belonuchkin-zaikin-tsipenyuk-kvantovaya-fizika (1) (810753), страница 50
Текст из файла (страница 50)
В этом особенно наглядно можно убедиться, сели сосуд теплоизолировап. Если после установления нового равновесия мы уберем гирю с поршня, система не вернется в исходное состояние произошедшие процессы, следовательно, были необратимыми. Но можно сходный процесс провести иначе. Будем класть на поршень по песчинке, пока пе наберется количество песка, по весу равное гире. Нарушение равновесия при добавлении каждой песчинки будет ничтожным. Га11 все время будет находиться почти точно в равновесном состоянии. Если теперь так же,по песчинке, убрать груз, состояние системы будет практически неотличимо от исходного. Нам удастся в хорошем приближении осуществить прямой и обратный квазистатические процессы.
Система вернется в исходное состояние. Именно такие процессы и рассматривает термодинамика. Отметим два обстоятельства, подчеркивающие полезность анализа обратимых процессов, несмотря на то, что в природе практически все процессы необратимы. Во-первых, нередко кахой-нибудь необратимый процесс настолько мало отличаются от подобного обратимого, что результаты этих двух процессов, например, конечные состояния системы, невозможно различить пи при какой реально достижимой точности измерений. Во-вторых, не имея возможности подробно проанализировать Необратимый процесс, термодинамика во многих случаях может предсказать его результаты, определить конечное состояние системы, указгвгь, что изменится в результате такого процесса в системе и в других, взаимодействующих с ней, телах.
Если происходит квазистатичсский процесс, системе в каждый момент времени можно приписать определенное состояние. А значит, в каждый момент времени справедливо уравнение состояния. Это позволяет установить определенные связи между изменениями различных параметров системы. 1.1. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА. СОСТОЯНИЕ. ПРОЦЕСС Простейший и наиболее важный случай изменение двух параметров состояния при неизменном значении третьего. Такие процессы называются изопараметрическими:изохора при неизменном объеме, изобара при неизменном давлении, изотерма при неизменной температуре. Рассмотрим некоторые примеры. Изменим немного температуру. Если давление не меняется, изменение объема равно ЬЪ~ = (д$'11дТ) ЬТ. Если при постоянной температуре меня- етсЯ давление, то ЬЪг = (дУ(дР) т ЬР.
В общем слУчае ЬЪ' = (дЦдТ) г ЬТ+ +(дЪ'/дР) ЬР. Рассмотрим процесс, в результате которого объем не изме- нилсЯ: ЬГ = (дЬ'(дТ)„ЬТ1, + (ОЪ'(дР)гЬРР = О. Заметим, что мы Рассматриваем небольшие (в пределе бесконечно малые) изменения параметров. Иначе сами частные производные в ходе процесса могут изменить свои значения. Итак, пусть изменения температуры и давления малы. Так как по определению частной производной (дТ(дР) „= 11п1(0 Т„.
(ЬР1, ), при стремлении 1АТк и ЬРь к нулю, предыдущее равенство можно преобразовать к виду (1 й) Из этого соотношения с очевидностью следует, что все три частные производные одновременно не могут бьггь положительными. В действительности ограничения на знаки производных более жесткие. Дело в том, что производная (дР(дЪ')г всегда отрицательна. Для доказательства предположим противное. Поместим в сосуде под поршнем вещество с положительной производной (дР~В)')т Пусть снаружи постоянны температура и давление. После установления равновесия чуть- чуть сдвинем поршень: для определенности пусть объем уменьшился. Но тогда должно уменьшиться давление вещества под поршнем. Поршень дальше сдвинется внутрь сосуда, объем еще уменьшится, уменьшится и давление, и так далее, пока знак производной не изменится.
Состояния с положительной производной (дР/дЪ')т, таким образом, абсолютно неустойчивы. Это означает, что любое, сколь угодно малое изменение внешних условий или самой системы приводит к ее уходу из этого состояь|ия. Вернемся к соотношению (1.3). Если знак одной из производных фиксирован, и этот знак минус, две оставшиеся производные должны всегда иметь одинаковые знаки. Если тела при нагревании рас1пиряются (речь идет о процессе при постоянном давлении), то есть (дЪ'/дТ)„) О, то и (ОР(дТ) „) О .
- - если нагревать тело при постоянном обьеме, вырастет давление. Как известно из опыта, у воды в диапазоне от О до 4'С при нагревании под постоянным давлением уменьшается обьем, т, е, (ВЪ'~'дТ),, ( О. Не производя эксперимента, можно с уверенностью утверждать, что и производная (дР(дТ)„в этом диапазоне у воды отрицательна. Соотношение между тремя частными производными факт чисто математический.
Подобного рода связь суп1ествует между любыми тремя параметрами. если они достаточно полно характеризуют состояние тела (или 192 1Л. 1. ЭЛЕМЕНТЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИ'1ЕСКОЙ ТЕОРИИ если другие параметры неизменны). Рассмотрим для иллюстрации резиновый шнур, рагтгянутый грузом (рис. 1.2).
