belonuchkin-zaikin-tsipenyuk-kvantovaya-fizika (1) (810753), страница 89

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 89)

При этом нарастают возмущения какого-либо определенного типа. Во многих случаях периодический режим оказывается наиболее неустойчивым к периодическим же возмущениям удвоенного периода (у них наибольшая скорость роста). То, что наибольшее влияние оказывают возмущения с вдвое меньшей частотой, качественно достаточно легко понять.

Вспомним, что качели быстрее всего начнут раскачиваться, т. е. возмущения с периодом Т будут нарастать, если качающийся будет приседать с периодом Т/2. Это стандартное условие параметрического резонанса в системе. Геометрически в фазовом пространстве системы этому соответствует рождение вблизи старого замкнутого цикла нового — — двухоборотного цикла, как это показано на рис. 5.12. Этот цикл удвоенного периода становится аттрактором, а исходный геряет устойчивость. Затем с ростом параметра с этот двухоборотный цикл сам становится неустойчивым — рождается устойчивый четырехоборотпый цикл и т. д.

Таким образом через последовательность удвоений периода система переходит к хаосу, причем этот переход осущоствляется скачком при некотором критическом значении параметра с. ГЬ7. ПУТИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ХАОСА. КАСКАДЫ ФЕЙГЕНБАУМА 327 Оказывается, что удвоение периода это характерная черта перехода системы от простого периодического к сложному апериодическому движению.

Они оказываются общими для широкого класса гидродинамических, механических, химических, электрических систем. Такие последовательности удвоений периода называют также каскадами Фейгенбаума. Наглядную физическую иллюстрацию перехода к динамическому хаосу предложил Л. П. Кацанов, рассмотрев так называемое логистическое уравнение. .73+7 = ся?11 — я ), 15.11) Это выражение задает закон преобразования переменной я, и, в частности, оно описывает следукпцую модельную ситуацию, аналогичную рассмотренному выше примеру с зайцами и рысями. На изолированном острове летом выводятся насекомые общей численностью х1 и кладут яйца.

Потомство численностью я 4. ( появляется лишь на следующее лето. Рост популяции насекомых описывается первым членом в правой части уравнения (5.11), убыль (из-за недостатка пищи при слишком большой численности насекомых и т.

п.) вторым, с — это параметр скорости роста. Результаты расчета зависимости численности популяции тэ от параметра с представлены на рис. 5.13. Линии пока- 0,8 зывают значение численности популяции, которые достигаются при больших ?, т. е. Когда ? -э оо. Коли с < 1, то популяция с ростом 7' вымирает и исчезает (это условие очевидно: если рост следующего поколения все время меньше предыдущего, то такая популяция вымирает). В области 0 ! 3 3,4 3,54 3,56 3,5? 1 < с < 3 численность популяции прибли- Рис.

5.13 жается к ненулевому постоянному значению х* = 1 — 1?с, определяемому подстановкой в уравнение вместо (к Г( и гк их предела я*. Это область стационарных решений. Но уже при 3 < с < 3,4 появляются две ветви кривой. Численность популяции колеблется между двумя значениями, лежащими па этих ветвях. Сначала численность популяции насекомых с малого значения резко возрастает, откладывается большое число яиц. Но на следующий год возникает перенаселеппост(ч и через год численность популяции снова становится малой. Период возникающих колебаний популяции равен двум годам.

Далее, при ЗА < с < 3,54 имеются уже четыре ветви. Возникает четырехстадийный цикл колебаний, период цикла удваивается. Затем появляются 8, 16, 32,... 2" ветвей. Соответственно растет, удваиваясь, период цикла. При значении с, = 3,57 движение становится апериодическим (период цикла стремится к бесконечности), поведение системы приобретает хаотический характер, происходит перекрытие областей различных решений. Таким образом, в данной модели существует диапазон значений параметра с, когда поведение системы упорядочено и периодично.

Внутри этого диапазона с изменением параметра происходит последовательное удвоение периода, затем он становится бесконечным, а поведение системы перестает быть периодическим. ГЛ. СЬ НЕРАВНОВЕСНЫЕ ПРОЦЕССЫ 328 Ученых всегда интересовало, есть ли какая-либо универсальность в сценариях перехода к хаотическому движению или каждый раз это происходит непредсказуемым образом. Такие универсальные законы перехода к хаотическому состоянию при удвоении периода были установлены М. Фейгенбаумом. Эта универсальность заключается в следующем: расстояние между значениями параметра с„., при котором рождается цикл периода 2", и значением с„р удовлетворяет условию с„р — с„= сонэк б ", (5 12) где б = 4,6692016... -- универсальная постоянная Фейгенбаума. Именно такой является скорость перехода к беспорядку осцилляторов, популяций, жидкостей и вообще всех систем, испытывающих удвоение периода.

