belonuchkin-zaikin-tsipenyuk-kvantovaya-fizika (1) (810753), страница 91
Текст из файла (страница 91)
В видимой части спектра «наиболее черным телом» является сажа, но она прозрачна для электромагнитных волн, длина которых меньнп. или больпк., чем длина волны видимого света. Лишь внутри непроницаемого для любого излучения ящика в результате многократных испусканий и поглощений стенками электромагнитногоизлучения как раз устанавливается «равновесное» излучение, соответствующее излучению черного тела (см. рис. 6.1).
Наблюдать это излучение можно, сделав столь маленькое отверстие, чтобы оно не нарушало равновесия в ящиРис. 6.1 ке. Этот способ исследования излучения абсолютно черного тела изобрел М. Вин в 1895 г. Именно Вин в 1896 г. теоретически пришел к заключению, что энергия излучения на единицу обьема и единицу частоты падает по экспоненциальному закону с увеличением отношения ы(Т. Закон Вина выглядит следующим образом: з 7 ш А р(ь~) ос ш' ехр ~ — — ~, Т1 (6.1) где а некая размерная константа. Полученный Вином закон объяснял, почему с возрастанием температуры максимум иитепсивности в спектре излучения все больше и больше смещается к коротким волнам. Несмотря на то, что экспопенциальный спад интенсивности излучения с ростом частоты экспериментально был подтвержден для коротких длин волн, измерения в широком дивлазоне длин волн показали значительные отклонения опытшях данных от этого закона.
Проблема распределения энергии в спектре теплового излучения была разрешена на заре нашего века Максом Планком. В 1938 г. 80-летний Планк вспоминал, что его формула была открыта в воскресенье 7 октября 1900 г. Днем к Планкам в гости пришли Рубенсы, и Генрих Рубенс рассказал Планку, что он, измеряя вместе с Курлбаумом тепловое излучение, обнаружил, что для малых отношений ш(Т эксперимент дает пропорциональность интенсивности излучения р температуре и тем самым не соответствует закону Вина.
В тот же вечер Планк получил формулу для р, которая для малых м(Т дает пропорциональность температуре, а при больших переходит в формулу Вива. Так был не выведен, а угадан закон распределения интенсивности по частотам формула Планка, и 19 октября 1900 г. Планк доложил этот эмпирический закон па заседании Номецкого физического общества. Чуть меньше двух месяцев потребовалось Планку, чтобы вывести угаданный им закон.
Для этого ему пришлось разорвать порочный круг класси- 6.Ь РАВНОВЕСНОЕ ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ческого подхода к тепловому излучению и прийти к «элементам энергии» (потом уже появилось для них название «фотоны», введенные в пауку Льюисом в 1929 г.), которым приписывался смысл частиц. Начало квантовой физики может быть датировано 14 декабря 1900 г., когда Плапк доложил свой вывод на заседании Физического общества.
Конечно нам, опираясь на опыт нескольких поколений, вывести спектральное распределение интенсивности теплового излучения намного проще. Рассмотрим замкнутую полость объемом Г, стенки которой находятся при температуре Т. Равновесное излучение в полости можно рассматривать как фотонный газ, специфика которого заключается в следующем. 1. Число фотонов не сохраняется, а мы имеем дело с динамическим равновесием, когда непрерывно происходит поглощение фотонов стенками и их испускапие. 2. Термодинамическое равновесие устанавливается только за счет поглощения и испускания фотонов веществом стенок.
3. В отличие от идеального газа обычных частиц, где тепловое равновесие соответствует максвелловскому распределении) частиц по скоростям, все фотоны движутся со скоростью света. Итак, рассмотрим электромагнитное поле в полости как фотоннгий идеальный газ (ранее такой идеальный газ уже частично рассматривался в рамках феноменологической термодинамики). Поскольку фотоны являются бозе-частицами, то в элементарном об"ьеме может быть сколько угодно фотонов данной частоты.
Нас будет интересовать, сколько фотонов определенной энергии имеется в нашем объеме, находящемся в равновесии при температуре Т. Тепловое равновесие излучения означает, что в полости имеются фотоны различных энергий, причем среднее число фотонов п с данной энергией (частотой ш) определяется только температурой стенок, т. е. электромагнитное поле в полости эквивалентно совокупности гармонических осцилляторов, находящихся в различных возбужденных состояниях.
Действительно, энергия квантового осциллятора, находящегося в п-ом состоянии, равна (6.2) Е„= и+ — йю, но так как нулевую энергию невозможно «отнять» от осциллятора, то его энергию в дальнейшем удобнее отсчитывать от нулевого уровня. В этом случае энергия различных состояний будет определяться по формуле Е„= пйы. (6. 3) Из этой формулы с очевидностью следует сделанное выше утверждение .— в и-м состоянии осциллятор имеет энергию нйы, что эквивалентно наличию в системе и фотонов с энергией Ьш.
