belonuchkin-zaikin-tsipenyuk-kvantovaya-fizika (1) (810753), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Поместим, как мы уже это делали раньше, какое- либо нагретое тело в замкнутую полость. При равновесии излучаемая телом энергия должна быть равна поглощаемой энергии, что эквивалентно закону Кирхгофа. Так как нам известен закон распределения энергии равновесного излучения по частотам, мы можем найти интегральную излучательную способность абсолютно черного тела, то есть полную интенсивность излучения с единицы поверхности, находящейся при заданной температуре. Для этого надо проинтегрировать выражение (6.27) по частоте и по всем углам: Гл. а кВАнтОВАя теОРия излучения 342 Сделаем замену переменных г, = Бы/й Т, и тогда интеграл (6.31) преобразуется к виду й4у4 хз 1~ Р= х2сэйз ех о Иптограл в полученном выражении равен х4/15 и поэтому Б 4 15сзаз (6.32) Итак, полная интенсивность излучения с единицы поверхности абсолютно черного тела равна 2~4 1о = — = оТ', о.
= ь = 5,67 10 з Дж/(м2 с К). (6.33) 4 ' 60с2йз Полученное выражение было в 1879 г. выведено Стефаном из измерений французских физиков, а в 1884 г. получено Больцманом на основе применения к излучению понятий давления и температуры и потому называется законом Стефана — Больцмана, и соответственно константа и называется постоянной Стефана Больцмана. Мы видим, что интенсивность излучения очень сильно зависит от температуры как четвертая степень абсолютной температуры. Качественно легко получить закон Стефана — Больцмана на основе следующих рассуждений.
Так как закон дисперсии для фотонов Е = рс, то из соотношения неопределенностей следует, что фотон частоты ш занимает объем порядка (6.34) (Ьх)' (6,1Ьр) = (йс/Е) = (с/ь~) 11апомним, что как только мы стараемся локализовать частицу в интервале Ья, появляется неопределенность в его импульсе Ьрх, определяемая по соотношению неопределенностей, а значит его энергия Е Ьрс. Так как энергия фотона равна йо~ и она в среднем по спектру порядка К Т, то плотность энергии равновесного излучения, т. е.
энергия в единице объема, равна 4 (~ Т)4 Р— (~~ )з .з — взсз (6.35) Полученная оценка достаточно близка к точной формуле (6.32), отличаясь от нее на множитель 4г2/15. 6.3. Вынужденное и спонтанное излучения. Лазеры Рассмотрим процессы взаимодействия излучения с атомом --. процессы, играющие фупдаментальнук> роль в квантовых генераторах света. Пусть в некоем объеме с зеркальными стенками находится в одном и том же состоянии п фотонов и один атом в возбужденном состоянии с уровнями энергии Е2 и Еи такими, что Е2 — Е4 = йь4, где и "- частота фотона. Динамическое равновесие в системе происходит за счет того, что все время происходит то поглощение одного из фотонов атомом, то непускание фотона. Когда атом находится в нюкпем состоянии Е~., то у нас имеется (и + 1) аз.
Вынуэкденное и спОнтАннОе излучения. лАзеРы фотонов в системе. За большое время 1 атом много раз будет находиться то в первом, то во втором состоянии, и число псрехсдов А!12 из нижнего состояния в верхнее практически (с точностью до единицы) будет равно числу обратных переходов А)21. Если обозначить через И' вероятность перехода )1) атома в возбужденное состояние под действием одного фотона в единицу времени, а через 11 обозначить время, которое атом проводит в среднем в пиж!жм состоянии, то мы можем написать 1112 = Иг,г (и + 1)Х! = Х21.
(6.36) Эту формулу мы можем переписать следующим образом: .)712 = пИ 12 11 + И 12 11 = "у21 + А 21 . ) 1) (1) инд сп (6.37) Как мы видим, переходы из верхнего состояния в нижнее представляют собой сумму двух слагаемых. Первый член в формуле (6.37) зависит от числа имеющихся в системе фотонов и поэтому он описывает индуцированныс переходы )11 ', то есть переходы, происходящие под действием внешнего изинд лучеция; второй член вообще не зависит от излучения (от числа фотонов) и он описывает спонтанные, то есть самопроизвольные переходы атома из возбужденного состояния А!21.
Как следует из формулы (6.37), отношение числа индуцированных к числу спонтанных переходов определяется лишь числом фотонов (6.38) Отношение числа вынужденных к числу спонтанных переходов равно, естественно, отношению вероятностей этих переходов, т. е. формула (6.38) может быть записана в виде (6.39) откуда следует, что (6.40) сп инд ! Игинд Итак, мы получили два весьма существенных результата. 1.
Вероятность индуцированного излучения пропорциональна числу имеющихся в системе фотонов. Другими словами, чем больше фотонов, тем больше вероятность испустить еще один. На то, что вероятность излучения зависит от числа уже имеющихся фотонов, то есть интенсивности света, впервые обратил внимание в 1915 г. А.
