belonuchkin-zaikin-tsipenyuk-kvantovaya-fizika (1) (810753), страница 52
Текст из файла (страница 52)
В действительности они, конечно, тоже движутся в среднем со скоростью (в). Из-за этого молекула, за которой мы наблюдаем, будет испытывать столкновения несколько чаще. Частота столкновений определяется относительной скоростью молекул (г) А/2, в то время как перемещение относительно стенок сосуда †. - длина пробега скоростью (п). Поэтому окончательно для длины свободного пробега мы должны записать следующее выражение: (1.13) Л = 171(ъ'2птт). Коэффггцггенпгы переноса в газах. Длина свободного пробега и тепловая скорость молекул --.
параметры, знание которых позволяет вычислить коэффициентьг переноса в газах. Коэффпциент диффузии. Рассмотрим стационарный процесс диффузии некоторого газа в смеси. Выберем ось е по направлению градиента концентрации, т. е. по направлению наибольшей скорости ее возрастания (рис. 1.6). и .1- л 6 и / 6 2 Рассмотрим единичную площадку, перпендикулярную О оси з, в области, где концентрация диффундирующего газа равна тг; подсчитаем поток через площадку.
и Воспользуемся самой простой моделью пространственного распределения скоростей молекул. Будем считать, что и — ХйгттгЬ молекУлы ДвижУтсЯ по тРем взаимно пеРпенДикУ71ЯРным ег — А направлениям: налево . — направо, вверх —. вниз, к нам .. от нас. За время свободного пробега т через площадку прой- Рис. 1.6 дуг молекулы, находящиеся на расстоянии, не превышающем (п)т= Л, и движущиеся по направлениго к рассматриваемой площадке.
Если скорость роста когщентрации равна 11тгтгсЬ, па расстоянии Л от площадки «вниз» концентрация равна и — Л 1171,71Ь. Тогда «снизу» за время т площадку пройдет Хг = (т(п)тгб)(тг — Л с1птгсЬ) молекул. Сверху, в направлении, противоположном оси е, пройдет, соответственно, гЛ72 = (т(гг)тгб)(тг+ Л117Ц1Ь) молекул. Общая плотность потока получается равной (Хг — 17'2)тт = — (Л(п) 73) Птг) сЬ. 1Л. 1. ЭЛЕМЕНТЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИ'1ЕСКОЙ ТЕОРИИ еО тп(о) с1и с1и тп(о)Л с1и Сравнивая полученное выражение с формулой (1.10), имеем агп(о)Л (о)Л "ч'=, = Р 3 3 (1.15) Коэффициент теплопроеодноети.
Полностью аналогичные рассуждения позволяют рассчитать и коэффициент теплопроводности. Каждая молекула, приходящая из области с меньшей температурой, приносит энергию ег(Т— — Л с1Т7с1з). Здесь е1 — коэффициент пропорциональности между температурой и средней энергией молекулы, т. е. теплоемкость газа при постоянном объеме в расчете на одну молекулу. Соответственно, молекулы, идущие из более нагротой области, несут каждая энергию е1(Т+ Л с1Т(с1з). Плотность потока тепла равна Сравнивая с формулой (1.11), получаем коэффициент теплопроводности эс = пе1Л(о) „е Л(о) Л(о) = е.
—, = Рекк —., (1.16) 3 " 3 ' 3 где е'" .—. теплоемкость газа при постоянном объеме в расчете на единицу обьема объемная теплоемкость, а еул = С„/Р на единицу массы удельная теплоемкость (С вЂ” теплоемкость моля). Уравнение тпеплопроводносгпи. В общем случае при теплопередаче температура вещества может меняться. Могут, конечно, меняться концентрация в процессе диффузии, распроделепие скоростей под действием сил вязкости. В таких случаях говорят, что происходит нестационарный процесс переноса. Мы ограничимся анализом псстационарной теплопроводпости. Сравнивая полученное выражение с формулой (1.8), получаем Л(о) (1.14) 3 Коэффициент вязкости.
Если в газе существует макроскопическое движение, скорость каждой молекулы можно представить как векторную сумму скорости направленного движения и и тепловой скорости о. Выберем ось г в направлении увеличения скорости «организованного» движения газа. Рассуждаем примерно так же, как при выводе коэффициента диффузии (рис. 1.7).
Снизу, из плоскости зе — Л, в единицу времени на единицу площади придет 11(о)/6 молекул с импульсом — тп(и — Лд1и/с1е), сверху такое же число молекул с импульсом т(и+ Л с1и/сЬ). Плотность потока импульса Рис. 1.7 равна силе, действующей на единицу площади, т. е. тангснциальпому напряжению. Если, например, скорость направлена по оси я, мы получаем ЕЗ. ЯВ.ПЕНИЯ ПЕРЕНОСА Рассмотрим одномерный случай.
Если в сечениях х и х + с1х (рис. 1.8) градиенты температуры различны, различными будут и потоки тепла через эти сечения. Но это означает, что некоторое количество теплоты не доходит от первого сечения до второго. Между сечениями х и х+ох «оседает» некоторая энергия (она, конечно, может быть отрицательной), температура вещества изменяется.
