belonuchkin-zaikin-tsipenyuk-kvantovaya-fizika (1) (810753), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Это связано с тем, что любой энергетический уровень (2,1+ 1) кратно вырожден из-за (21+ 1) возможных проекций момента импульса на заданную ось. Поэтому число разрешенных состояний частиц Х определяется по формуле д7 = (27+ 1) Г (6.12) (2776)3 Соответственно число состояний д(Е), приходящихся на единичный интервал энергии, равно д(Е) <1Е = АЕ. с1% с1Е (6.13) Фазовый обьем, занимаемый частицей с импульсами от 0 до р в координатном объеме И, равен Г= —.77р И 3 (6.14) Поэтому нам надо выразить плотность состояний через производную числа состояний пе по энергии, а по импулы:у: д(Е) с1Е = — с1Е = АЕ. се% <1Х с1р (6 16) бр 6Е 333 ГЛ 6 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ ьььь3 ьзТ3 р( ) — — — —, (6.19) Ъ' Йо кзс [ехр(Ь ~,lк Т) — 1] ььзьг2с е~ — 1' где введено обозначение с = Ьььььй Т.
Полученное выражение и есть планковская формула равновесного излучения. График функции (6.19) при разных Т показан на рис. 6.2. Прежде всего найдем, какой частоте соответствует максимум излучения. Продифферепцировав выражение (6.19) по (., получаем пр Зс с ет (1( ет — 1 (ет' — 1)2 ' Отсюда следует, что соответствующий максимуму параметр с должен удовлетворять уравнению 8(1 — е ~) = г, ==~ ~„, = 2,822. (6.21) Таким образом, р(ш) максимально при ш = 2,8 КьТ(Б. (6.22) Мы получили закон смепьения Вина: частота, соответствующая максимуму излучения абсолютно черного тела, пропорциональна температуре.
Приведем для сведения длины волн., которьнз соответствуют максимуму излучения абсолютно черного тела при разных температурах. Если температуру измерять в градусах Кельвина, а длину волны в сантиметрах, то, как (6.20) Таким образом, из формул (6.12) (6.15) окончательно следует 9(Е) ь1Е = (2,7+ 1) . — с1Е. (6.16) Мы получили для плотности состояний общее выражение, которое теперь применим для теплового излучения.
Практически во всем интересующем нас диапазоне длин волн мы имеем дело с дипольными фотонами, и поэтому спиновое вырождение для фотонов равно 2. Напомним, что в классической физике спиновое вырождение определяется числом возможных направлений поляризации электромагнитной волны. Кроме того, мы должны в выражении (6.16) учесть, что закон дисперсии фотонов определяется соотношением Е = рс., откуда следует, что с1рььь1Е = 1ььс.
Поэтому для фотонов число уровней, приходящихся на единичный интервал энергии, или иначе статистический вес, принимает следующий вид: 1, Е2 2 3.3 (6.17) Теперь мы можем окончательно вычислить плотность энергии равновесного излучения. Как указывалось выше, для этого надо умножить среднюю энергию осциллятора на число осцилляторов в единице объема. Учитывая, что для фотонов Е = 1ььь, из формул (6.17) и (6.9) получаем 1'ьь2 7ььь с1пь 1т~ 3,1 Тем самым плотность энергии излучения с частотой ш в единице объема равна 6.2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ХАРЛКТЕРИСТИКИ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУ'1ЕНИЯ легко получается путем дифференцирования р(ь2) по длине волны, максимальная интенсивность спектра теплового излучения соответствует длине волны Л, = 0,29(Т. При комнатной температуре максимум приходится на длину волны 10" А (для сравнения: видимый свет соответствует диапазону (4 — 7) 102 А).
Таким образом, тела, находящиеся при комнатной температуре, излучают в далекой инфракрасной области спектра, мы пе видим это излучение, а ощущаем его как те- Р(ш). !О Чж.с!и пло. При Т = 1500'С максимум в спектре теплового излучения соответствует длине волны Л 1,5 10 А(эта длина волны лежит в инфракрасном диапазоне, но мы уже видим крас- 3 ное свечение тела), при Т = 2200 'С (лампа накаливания) это 10000 А и мы наблюдаем яр- 2 кий желтый свет. Максимум в солнечном свете 5000 К (Т = 6000 'С) соответствует 5000 А. В области больших частот излучение падает ! экспоненциально как ехр( — 1кв/йвТ), а в области малых частот (квТ» Йю) экспоненту можно разложить в ряд, то есть считать, что ехР(йь2(йвТ) 1+ Бы(1гвТ, и мы полУчаем 1..
вм 2 2 3 Б (6.23) 5.!О !О 500 400 300 200 я2св Рис 62 Формула (6.23) называется фо11м!!лой Релея-. Днсинса. Она была получена в 1900 г. Релеем, а затем выведена Джинсом на основе более строгих соотношений. Это как раз та зависимость, которую наблюдали Рубенс и Курлбаум. В формулу (6.23) пе входит постоянная Планка и это происходит всегда, когда мы переходим к классическому пределу. Поэтому иногда область частот, где ~ = Бы(йвТ << 1, называют классической областью.
