belonuchkin-zaikin-tsipenyuk-kvantovaya-fizika (1) (810753), страница 51
Текст из файла (страница 51)
В итоге давление (импульс, полученный единицей поверхности в единицу времени) оказывается равным и. гни .. В действительности у разных молекул разные значения п . Поэтому 2 мы должны подставить среднее значение этой величины (о ). Теперь учтем, 2 что и = и + и„+ п„а средние значения составляющих скорости, очевидно, должны быть одинаковы.
Тогда (п~~) = (п~),13, и мы получаем окончательное выражение для давления идеального газа; 1Л. 1. ЭЛЕМЕНТЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИ'1ЕСКОЙ ТЕОРИИ Сравнивая формулы (1.5) и (1.6), имеем (е„„) = 13(2) квТ или Т = (213) (е„„„)/й . (1.7) Полученное выражение можно считать еще одним определением температуры. Эта, так называемая газокинетичеекоя температура...
совпадая с температурой идезльногазовой, связывает этот макроскопический параметр с характеристиками микрочастиц " молекул. Конечно, трудно представить, что для определения температуры (и давло. ния) мы будем измерять энергию отдельных молекул и вычислять ее среднее значение.
Основной смысл выражения (1.7) состоит в том, что температура является мерой энергии поступательного движения молекул газа. Следует, однако, отметить, что связь давления и плотности энергии газа определяется характером зависимости кинетической энергии частицы е от ее импульса р. У молекул, как и вообще у всех массивных частиц, е = рз,12тп. В то же время у безмассовой частицы, фотона е = ре (с скорость света).
Повторив процедуру, аналогичную той, что мы проделали для молекул, в случае излучения гидезлыгого газа фотонов), мы вместо формулы 11.5) получим Р = п(е)/3. Давление излучения равно 1/3 плотности его энергии. 1.3. Явления переноса Чтобы система, находящаяся в контакте со средой, пришла в состояние равновесия, внешние условия должны быть не только неизменными, но и однородными. Если, например, температура па границе системы не меняется со временем, но различна в разных точках границы, в системе установится некоторое стационарное, по не равновесное состояние. Температура в каждой точке системы тоже со временем не будет меняться (после более или менее длительного переходного процесса), но в разных точках опа будет различной. Говорить о температуре системы в целом нельзя, равновесное состояние не достигнуто.
Происходит еп1ацианарньгй процесс переноси тепла через систему. В основном именно стационарные процессы переноса мы и рассмотрим. Ксли условия на границе системы, а следовательно, и в самой системе, меняются достаточно медленно., процессы переноса можно считать квазистационарными. К таким процессам во многом применимы закономерности стационарных процессов. Любая макроскопическая неоднородность означает отсутствие равновесия. Так как система стремится к равновесию, возникает некоторый поток, ведущий к выравниванию параметров различных 1астей системы, сглаживанию неоднородности. В таких случаях говорят, что в системе происходит процесс переноса.
Виды процессов переноса. Рассмотрим три основных процесса переноса: диффузию перенос вещества, вязкость (внутреннее трение) перенос импульса, и теплопередачр перенос тепла (энергии). Диффузия. Равновесие предполагает, кроме всего прочего, тождественность состава вещества по всей системс. Коли в некоторой части объема, занимаемого смесью веществ, окажется избыток одного из компонентов, за с гет теплового движения молекул будет происходить выравнивание концентраций вплеагь до достижения однородности состава по всему обьему, т.
е. будет происходить процесс диффузии. ЕЗ. ЯВ.ПЕНИЯ ПЕРЕНОСА Стационарный процесс диффузии можно осуществить, например, если опустить один конец трубки в достаточно болыпой сосуд с водой, .а второй конец обдувать относительно сухим воздухом (рис. 1.3).
Вблизи поверхности воды при этом концентрация молекул воды все время будет соответствовать давлению насыщенных паров. По высоте трубки установится некоторое стационарное распределение концентрации водяных паров. Мерой интенсивности процесса диффузии является поток молекул диффундирующего вещества. Как показывает опыт, плотность потока Т (число частиц, пересекающих единичную Рис. 1.3 площадку, перпендикулярную направлению потока, в единицу времени) пропорциональна скорости изменения концентрации по соответствующей координате. Для одномерного случая, таким образом, закон Фика имеет вид 1= — П вЂ”. гпл (1.8) е1т В общем случае, в трехмерном пространстве, следует писать /.дп .дп дп'1 1 = — П~7п = — 11 кгас1 п = — й 1 1 —, + 1 —, + 1г —, (1.9) ~, дя ду дз~' где Й -- коэффициент пропорциональности между градиентом концентрации и потоком называется коэффициентом диффузии.
Вязкость. С механизмом передачи импульса за счет тапгепцивльпых напряжений в жидкости мы знакомились в разделе «Механика». Напомним закон Ньютона: если х-составляющая скорости меняется, например., вдоль оси у, на площадке, перпендикулярной оси у, в направлении я возникает напряжение е1и» т»„= — г1 (1.10) ету Коэффициент й носит название вязкость, или коэффициент вязкости.