Средняя энергия осциллятора (Е) = ~ ~ш„Е„, (6.4) в=в где ш„это вероятность нахождения осциллятора в состоянии с энергией Е„, отсчитываемой от нулевого уровня Ев = Ьш,12. Согласно общему термодинамическому принципу вероятность возбуждения уровня с энергией Е„ ГЛ. 6. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 336 при заданной температуре определяется больцмановским фактором шп ~~ ехр( пп7 квТ) (6 5) Поэтому средняя энергия возбуждения осциллятора при заданной температуре равна ЕЕ Е!Ьвг Е Ь пь ~Ьвт —..6 =6 (6.6) е е" 7"вт ~ е ™7ьвт п=о п=.в В этом выражении Я = 2, е "~~7~63 есть просто геометрическая прогрессия со знаменателем ц = ехр( — Бы(1гвТ) и поэтому у, — А ~ввт' 1 1 (6.7) 1 — Ч 1 — ежр( — Ьы(КвТ) ' Теперь заметим, что числитель в выражении (6.6) есть пе что иное как производная от знаменателя по параметру ( — 1/йвТ), и поэтому с учетом (6.7) он равен 7ьвт д( — ЦРвТ) (1 — ехр( — 7ы7йвТ))3 (6.8) Окончательно мы имеем пь,,— 1ы/Ьвг 1 — 6 (Ьвт Г 7Ьвт 1 Ь 7Ьвт Мы видим, что средняя энергия осциллятора с частотой ш равна энергии фотона с данной частотой, умноженной на так называемый планковский множитель.
который фактически определяет среднее число частиц и (в нашем случае осцилляторов, или, что то же самое, фотонов с данной частотой) в рассматриваемом состоянии. Это же можно сказать иначе: при данной температуре число фотонов, имеющихся в полости, зависит как от температуры, так и от частоты, и чем выше частота фотона при данной температуре, тем меньше число таких фотонов, что на языке осцилляторов означает, что тем меньше вероятность возбуждения осциллятора с данной частотой. Чтобы найти полную энергию равновесного излучения с частотой ш в интервале частот г(ю, надо умножить среднюю энергию осциллятора на число осцилляторов в единице фазового пространства (плотность состояний у(о~)).
В связи с этим обратимся к квазиклассическому условию квантования, рассмотренному в 3 4.5, которое выглядит так: и рс(гв = 2хйп. (6.10) Это условио есть не что иное как обобщение условия Бора для квантования электронных орбит в атоме щвг = пй. Если умножить обе части этого соотношения па 2я, то его левая часть будет как раз интегралом от импульса электрона по круговой орбите радиуса г.
В данном случае мы обобщаем это соотношение для любых частиц. ае РВВнОВесное теплОВОе излучение 337 Соотношение (6.10) можно интерпретировать следующим образом. Интеграл урух есть площадь, охватываемая замкнутой классической фазовой траекторией частицы (т. е. кривой в плоскости (р, т) — фазовом пространстве частицы). Разделив эту площадь на клетки площадью 2776 каждая, мы получим всего и клеток. Но п есть число квантовых состояний с энергиями, не превышающими заданного ее значения (соответствующего рассматриваемой фазовой траектории).
Таким образом, мы можем сказать, что каждому квантовому состоянию соответствует клетка в фазовом пространстве площадью в 2776. Иначе говоря, число состояний, отнесенное к элементу объема ЬрЬя фазового пространства, есть ЬрЬя (6.11) 2776 Итак, приходящийся на одно квантовое состояние фазовый объем равен 2777ь Для трех координат этот объем должен быть возведен в куб. Величину минимального фазового объема 2776, приходящегося на каждую координату, можно оценить и на основании соотношения неопределенностей произведение неопределенностей в координате и импульсе Ьв Ьр 2776. Это означает, что величина 2776 определяет, грубо говоря, минимальный обьем, который «отводится» частице в фазовом пространстве.
Разделение фазового пространства на ячейки сделано, следовательно, таким образом, что каждой изображающей точке, несмотря на неопределенность ее координат, соответствует вполне определенная ячейка. Дальнейшее деление фазового пространства, или, что то же самое, задание положения изображающей точки с большей точностью (внутри ячейки) не имеет никакого смысла. Просто сопоставление изображающей точки с определенной ячейкой фазового пространства содержит в себе все, что можно сказать относительно состояния системы. Чтобы найти полное число состояний в фазовом объеме Г, надо еще учесть вырождение состояния 77о спину частицы 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
