belonuchkin-zaikin-tsipenyuk-kvantovaya-fizika (1) (810753), страница 88
Текст из файла (страница 88)
д. б 0 Сейчас известно много примеров автоволновых процессов в химически активных средах. Возможно и существование концентрационных волн, исходящих из точечного источника. В таком случае в первоначально однородной среде спонтанно возникают периодические диссипативные структуры — химическая реакция осциллирует с периодом в несколько минут и наблюдаются цветные спирали, расходящиеся от одного или нескольких центров, как это видно из приведенной па рис.
5.9 фотографии концентрационных спиральных автоволн в химически активной среде. Гл. а неРАВнонесные пРОцессы 324 Так как реакция идет в замкнутой системе, система в конце концов приходит в однородное равновесное состояние. Можно сказать, что химический «организм» умирает, задушенный избытком энтропии, которую нет возможности выбрасывать в окружающую среду. Класс рассмотренных реакций интересен не только тем, что оп представляет собой нетривиальное химическое явление, по и тем, что он служит удобной моделью для изучения колебательных и волновых процессов в активных средах.
Сюда относятся периодические процессы клеточного метаболизма: волны активности в сердечной ткани и ткани мозга: процессы, происходящие на уровне экологических систем. 5.6. Возникновение хаоса в простой системе Все наши интуитивные представления о хаотическом, случайном поведении связаны с действием внешних шумов или внутренних флуктуаций. Но в динамической системе ни шумов, пи флуктуаций пет, есть только полная детерминированность . алгоритм, который однозначно определяет поведение системы при заданных начальных условиях! Многие еще могли бы согласиться с тем, что хаотическая динамика возможна в очень сложных системах системах с очень большим числом степеней свободы (например., для молекул в газе).
Обнаружение и понимание того факта, что хаотическое, случайное поведение возможно даже в очень простых динамических системах, явилось замечательным открытием современной науки. Сейчас эта проблема глубоко интересует гидродинамиков в связи с природой турбулентности, исследователей, прогнозирующих погоду, специалистов по химической кинетике и даже экономистов и социологов. Ведь с помощью динамических систем описываются самые разнообразные явления окружающего нас мира. Рассмотрим два очень показательных эксперимента. Первый из них колебания жидкого маятника. Поместим воду в тонкую кольцевую трубку, нижняя часть которой подогревается (пусть ее температура равна Т1), а верхняя охлаждается и находится при температуре Тз( Т1 (рис. 5.10).
При достато шой разности температур (ЬТ > ЬТ„р1) более легкая, нагретая в основании петли часть воды поднимется ))г)) т т вверх, заставляя остывшую наверху воду опускаться вниз. Таким образом вся жидкость, почти как твердое тело (поскольку все скорости здесь ничтожны по сравнению со скоростью звука, воду можно считать несжимаемой), будет вращаться внутри трубки. Эта механическая система очень проста ее мож- ) )т,) ) но описать с помощью только трех переменных, зависящих от времени. Одна переменная характеризует скорость жидкости, и две — ее температуру.
Как показывает эксперимсн г, жидкость в такой системе будет совершать очень простое движение непрерывно вращаться по или против часовой стрелки. Однако если подогревать воду снизу немного сильнее ( ЬТ > ЬТ,рз > Т,р1) „ ситуация заметно усложнится; водяное кольцо внутри петли будет менять направление своего вращения, причем эта смена направлений оказывается 5.6. ВОЗНИКНОВЕНИЕ ХАОСА В ПРОСТОЙ СИСТЕМЕ случайной во времени, как это видно из рис. 5.10, где приведена зависимость разности температур между левой и правой вертикальными частями петли.
Слева - . конвективная петля, подогреваемая снизу, справа зависимость разности температур между точками А и В от времени: при отсутствии конвекции (вверху), при стационарном вращении жидкости (в центре), и при случайном врвлцепии то в одну, то в другую сторону (внизу). Этот результат можно качественно пояснить следующим образом. Допустим, что в рассматриваемый момент времени жидк1ють движется по часовой стрелке. При достаточно большой разнице температур снизу и сверху петли (больше ЬТ,Р1) архимедова сила велика и водяное кольцо ускоряется настолько, что остывший вверху жидкий объем, проскочив горячее основание и не успев нагреться, уже не дотягивает до верха петли и приостанавливается (архимедова сила недостаточна, чтобы преодолеть силу вязкости и гравитацию).
