goldin-novikova-vvedenie-v-kvantovuyu-fiziku-2002 (810754), страница 61
Текст из файла (страница 61)
При нагревании твердых тел до высоких температур появляется лишь непрерывный спектр «черного 'Расо~воление нижних уровней крайне незна ~нтельно (волновые функнии внутренних электронов практически не перекрываются!) и не приводит к каким-либо новым физическим явлениям тслсдуе» иметь в виду, что уровни имеют конечную ширину и что расстояние между уровнями оказывается меньше их ширины. э 59 СвязАнные колеБАтелы!ые системы 305 Зона проводимост Запрешенна~ зона Заполненная зона ~валентная Рис. 123. Образование разрешенных зон из одиночных уронней (литий). Горизонтальными линиями условно изображены квантовые состояния разрешенных зон.
Косая штриховка отмечает уровни, занятые электронами. тела» (гл. 9). В то же время характеристические рентгеновские спектры, возникающие при переходах между очень узкими внутренними зонами, превосходно наблюдаются при использовании твердых тел в качестве анодов в рентгеновских трубках. Связь атомов в кристалле на характеристических рентгеновских спектрах практически нс сказывается. Следует подчеркнуть, что образование зоп из атомных уровней происходит во всех кристаллах, независимо от их типа. Различие между кристаллами состоит не в наличии или отсутствии зон, а в расположении зон и в характере их заполнения.
Вопрос о заполнении энергетических уровней обобществленными электронами кристалла принадлежит к числу кардинальных. Как мы уже знаем, электроны являются фермионами и подчиняются принципу Паули. Число электронов в зоне не может превзойти числа имеющихся в ней квантовых состояний — «числа мест». Поэтому важно понять, сколько «мест» имеется в той или иной зоне.
Начнем с двух сближающихся колебательных систем, которые только что рассматривались. йлты выяснили, что одинаковые до сближения частоты после «включения» взаимодействия начинают расходиться. Однако число степеней свободы при этом не изменяется. До сближения имелись две тождественные степени свободы. При сближении систем частоты колебаний перестают совпадать, но число степеней свободы остается равно двум.
Постоянство числа степеней свободы нетрудно понять, заметив, что это число дискретно. Непрерывно производимое сближение приводит к столь же непрерывному изменению энергии уровней, но не ведет к изменению числа «мест», которое может меняться толь- 30б ГЛАВА 12 ко скачками. Этот вывод справедлив и для атомов в кристалле. Уровни в разрешенных зонах многократно перекрываются и образуют сплошной разрешенный энергетический интервал — зону. Однако число уровней — число электронов, которые могут помести ться в зоне, от взаимодействия не зависит и точно и з в е с т н о: оно равно числу атомов в кристалле, умноженному на число мест на том уровне, из которого — или из которых — образовалась зона.
В 60. Проводники и изоляторы Применим представление о зонах к объяснению электропроводности твердых тел и для выяснения причин, приводящих к тому, что одни из них являются проводниками, а другие — изоляторами. Мы уже знаем, что энергия электронов в твердых телах может принимать значения, заключенные в разрешенных энергетических зонах. Мы отмечали, далее, что соединение атомов в твердое тело не меняет числа квантовых состояний.
Так, в любом атоме есть два !з-состояния; после объединения Х таких атомов в твердое тело зона 1з содержит 2йГ-состояний. В атоме лития (рис. 123) оба состояния 1з заняты, !з-зона в кристалле лития поэтому полностью заполнена. В других твердых телах заполнена не одна, а несколько нижних зон. Электроны нижних зон не участвуют в проводимости по двум причинам, из которых каждая является достаточной. Первая из них заключается в том, что электроны, находящиеся в этих зонах, эпривязаныя к своим атомам (их волновая функция мала в промежутке между атомами), вторая — в том, что эти зоны з а п о л н е н ы. Электроны заполненных зон нс могут участвовать в электропроводности, даже если эти зоны лежат высоко и электроны обобществлены. Чтобы разобраться в этом важном вопросе, рассмотрим. как кванту- ются уровни в обобществленных зонах.
В изолированных атомах уровни кваптуются по энергии, угловому моменту и его проекции. Такое квантование уровней естественным образом следует из сохранения вектора углового момента в центральном электрическом поле атома. Потенциальная энергия электрона в кристалле сложным образом зависит от координат (рис. 108). Электрическое поле в кристалле нецентрально; угловой момент обобществленных электронов при движении не сохраняется и, конечно, не может служить основой для квантования.