Эйнштейн. 2. Вероятность спонтанного излучения лспп равна вероятности индуцированного перехода под влиянием одного фотона И' На частном примере мы показали на самом леле более общее утверждение, которое носит название принципа детального равновесия и играет фундаментальную роль в науке. Оно формулируется следующим образом: если между двумя сосгпояниями возмоэн1ен переход в одном направлении, то он возмоэ1сен и в одра!пном направлении, и вероятноспил этих переходов (вернее приведенные вероятности, т. е. вероятности переходов, деленные на статисти !еский вес конечного состояния) одинаковы. Фактически этот принцип является аналогом классической теоремы об обратимости времени если возможна некоторая траектория частицы, которая проходится 344 ГЛ 6 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ телом в одном направлении, то та же самая траектория может быть пройдена телом и в обратном направлении, ибо при изменении знака времени все скорости переменят знак, а траектории останутся неизменными.
Теперь мы можем рассмотреть более общий случай, когда у нас имеется в системе много таких атомов, из которых Х~ атомов находится в основном состоянии, а Хз — — в возбужденном. В равновесии число атомов, переходящих из основного в возбужденное состояние, должно быть равно числу обратных переходов за тот же временной интервал, и, если среднее число фотонов данной энергии в системе равно и, то мы можем условие равновесия записать в Виде М4 НЪ7 ~~) $ = Мз и Уш и 1 + Х~ И~ 1" й (6.41) Если температура системы будет столь большая, что Š— Е1 « ИвТ, то число атомов в основном и возбужденном состояниях будет почти одинаково (Х1 Хз). С учетом (6.40) и того, что при большой температуре и » 1 и вторым членом в уравнении (6.39) можно пренебречь, это означает, что должно выполняться следующее соотношение между вероятностями переходов И;П) И;ннд И сн (6.42) Итак, мы получаем, что при любой конечной температуре рт'4п = Мз(п+ 1)., (6.43) то есть 1Уг/4У4 =и/(и+ 1).
(6.44) Но заселенность уровней при данной температуре определяется больцмановским фактором: Хз е ' ~ в Ае~ь т / йй.> М,,— Явт . (, И,Т) и мы приходим к соотношению и [1 — ехр ( — Ьы/1'вТ)) = ехр( — ймфнТ) . (6 45) Окончательно мы получаем, что при равновесии число фотонов с частотой ш в одном состоянии равно 1 й= (6.46) Мы видим, что и не что иное, как планковский множитель. Эта формула называется также Бозе-Эйнштейновским распределением для средних чисел заполнения пн так как, как уже указывалось, этой формулой определяется среднее число частиц, находящихся в данном состоянии. Хотя мы получили это распределение для фотонов, опо справедливо для любых бозе-частиц, т.
е. частиц с целым олином. Перейдем к рассмотрению взаимодействия излучения со средой. Пусть на некую среду, содержащую Х атомов при температуре Т, падает по оси з монохроматическое излучение интенсивности 1 и частоты ю такое, что энергия этого излучения равна разности энергетических уровней атомов среды, т. е. это излучение является резонансным для среды. Пусть Х4 это число 6.3. ВЫНУЖДЕННОЕ И СПОНТАННОЕ ИЗЛУЧЕНИЯ. ЛАЗЕРЫ атомов среды, находящихся на основном состоянии, а Хз число атомов в возбужденном состоянии; естественно, число частиц на обоих уровнях равно всегда полному числу часхиц Х1 + Хз = Х.
В соответствии с полученными выпи: выводами в среде будут происходить как процессы поглощения, так и спонтанного и индуцированного испусканий, и уравнение энергетического баланса имеет вид (6.47) Иа 1~1х(~+Иа 1АВ + где Их~, И', — вероятности поглощения и спонтанного излучения одного (В фотона. Ксли спонтанное излучение значительно менее вероятно, чем индуцированвое (достаточно высока интенсивность падающего излучения), то 61(1 = И'.(') (Х, — Х,) сЬ, (6.48) и мы получаем, что интенсивность падающего излучения зависит от рассто- яния как 1 = 1о ехр[И;~В(№ — Х1)з).
(6.49) Итак, если в среде заселенность уровней соответствует равновесной, то всегда Хз ( А"~., происходит только затухание падающей волны. Иначе говоря, в термодинамически равновесной среде всегда поглощение оказывается бблыпим, чем излучение. Чтобы происходило усиление палахощего излучения, в среде должна быть неравновесная заселенность уровней, т.
е. Аха ) АХП О такой среде говорят как о неравновесной, или как активной среде, а также говорят, что она должна находиться при отрицательной температуре, имея в виду, конечно, абсолютную температуру. Иногда говорят также,что это среда с инверсной заселспностью уровней. Все это одно и то же. Впервые активную среду, которая может усиливать излучение, т. е. служить также и активным элементом генератора, создали в СССР А.М. Прохоров и ПН. Басов, и независимо в США Ч. Таунс в 1957 г. Соответствующие генераторы получили название лазеры, что является аббревиатурой слов английской фразы «1лдИ Атрй11сайоп Ьй 8пти1а1«й Етм»1оп о1 Кайа11оп», что означает «усиление света вынужденным излучением».
Лазеры представляют собой источники очень высокой монохроматичности и направленности. Существенным моментом всех «обычных» источников света является то, что каждый атом излучает «сам по себе», и индуцированное излучение не играет существенной роли.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