Иногда его называют динамической вязкостью (или динамическим коэффициентом вязкости), чтобы отличить от кинематической вязкости о = гн'р, с которой мы познакомимся чуть позже. Необходимо подчеркнуть, что и скорость макроскопического направленного движения порций вещества, а не отдельных молекул; особенно важно это помнить при анализе вязкости газов. Теплопередача. Передача тепла, т. е.
перенос энергии может осуществляться с помощью различных механизмов. Все тела, температура которых отлична от абсолютного нуля, излучают электромагнитные волны. При комнатной температуре это в основном излучение инфракрасного диапазона. Так происходит .лучистьй гпеплообмен. В поле силы тяжести еще одним механизмом теплоперсдачи может служить конвекция. Если к сосуду, содержащему жидкость или газ, тепло подводится через днище кастрюля с водой подогревается на плитке, в первую очередь прогреваются нижние порции вещества, их плотность уменьшается, опи всплывают вверх и отдают часть полученного тепла крьппке. В таком случае говорят о естественной конвенции. Конвекция может быть и принудительной (вынужденной), когда происходит механическое 1Л. 1.
ЭЛЕМЕНТЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИ'1ЕСКОЙ ТЕОРИИ перемешивание работает бетономешалка, хозяйка мешает суп и т. и. При этом,конечно,происходит персмешивание вещества,и в этом смысле конвекция является альтернативным механизмом выравнивания концентрации. Мы сосредогочимся на молекулярной теплопроаодноегпи, т. е. на передаче тепла за счет движения отдельных молекул, когда макроскопические потоки вещества отсутствуют. В этом случае плотность потока тепла (количество теплоты, протекающее через единицу поверхности, перпендикулярную направлению потока, в единицу времени) определяется, законом Фурье: (1.11) где и-- коэффициент теплопронодноети.
В трехмерном случае д = — н уТ. Коэффициенты переноса В, ц, н в общем случае являются эмпирическими параметрами, значения которых находятся из экспериментальных данных. Однако для газов опи могут быть рассчитаны ва основе молскулярно-кинетических представлений. Тепловые скорости молекул при комнатной температуре составляют сотни метров в секунду. Между тем, если мы откроем пробирку даже с очень сильно пахнущим веществом, па расстоянии в несколько метров запах будет ощутим только через минуту-другую, а никак не через сотые доли секунды (если нет движения воздуха, например, сквозняка, если отсутствует конвекция).
Конечно, дело в том, что молекулы газа движутся совсем не по прямой, а по весьма запутанной траектории., так как по дороге они многократно сталкиваются с другими молекулами. От столкновения до столкновения они пролетают совсем небольшое расстояние. Длина свободного пробега. После каждого соударения направление скорости молекулы меняется. Центр молекулы движется по ломаной линии (рис. 1А). Летящая молекула сголквется с теми молекулами среды, центры которых находятся внутри «ломаного цилиндра» с основанием о = к(г1+гг) . Величина о носит 2 название эффективное поперечное сечение егполкноеения или просто сечение столкновения (см.
часть 4 гл. 11). Для одинаковых частиц диаметра 11 сечение равно о = ко . Рис. 1.4 Проследим за молекулой в течение достаточно продолжи- тельного времени Ьг. Тогда можно считать,что она пройдет пскоторос расстояние 1 = (о)1."11, где (и) — средняя тепловая скорость молекул, и столкнется с молекулами, центры которых находятся в объеме «ломаного цилиндра», равном 1о = о(о) Ы,. При концентрации молекул в сосуде п число столкновений за это время равно числу молекул в объеме 1о, т. е. Х = по(о)Ь1. В результате для длины свободного пробега получаем Л = 1/Х = 11(по).
Конечно, не каждый раз от соударения до соударения молекула пролетает расстояние Л. Такое происходит лишь в среднем. ь1тобы разобраться, какими бывают конкретные значения пробега, разберем модельный опыт. Рассмотрим поток частиц, занимающий единичное сечение., который входит в сосуд с газом (рис.
1.5). Вели концентрация частиц в сосуде равна и, в слое толщины 11я на пути пучка находится и 11я молекул. Доля молекул, испытавших соударепия па 1.3. ЯВ.ПЕНИЯ ПЕРЕНОСА 197 расстоянии йх, равна отношению «загороженной» площади к сечению пучка (которое мы приняли равным единице), т, е, ип 1Ьл Такой же процесс выбывания частиц из потока будет происходить и в каждом следующем слое. Если до какого-то сечения х дошло Х частиц, изменение их числа в очередном слое толщины 11х равно 11% = — гЛ7 оп т1х.
Если исходное число частиц в пучке равно ггтв, до се гения х дойдет число частиц, равное Х = г'гтв ехр( — гтпх), (1.12) Так как в каждом очередном слое Ьх испытывает соударения одинаковая доля оставшихся частиц, а число частиц неуклонно убывает, абсолютное количество частиц, испытавших соударение после прохождения некоторого расстояния х, падает с ростом х по экспоненте. Среднее же расстояние, пройденное частицей до соударения, равно как раз 1/(гтп), т. е. той величине, которую мы назвали (средней) длиной свободного пробега Л. Мы считали одну молекулу движущейся, а остальные -— те, с которыми она сталкивается, неподвижными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