Формула Релея" Джинса легко получается из простых классических соображений, ибо она представляет собой не что иное, как произведение средней энергии осцилляторов (Й Т) на их число в единице объема. Подводя итог, следует еще раз подчеркнуть, что успех Планка обязан введенной им дискретности спектра излучения осциллятора для осцилляторов большой частоты, когда Ьь2» й.Т, почти все они «замораживаются» в состоянии с минимальной энергией и вносят малый вклад в тепловую энергию. 6.2. Интегральные характеристики теплового излучения Обсудим вначале вопрос о том, почему мы называем тепловое излучение равновесным, т.
е. почему электромагнитные волны, испускаемые за счет внутренней энергии тел, находятся в равновесии с излучающими телами. Окружим излучающее тело оболочкой с идеально отражающей поверхностью. Отраженное оболочкой излучение, уцав на тело, поглотится им (частично или полностью), и будет происходить непрерывный обмен энергией ГЛ. 6. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 340 между телом и заполняющим оболочку излучением. Допустим, что равновесие между телом и излучением нарушено и тело излучает энергии больше, чем поглощает. Тогда внутренняя энергия тела будет убывать, что приведет к понижению температуры.
Это в свою очередь обусловит уменьшение количества излучаемой телом энергии. Температура тела будет понижаться до тех пор, пока баланс излучаемой и поглощаемой энергий не восстановится. Совершенно аналогично процесс восстановления равновесия будет происходить и при изменении баланса энергий в другую сторону. Таким образом, способность теплового излучения находиться в равновесии с излучающими телами обусловлена тем, что его интенсивность возрастает при повышении температуры.
К равновесным состояниям и процессам применимы законы термодинамики, поэтому и тепловое излучение должно подчиняться ее общим закономерностям. Прежде всего рассмотрим, как связаны между собой излучательная и поглощательная способности тел. Рассмотрим замкнутую полость, в которой имеется равновесное излучение при какой-то температуре. В силу полной изотропии излучения выражение для плотности потока энергии Ф~ в спектральной полосе 60~ и единице телесного угла <1Й можно записать в виде (41Ф, /с1ы) сИ = ср(о~) (4144/446), сЮ = зшО 610 с1~р. (6.24) Мы использовали тут обычное соотношение для потока 4 = ри, с учетом того, что скорость фотона равна скорости света, а плотность есть плотность энергии равновесного излучения р(ы).
Как показано на рис. 6.3, на единицу площади поверхности Ь;з' полости в единицу времени под углом О в интервале углов 410 и Йд падает излучение, энергия которого с1Ф,„= (с/4 г) р(ы) соз О гйп О 610 сЬр 410~. (6.25) По азимутальному углу у в силу изотропии можно сразу проинтегрировать, что дает 2я, Теперь учтем свойства поверхности. Пусть на элементарную площадку поверхности тела падает поток излучения с1Ф,„, частота которого заключена в интервале 41ы. Часть этого потока 41Ф'„.
будет поглощена телом. Поглощательной способностью тела называется отношение А(ы) = с1Ф' ~41Ф . (6.26) Если наше тело абсолютно черное, то отношение А(ы) интенсивностей поглощенного и падающего на тело излучения равно 1. Тело, для которого А(ы) ( 1, называют серым. Количество энергии, поглощенное в единицу времени, равно А(ы)Ф се и оно должно при равновесии компенсироваться излучением стенки в том же телесном угле. Если обозначить через 7(ы) поток энергии, испускаемый единицей поверхности тела в интервале частот Йы (испускательпая способность тела), то баланс излученпой и поглощенной энергий единицей поверхности стенки под углом О к ее нормали в интервале углов 410 определяется равенством (с/4х) р(ы)А(ы)2я сов дгйпд 410 с1ы = 1(ы)24г61г40 610 61ы., (6.27) или (6.28) 1(ы)/А(ы) = (с/4х) р(ы) соз О.
6.2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ХАРЛКТЕРИСТИКИ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ж г/2 7и = — Р(ш) 11ш 2хгйпдсоздйд. 41Г,/ (6.29) Интегрирование по углам производится просто: т/2 т/2 (6.30) а интегрирование по частотам сводится к вычислению следующего интег- рала: 6 Г Р Р( )Ы х2сз / 1ьв ' 1' (681) Полученное нами соотношение между поглощательной и испускательной способностями тела носит название закона Кпрягофа, который получил его в 1859 г.
на основе чисто термодинамических закономерностей. Закон Кирхгофа гласит, что, хотя функции А(и1) и 1(ш) разли*шы для разных материалов, их отношение всегда одно и то же и определяется универсальной функцией частоты и направления. Как следует из закона Кирхгофа, интенсивность излучения пропорциональна косинусу угла между нормалью к поверхности и направлением излучения. Эта закономерность известна как закон Ламберти. Из закона Кирхгофа следует кажущийся вначале удивительным факт: количество излучаемой энергии пропорционально его поглощательной способности, т.
е. лучше всего излучает абсолютно черное тело. Этот результат кажется странным, ибо мы привыкли, что наиболее яркими являются белые предметы. Все дело в том, что мы видим, как правило, не испускаемое телом излучение, а отраженный и рассеянный солнечный свет, который не является в обычных условиях для тел, находящихся при комнатной температура, равновесным. При комнатных температурах равновесное излучение имеет максимум в области невидимого для нашего глаза инфракрасного диапазона. Тот факт, что чем болыпе поглощательная способность тела (чем оно «чернее»), тем выше его излучательная способность, качественно легко понять из следующих рассуждений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