Это означает, что, обнаружив экспериментально несколько первых удвоений, па основании универсального закона можно предсказать значение параметра с,р, вслед за которым в системе возникает хаос. Примечательно, что законы Фейгенбаума были экспериментально подтверждены для ряда совершенно различных по своей природе систем. С другой стороны, что не менее важно, па основе этого подхода может быть найден ответ на противоположный вопрос: как избежать хаотизации данной конкретной системы.

Это имеет больпюе значение, например, для проблемы управляемого термоядерного синтеза. 5.8. От хаоса к самоорганизации Все процессы можно разделить на два класса: сложные, или хаотические, и простые, или упорядоченные. Задачей инженеров является создание устройств второго типа: отдельные части механизма, совершающие отдельные упорядоченные действия, объединяются в единое целое для выполнения некоторой общей задачи. Так устроены, например, автомобили, самолеты, радиоприемники и часы. Все они собраны из отдельных простых частей, каждая из которых, по идее, отвечает за одну какую-нибудь функцию механизма. Важными технологическими проблемами являются также учет и сведение к минимуму влияния неупорядоченных процессов, например, сложных атмосферных явлений, вихрей в турбулентном потоке, шумов в электронной схеме и т.

д. Рассмотрим, например, зпумовой сигнал, поведение которого нерегулярно и трудно предсказуемо. Описать шум па математическом языке можно, как и любой другой случайный процесс, лишь статистически. Это значит, что хотя и нельзя предсказать, какова будет, например, амплитуда шума в следующий момент времени, но вполне возможно, зная статистические свойства этого случайного процесса, оценить вероятность достижения сигналом каких-то определенных значений.

Поэтому исследование неупорядоченных процессов заключается в определении вероятностей и, исходя из вероятностей, в определении того, что нас в данном случае интересует, например какое влияние оказывает турбулентность воздуха на лобовое сопротивление самолета. Казалось бы, чем выше степень неравновесности, тем надежнее устанавливается в ней хаотическое, турбулентное движение. Является ли это утверждение всеобщим'? Оказывается, что нет.

Можно привести много примеров детерминированных систем с бесконе шым числом степеней свободы, в ьск От хло СА к с кыоогглнизкции которых, наоборот, с ростом неравновесности движения становятся все более организованными. Один из них образование периодических пилообразных или колокообразных волн в газе и плазме, появляющиеся среди хаоса начальных возмущений при увеличении энергии источника. Возникший хаос может при определенных условиях уступить место высокоорганизованной структуре. Многие, кто летал на самолете пад облаками, имели удовольствие наблюдать их хороню упорядоченную, регулярную структуру.

Иногда в виде прямоугольных или шестигранных ячеек, иногда в виде валов или «улиц». Всегда вызывает удивление эта картина, возникшая среди беспорядка разнообразных возмущений, нарастающих в слое водяного пара, подогреваемого снизу более теплым воздухом. Поэтому необычайно интересна и привлекательна обратная проблема -.. как возникает порядок из беспорядка в сложных системах.

Подчеркнем еще раз, что диссипативные структуры образуются в открытых системах, т. е. в системах, способных обмениваться веществом и энергией с внешней средой. Однако в системах, где возможно формирование структур, второе начало не нарушается. Оно лишь проявляется в более общем виде, уточняя условия структурирования системы. А именно стационарная неравновесная система, имеющая диссипативную структуру, должна потреблять отрицательную энтропию (негэнтропию). Ксли диссипативные структуры возникают как очаги внутри большой изолированной системы, то суммарная энтропия будет возрастать. Более того, в расширенной системе, включающей диссипативные структуры, скорость возникновения энтропии выше за счет интенсивной генерации энтропии в структурных очагах.

Совместимость второго начала термодинамики со способностью к самоорганизации одно из крупнейших достижений современной термодинамики. Заслугой неравновесной термодинамики является осознание того факта, что неравновесность может быть причиной порядка. Оказалось, что необратимые процессы в открытых системах могут приводить к возникновению нового типа динамических состояний материи -- диссипативных самоорганизующихся систем. При этом источником нововведений в системе, т. с. источником структурной эволюции, являются флуктуации, «запускающие» механизм неустойчивости, который, в свою очередь, приводит к формированию новой пространственно-временной структуры.

Характеристики

Список файлов книги