goldin-novikova-vvedenie-v-kvantovuyu-fiziku-2002 (810754), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Проанализируем полученный результат. Вместо того чтобы решать бесконечную систему зацепляюшихся дифференциальных уравнений (П.20), мы поньпались угадать ответ и нашли, что решением системы являются волны (П.22) прн любых й и Аь при условии, что волновое число и частота удовлетворяют соотношению (11.23). Полное решение системы (11.20) может быть представлено в виде интеграла от решений (11.22): и(п, () —.
/ А(к) ехр(тика — ии() сй. (11.24) !движение атомов, случайно попавших в пространство между уэлами (дефекты), или движение дополнительных атомов. прнналлежагцих той же ячейке, не описывается ни системой (!1.20), ни волной (11.21). 06 этих движениях мы скажем несколько слов в конце этого параграфа. где и — волновое число, от — частота волны, а Аи — некоторая константа. Мы снабдили решение одним индексом )с, а не двумя ()г, ит), потому что и. и иг не являются независимыми величинами. Вскоре мы получим связывающую их формулу.
В нашем случае бегущая волна описывает смешения дискретно расположенных узлов решетки и имеет смысл только при ш = п а, где а— 1 базисный вектор линейной цепочки, а гь — любое целое число. Уравнение бегущей волны следует поэтому записывать нс в виде (11.21), а в виде Э 55. Колввлния квистллличаских ившвток 285 Колебательное движение кристалла может бить представлено в виде системы бегуи1их волн, амплитуды которых произвольным образом зависят от волнового числа, а частота жестко связана с волновым числом.
В трехмерном случае следует рассматривать не волновое число, а волновой вектор 1с и интегрирование должно производиться в трехмерном пространстве, по осям которого отложены составлягои1ие вектора 1с. Переход от рассмотрения колебаний атомов, составляющих кристалл, к системе звуковых волн приводит к фундаментальному упрощению задачи.
Движение каждого атома приводит в движение соседние атомы. Попытка математически описать это движение, как мы видели, приводит к появлению системы из огромного, в пределе — бесконечного числа зацепляющихся уравнений. Движение звуковых волн неизмеримо проще. При небольших амплитудах, когда движение является гармоническим, распространение каждой волны не зависит от присутствия остальных. На математическом языке переход к звуковым волнам является переходом от координат отдельных атомов к нормальным координатам системы.
График зависимости ш от й изображен на рис. 1!7. Частота оказывается псриодической функцией волнового числа: при замене 1с на к — 2п,'а она возвращается к прежнему значению. Постараемся понять, является ли совпадение частот у разных волн случайным результатом, зависящим от выбранной модели решетки, или имеет более глубокую причи- Рнс. 117 Зависимость частоты ну. от волнового числа в одномер- Исследуем движение двух звуковых волн, одна из которых характеризуется волновым числом (сг = й, а другая — волновым числом )сз = (г+ 2х~а. При записи с помощью (11.21) эти волны описываются выражениями иь, = А ехр(1кх -- иЛ), 2гг иь, .=.
Аехр(йх — 1 — х — ивтч о которые кажутся различными. Совпадение частот ~ при этом оказывается непонятным. Запишем теперь формулы волн в форме (1!.22); иь, =.. Аехр(Яои -- иг1), иь, = Аехр(бгап ч-12ап — иЛ) = игн 1ллвл 11 286 Это равенство определяет фазовую скорость волны сф; пэ = — = а —, (низкие частоты). 'и пг Мы видим, что при низких частотах скорость звуковых волн не зависит от частоты, т.е. не обладает дисперсией. Групповая скорость звуковой волны при этом равна фазовой.
Эта общая скорость называется скоро- стью звука ж а —.. с,р —... цр —.—. а~ — (низкие частоты). Г (1В26) Направление скорости определяется знаком залпово~о числа. При увеличении частоты (и волнового числа) замена синуса его аргументом становится неправомерной. Фазовая скорость волны ! з1п(йа/2) Й 'т' "' ка,12 (11,26) Мы видим теперь, что в узлах кристаллической решетки волны с волновыми числами, отличающимися на 2т1'а, неразличимы. Но наши уравнения только для узлов и пригодны. Волны йг и )гю таким образом, попросту тождественны, Все их характеристики, включая частоту, полностью совпадают.