При этом опускающаяся (правая) часть жидкости теплее и, следовательно, легче поднимающейся. В результате торможения кольца жидкость в его основании нагревается и всплывает, но уже в противоположном направлении давление справа меньше, чем слева. Таким образом жидкость начинает раскручиваться против часовой стрелки. Затем все повторяется в обратном порядке. Как показывает эксперимент,при болыпой разности температур эти смены направлений оказываются случайными--- величина нагрева единицы объема жидкости, скорость вращения кольца, его ускорение зависят от очень тонких деталей начального движения. Теперь обратимся к несколько иному эксперименту, когда стохастические колебания возбуждаются с помощью внешней периодической силы. Рассмотрим поведение шарика в желобе с двумя минимумами при периодическом горизонтальном катании желоба (рис.
5.11). Когда амплитуда качаний не слишком велика, шарик колеблется в одной из ямок. С ростом амплитуды он начинает периодически переходить из одной ямки в другую, и, наконец, при дальнейшем увеличении внешней периодической силы число колебаний шарика в каждой ямке уже случайно, а последовательность этих чисел оказывается совершенно нерегулярной и пе содержит никаких закономерностей. Естественно возникает вопрос, каким же образом Рис. 5.11 в таких простых динамических системах при отсутствии всяких случайных сил движение оказалось случайным? Ведь движения детерминированной системы предопределены формулой ее поведения (алгоритмом), например дифференциальным (или каким-нибудь другим) уравнением. Ответ на этот вопрос, полученный физиками Н.С. Крыловым и М.
Борном еще в 50-х г., заключается в следующем: хаотичность поведения 11етерминированпой системы определяется тем, что всякое (или почти всякое) се движение неустойчиво. В таком случае даже малые изменения начального состояния приводят к сколь угодно сильному расхождению исходного и возмущенного движений (а это и есть неустойчивость), а значит, более поздние состояния системы фактически непредсказуемы, несмотря на полное знание закона движения. Подчеркнем, что установившееся сложное хаотическое поведение детерминированной системы с неустойчивыми индивидуальными движениями никак не зависит от неточности задания начальных условий или статистики ГЛ. 6. НЕРАВНОВЕСНЫЕ ПРОЦЕССЫ 326 флуктуаций, приводящих в действие механизм неустойчивости. В этом смысле рассматриваемые системы являются не усилителями шума, а собственно генераторами хаоса.
Например, в разобранном нами случае жидкого маятпика даже при болыпой разности температур может, в принципе, существовать режим вращения в одну сторону, когда жидкость медлешю вращается и успевает остывать при прохождении через верхнюю часть петли. Однако любое малое отклонение скорости или температуры приведет к тому, что жидкость начнет ускоряться и установится нестационарный режим вращения, «то сюда, то туда», при котором число оборотов жидкого кольца в какую-либо сторону оказывается случайной величиной. 5.7.
Пути возникновения хаоса. Каскады Фейгенбаума При переходе системы от режима периодических колебаний к стохастическому, как это наблюдается в разобранных выше эксперементах, энтропия скачком меняется от нуля до некоторой положительной величины. Но что происходит при этом в фазовом пространстве системы, как возникает стохастичпостьу Говорят также, каков сценарий развития неустойчивости. Этот вопрос является принципиальным для многих явлений. Вообще говоря, .пути возникновения хаоса могут быть разные, но один из них, наиболее распространенный среди простых систем, заключается в следующем. Пусть движение системы периодично, что соответствует в фазовом пространстве наличию устойчивого цикла.
Это означает, что все соседние траектории как бы навиваются на эту замкнутую кривую, как это показано на рис. 5.12. Для устойчивых двиг жений характерно затухание малых Д отклонений, предельный цикл как ' г~' бы притягивает к себе все близкие траектории и поэтому его называют аттрактором 1от английского слова аг1гас1, что значит привлекать, приРис. 5.12 тягивать). Изменим и'ц>аметр системы (обозначим его с) таким образом, что периодический режим теряет устойчивость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