Чтобы увеличить длину резинки, надо увеличить силу - (д1/дг")т > О. Теперь изменим температуру подогреем резинку. Мы видим, что длина ее уменьшилась — (д1,1дТ) ~ ( О. Очевидно, что возвращение к прежней длине при новой температуре требует увели гения силы ЬТ > О, Ь~ > О, а мы вернулись к прежней длине, т. е. (д~(дТ)1 > О.
Из трех производных одна отрицательна. Количественные измерения подтверждают, что справедливо 1 соотношение (д11д() т (д1/дТ)1(дТ1д1) 1 = 1 (1 4) ~Й Таким образом, соотношение, полученное для набора Р, И, Т, оказывается справедливым и для параметров (',1, Т. В данном случае аналогия между 1, 1 с одной стороны и И, Р с другой стороны практически очевидна. В случае, например, электрического или магнитного поля, поля тяжести и т. д. аналогия усматривается не так легко. Тем не менее, общие закономерности сохрапя1отся. Это позволяет иногда упрощать вывод общих соотношений, рассматривая лишь удобный конкретный объект. Конечно, затем должна быть внимательно прослежена правомерность обобщения полученного результата.
Для нас удобным объектом будет служить простейшая термодинамическая система -- идеальный газ. 1.2. Идеальный газ Изучение механики мы начинали с изучения материальной точки. Анализ поведения этой простейшей механической модели облегчил пам переход к изучению более сложных объектов. В термодинамике аналогичную роль вьшолняот идеалы|ый газ.
Смысл построения модели выделение тех черт явления и характеристик объекта, которые в рассматриваемом круге событий играют существенную роль. Неисчерпаемая сложность реальных объектов не позволяет прямиком в полном объеме анализировать явления природы. Совсем с небольшой долей преувеличения можно сказать, что наука состоит в построении моделей и последующем их анализе с помощью математики. С точки зрения чисто математической, идеальный газ некое тело, вещество, подчиняющееся уравнению РГ = ЛТ (имеется в виду моль газа). Физически это модель маленьких упругих шариков, хаотически движущихся во всем доступном им объеме и взаимодействующих лишь при непосредственном соприкосновении.
Такая модель, конечно, приспособлена к нашим макроскопическим представлениям. Между тем описывает она поведение совокупности микроскопических объектов молекул. В частности поэтому она имеет определенные границы применимости. Но сложности возпикак1т еще до того, как начинают играть роль специфические свойства микрообъектов. Уже простейший вопрос о размере «шариков» пе имеет однозначного ответа. Если верить уравнению состояния, эти размеры следует считать бесконечно малыми. Действительно, при неограниченном возрастании давления объем газа станет сколь угодно малым.
Следовательно, собственно молекулы объема не имеют. Но, с другой стороны, шарики взаимодействуют ь2. идеАльный ГАЗ 2 ьч(Г) 2 — — п(евост) ° 3 2 3 (1.5) Давление идеального газа составляет 2/3 плотности кинетической энергии поступательного движения молекул. Вернемся к формуле (1.1).
Учтем, что м = Ж/ХА, а и = Х/$'. Кроме того, введом новую константу постоянную Больцмапа кв = П/Л"„. Формула (1.1) примет следующий вид: (1.б) Р = 7йвХ. друг с другом, сталкиваются. Без этого невозможно было бы установление равновесия в газе. Значит, они все же должны иметь какие-то конечные размеры. Ниже мы увидим, что с этой точки зрения молекулам идеального газа разумно приписать вполне конкретный диаметр д, порядка 10 ~~ м. Это означает, что модель идеального газа применима лишь для достаточно разреженных газов, когда объем сосуда значительно превышает суммарный объем молекул.
Если суммарный объем «шариков» становится сравнимым с объемом сосуда, модель, конечно, абсолютно непригодна. В действительности модель «отказывает» несколько раньше. Размер молекул должен быть мал по сравнению с длиной свободного пробега расстоянием Л, которое молекула пролетает от соударепия до соударепия.
Тогда время, в течение которого молекулы заметно взаимодействуют друг с другом, мало; в этом случае взаимодействия можно рассматривать как соударения упругих шаров. В конце концов решение вопроса о пригодности модели в каком-либо конкретном случае определятся точностью, которой мы требуем для расчетов, проводимых по соответствующим формулам. Если воздух сжимается при комнатной температуре от атмосферного давления до нескольких атмосфер, значение параметра фЛ остается в пределах 10 з — 10 ~, и можно ожидать при использовании уравнения состояния идеального газа точности расчета конечного объема не хуже десятой доли процента. Если же речь идет о сотнях атмосфер, фЛ возрастает примерно до 10 з, и можно ошибиться на несколько процентов. Устраивает пас такая точность можно пользоваться моделью идеального газа, не устраивает надо использовать другие формулы, привлекать более сложную модель.
Модель идеального газа позволяет связать макроскопические параметры с характеристиками молекул. Проиллюстрируем это расчетом давления идеального газа. Пусть в единице объема находится и молекул. Модуль составляющей скорости, перпендикулярной плоскости стенки, пусть равен и . Так как половина молекул летит от стенки, за время т на единицу поверхности стенки попадут п в,т(2 молекул. При упругом ударе каждая молекула передает стенке импульс 2тв» (гн -- масса молекулы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