Из сказанного ясно, что область физически различных значений волнового числа имеет ширину 2т(а. Все остальные значения могут быть приведены к значениям, лежащим в указанной области. Эту область принято выбирать так, чтобы точка к = 0 лежала в ее центре. Она носит название пер вой зон ы Брил л ю э на. Главный физический вывод, который должен быть сделан из сказанного, заключается в том, что нериоди шасть по волновому числу (и по волновому вектору) является следствием пространственной периодичности кристаллической решетки. Обратимся к скорости звуковых волн.
При небольших волновых числах (и соответственно низких частотах) синус в (П,23) может быть заменен своим аргументом, так что 855. Колавхния кюютллличвских гншеток 287 2а /к которое в полтора раза меньше максимального. Таким образом, при увеличении частоты звуковых волн становится заметна их дисперсия. Групповая скорость волн определяется обычной формулой ЙО2 г(й ' (11.27) Используя соотношение (11.23), получаем У границы зоны Бриллюэна эта скорость обращается в нуль (рис. П8).
Конкретная форма равенства (П.23) и следующих из нес формул для фазовой и групповой скорости волн не имеет серьезного научного значения, так как они определяются особенностями выбранной модели (линейная цепочка шариков, 0,5 связанных пружинками). В то же время выводы о периодичности волнового числа, о наличии дисперсии у звуковых волн х72 в тяп Л и т.д.
имеют общую применимость. В заключение приведем формулы для Рис. 118. Изменение фазовой реальных трехмерных кристаллов Бегу- игрупповойскоростнзвуковой щие звуковые волны в пространственном волны с волновым числом. случае характеризуются волновым вектором (с. Формула бегущей волны аналогична (11.21): иь(г, 1) = Ак ехр(!!сг — 1шт).
Выражение, аналогичное (П,22), имеет вид иь(1, т, и, т) — "- Аь гы ь ехр(Н,1а —, й„ти —, гк,пи — иЛ). (11.28) Последняя формула описывает смещение узлов решетки в зависимости от времени 1 и координат (1, т,п) в кубическом кристалле при прохо- ждении волны, у которой волновой вектор (с имеет проекции Й, 7гю й- на базисные векторы решетки. несколько падает с частотой и на границе зоны Бриллюэна уменьшается до значения 288 1лхвх 11 Пространственные звуковые волны периодичны по волновому вектору. Их всегда можно привести в первую зону Бриллюэна, которая в этом случае, конечно, является трехмерной.
При длинных волнах (йа « 1) в твердых телах могут распространяться звуковые волны двух типов — продольные и поперечные. В поперечных волнах смешение атомов перпендикулярно к волновому вектору, а в продольных — совпадает с ним по направлению. Скорости поперечных волн зх меньше, чем скорости продольных з,1. Так, в алюминии а, := 3100 мУс, а з1 = 6400 мт'с.
Скажем несколько слов о веществе, расположенном между узлами кристаллической решетки (электронные оболочки атомов, свободные электроны). При движении звуковой волны это вещество, конечно, испытывает смещения. Его смещения, однако, не о п и с ы в а ю т с я волной (11.21) и требуют специального рассмотрения. Электронные оболочки (или, по крайней мере, внутренние оболочки атомов) обладают малой массой и сильно связаны со своими ядрами.
Они смешаются вместе с ними. Свободные электроны с ядрами связаны очень слабо и движутся по совсем другим законам. Все изложенное выше относилось к узлам кристаллической решетки и только к ним. Важные новые черты в описанной картине появляются в тех случаях, когда в элементарной ячейке кристалла находится несколько ядер. Среди возможных типов колебаний решетки можно выделить колебания этих ядер друг относительно друга. Такие движения образуют новые типы колебаний, носящие название о п т и ч е с к и х в е т в е й (в отличие от звуковых, а кусти чес к их ветвей, о которых шла речь до сих пор).
Законы дисперсии для оптических ветвей резко отличны от рассмотренных; в частности, при й -ч О их частота не стремится к нулю. На рис, 119 приведен пример такого закона для ячейки, содержащей два атома, Сделаем еще одно замечание. Во всем предыдущем рассмотрении мы либо ограничивались одномерным случаем, либо считали среду изотропной. Кристаллические среды, вообще говоря, анизотропны, а базисные векторы решеток пе ортогональны и не равны друг другу.
Мы не будем рассматривать анизотропные кристаллы из-за сильного усложнения математического аппарата. Мы не делаем этого также потому, что наиболее интересные результаты в физике твердого тела связаны не столько с анизотропией кристаллов, сколько с их периодичностью, а также с тем обстоятельством, что кристаллы представляют собой сильно вырожденные системы, для которых нужны квантовые, а не классические методы рассмотрения (см. следующий параграф).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