Допустим, энергию единицы массы вещества можно представить в виде и = сТ, тогда энергия всего вещества между х хебх х и х+с1х составит У = рсТо'глх и на ее изменение в течение времени Ы потребуется количество теплоты Ьсг = Рис 1.8 = (д(рсТоЬх)1д1)2х1 = (д(рсТ)1д1)ЯЬххх1. Это тепло обеспечивается разностью гютоков 1аСьэ = — (дд/дх)оЬх1х1. Приравнивая два выражения для Ьбьэ и учитывая соотношение (1.11) для Ч, получаем д(рсТ) д (г дТ') дб д. 1, дх/' с1аще всего рассматривается случай, когда р, с, эг — . постоянные, и тогда уравнение принимает вид дТ двТ двТ (1.18) д1 рс дх2 дх2 Здесь т = хг/(рс) — некоторая новая характеристика процесса теплопередачи коэффициент темпервтуропроводности.
Обратим внимание на одно важное соотношение. Если мы сравним коэффициент диффузии, коэффициент температуропроводности и кинематический коэффициент вязкости о = п,1р, то для газов (и только для газов!) они оказываются равными друг другу: 1э' = у = м = —. Л(о) 3 (1.19) Необходимо отметить, что равенство (1.19) должно выполняться в рамках модели идеального газа, молекулы которого представляют собой твердые шарики, взаимодействующие лишь при соприкосновении. Размер «шарико⻠— молекул мы теперь можем вычислить, измерив коэффициент теплопроводности или коэффициент диффузии в каком-нибудь газе.
Можно также рассчитать размер молекул, измерив, например, плотность сжиженного газа р Таблица 1.1 иллюстрирует на примере аргона расхождение значений диаметра молекулы и сечения столкновения, рассчитанных из различных исходных вели гин. Таблица 1.1 Исходная величина Диаметр молекулы (в ангстремах: 1 А= 10 1о и) 3,82 2,88 Сечение (в относительных едининах) 2,11 1,73 Величина порядка 3 — 4 А типична для диаметра молекулы, значит, сечение столкновения имеет величину порядка о — 3 1О ~~ м2. Исходя из этого, мы теперь можем рассчитать коэффициенты переноса в газах.
При нормальных 200 1Л. 1. ЭЛЕМЕНТЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИ'1ЕСКОЙ ТЕОРИИ условиях концентрация молекул составляет п — 2,5 1000 м з; соответственно длина пробега Л 10 7 м. Принимая значение средней тепловой скорости молекул (0) = 500 м/с, можем получить для коэффициента диффузии оценку Р = 2 10 ' мз/с. Эти оценки согласуются с экспериментальными данными: например, в воздухе при нормальных условиях коэффициент диффузии аммиака равен 2 10 ', а водяных паров — — 1,7 10 ' мз/с. Примерно такие же значения имеют коэффициенты кинематической вязкости и температуропроводности газов при нормальных условиях. Так, для воздуха (смесь азота и кислорода) Р = 1,8 10 ', и = 1,3 10 ~, Л = 1,9 10 ' м~77с, что лишний раз подтверждает адекватность использованной приближенной методики расчета коэффициентов переноса.
Разрез7сенные газы. При вычислении длины свободного пробега по формуле (1.13) учитываются только соударения между молекулами. Столкновения со стенками не принимаются в расчет. Это возможно лишь при выполнении условия Л « Ы (71 некоторый характерный размер сосуда). Если формально рассчитанная величина Л заметно превьппаот 71, столкновения со стенками становятся превалирующими. Тогда дело практически сводится к замене в выражениях для коэффициентов переноса 1/(н77) /а 71. С такой ситуацией мы встречаемся в сосуде Дьюара, в частности, в обычном бытовом термосе.
Стенки термоса делают двойными (рис. 1.9), промежуток откачивают примерно до 10 ~ Па. При этом 177(п77) 1 м, в то время, как зазор между стенками д 1 мм. В обычных условиях коэффициент теплопроводпости согласно формуле (1.16) пе зависит от давления: уменьшение концентрации ц (плотности р) компенсируется пропорциональным ростом Л. Но, на1иная с давления порядка 10 Па, величина 1/(71п) становится примерно равной 71, и реальная длина пробега перестает расти. Ес,ли давление, а значит, и конРис.
1.9 центрацию молекул, уменыпить еще в 1000 раз, теплопроводность также упадет в 1000 раз. Если 71 становится сравнимым с Л (в дапяом контексте под «длиной пробега» Л мы понимаем просто величину 177(7177)), газ нельзя рассматривать как сплошную среду. Поэтому, в частности, становятся неприменимыми представления о переносе импульса от слоя к слою газа, теряет смысл понятие вязкости. Например, нельзя использовать формулу Пуазе71лл при расчете протекания газа по трубе, если диаметр трубы 07, сравним с Л или меньше этой величины. Когда д « Л, пропускную способность трубы надо рассчитывать иначе.