Применяя для зон обозначения 1з, 2з, 2р и т.д., следует помнить, что буквы з и р здесь служат указанием на соответствие между положением зон и уровнями изолированных атомов и не характеризуют угло- $60. Проводники и изоляторы 30? вой момент электронов (если не говорить о самых внутренних электронах, на поведении которых объединение атомов в кристалл сказывается очень мало). Рассмотрим верхнюю из нарисованных на рис. 108 энергетических линий. Электрон, энергия которого лежит выше максимумов потенциальной энергии, свободно перемещается по кристаллу, отражаясь от его краев. Движение электрона в этом случае очень напоминает обычное движение в потенциальной яме (9 9).
Роль краев ямы играют границы кристалла. В отличие от простого случая, рассмотренного в 9 9, дно ямы имеет сложный рельеф, наличие которого вносит в явление некоторые новые черты. На первых порах отвлечемся от наличия этого рельефа, т.е. перейдем к приближению свободных электронов. Мы видели (з 9), что энергия электрона в потенциальной яме квантуется.
Волновая функция электрона имеет вид (3.10): кг — -- сц =-. А зшйю. Заменяя в этом выражении гйпйж с помощью мнимых экспонент, представим тр-функцию в виде ту= те" зе у=С е'"+С е Таким образом, волновые функции электрона в рассматриваемом приближении представляют собой совокупность двух волн, движущихся налево и направо'.
Их волновые числа служат основой для квантования движения обобществленных электронов. Вернемся к электропроводпости твердых тел. Наличие электрического тока означает, что число электронов, движущихся, например, направо, превышает число электронов, движущихся налево. Но количества квантовых состояний, отвечающих движению направо и налево, всегда равны друг другу. Если все квантовые состояния заняты, не может возникнуть никакого преимущественного направления движения, не может быть, следовательно, и электрического тока. Иначе обстоит дело в частично заполненной зоне, где состояния с разными направлениями движения могут заполняться одинаково или по-разному.
В качестве примера вернемся к кристаллу лития (рис. 123). Зона 2а в твердом литии заполнена лишь наполовину: в зоне существует 2Х-состояний 2н, а у каждого из ут' атомов лития имеется всего один 2а-электрон; их полное число равно поэтому (тг. 'Напоминаем читателям, что мы, как обычно, опускаем множитель е ' ', так что полная запись имеет аиа ~,' = Сг ехр[г(кл — мб)) — .
'Са ехр[ — г(ал -~- ыт)]. ГЛАВА 12 В отсутствие электрического поля количество электронов, находя- шихся в состояниях, отвечающих движению в противоположные стороны, одинаково, и тока нет. Если приложить электрическое поле, то движение электронов в частично заполненной зоне меняется: состояния, отвечающие движению по полю, становятся энергетически более выгодными и потому более плотно заполняются. Кристалл проводит электрический ток. Поэтому частично заполненные зоны называются з о н а м и проводимости. Отличие проводников от непроводников, таким образом, сводится к наличию или отсутствию частично заполненной энергетической зоны.
Из сказанного выше ясно, почему все твердые тела, состоящие из одновалентных атомов (ьй Ха, К, Сп и др.), являются проводниками. Обратимся теперь к двухвалентным атомам (Ве, МК и др.), у которых оба з-состояния заняты. Рассмотрим в качестве примера энергетические зоны бериллия, изображенные на рис. 124. Зона 1з у бериллия очень узка и полностью занята. Зона 2з также заполнена, так как оба состояния 2з в атоме бериллия заняты. На уровне 2р у атома бериллия нет электронов (в основном состоянии). Можно было бы поэтому ожидать, что твердый бериллий окажется изолятором.
Но из рисунка видно, что у бериллия зона 2р (с 6Л' свободными состояниями) перекрывается с зоной 2з и, таким образом, из двух зон 2з и 2р образуется одна общая зона с 8Х-состояниями, из которых занято только 2Ж-состояний. Поэтокзу бериллий оказывается проводником. Лнализ расположения зон в твердых телах показывает, что все атомы с одним, двумя и тремя валентпыми электронами (сверх оболочки инертного газа) образуют твердые тела с хорошей проводимостью, характерной для металлов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
