоты, от самых низких до самых высоких, не воспринимаемых человеческим ухом.) Тепловые колебания атомов путем разложения в трехмерный ряд (или интеграл) Фурье могут быть сведены к системе плоских волн, т.с. к звуковым волнам, так что рассмотрение звуковых волн включает в се- бя проблему тепловых колебаний. Мы изучим колебания кристалла на одномерной модели: на линейной цепочке, состоящей из одинаковых ато- мов. Заменим действующие между атомами реальные силы условными «пружинками», обладающим — 1 я пн-1 ми коэффициентами упругости м (г) .
), рис. Пб), Обозначим через х„равРис. Нб. Линейная модель кристалла. новесное положение п-то атома, а через и„ вЂ” смещение атома от его положения равновесия (х„ и ич откладываются по одной и той же оси, совпадаюшей с направлением цепочки). Запишем второй закон Ньютона для и-го атома: тпмч -..Рч ° Сила Е„, двигающая атом п вправо, складывается из силы растяжения правой и силы сжатия левой пружинок.
Так как (и — 1)-й и (и + 1)-й атомы тоже смещены, то одна из этих сил равна м(и„чг — и„), а другая— м(и„г — и„). В результате имеем пай„= м(ич.-т — 2п„- и„,). (11.20) Уравнения (П.20) должны быть написаны для всех атомов, образующих цепочку, и составляют систему огромного числа связанных между собой (зацепляющихся) линейных дифференциальных уравнений. Решить такую систему прямыми методами невозможно. Попробуем найти решение системы (П.20) в виде бегушей волны иь(х, 1) = Аь ехр(т(йх — ьтЦ)), (11.2Ц 1лдвд 11 иь(гь, () .— — Аа ехр(((кап, —.
сий)). (11.22) Подстановка (1!.22) в (11.20) даст Аат( — си ) ехр(()гап — (сый) —" агАь ехр( — (ш()(ехр(()са(тт —; 1)~— — 2 ехр((кап) -1- ехр гт)са(п — 1)] ) . Сократим левую и правую части этого равенства на Аь ехр((к.агг — (цге): — тша .—.— дг(ехр((Иа) — 2 —, ехр( — (ка)1. Заменив сумму экспонент через косинус и выразив затем косинус через синус половинного угла, получим ш = 2)( — в(ив йо () тп 2 (11.23) При написании (11.23) мы приняли во внимание, что частота ш по своему физическому смыслу является положительной величиной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
