belonuchkin-zaikin-tsipenyuk-kvantovaya-fizika (1) (810753), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Ни с одной из этих величин не совпадет результат, если температура и объем меняются одновременно. Одинаковой во всех трех случаях будет только сумма подведенного тепла и совершенной внешними телами работы, т. е. изменение внутренней энергии системы. Работа против сил внешнего давления при изменении объема на величину ЬГ равна РйЛ'. Действительно, работа равна произведению силы Г на перемещение Ьк. Пусть на поршень сечения в мы поместили гирю массы т. Тогда сила Г = тй создает давление Р = Г/и. При перемещении на расстояние Ьх работа равна ЬА = РЬя = РвЬт, = РЬ7 .
Если объем изменяется от значения Г1 до Г2, то в общем случае надо записать (2.3) А = Р01'г'. На графикс в РЪ' координатах это площадь под кривой, изображающей зависимость давления от объема. Рассмотрим три варианта перехода системы из состояния 1 в состояние 2 (рис. 2.2).
Если сначала растет объем, а затем давление, работа изображается прямоугольником Г1131'2, заштрихованным на рисунке; заметим, что па участке 32 работа пс совершается, т. к. нс изменяется объем. Если давление линейно растет при изменении объема, работа равна площади трапеции Г~ 123 1'2, эта площадь 1', больше, значит во втором варианте работа больше. Еще больше она, если вна |але при нсизмеппом обьсмс выраРис. 2.2 стает давление, а уже затем растет объем, это площадь прямоугольника 11 1421"2. Внутренняя энергия — функция состояния, поэтому при любом способе перехода из состояния 1 в состояние 2 она изменяется на одну и ту же величину.
В то же время работа зависит от конкретного пути изменения состояния системы, а зна ~ит, в силу первого начала на разных путях перехода к системе должны быть подведены различные количества теплоты. Для бесконечно малого изменения параметров системы имеем бА = РсП~. (2. 4) Различие в обозначениях малых величин (с1Г, но бЯ и бА) отражает различный их математический смысл. Величина дУ вЂ” дифференциал функции 2.2. ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРЫОДГ!НАЫИКИ (2.8) (2.10) состояния, внутренней энергии системы. Это полный дифференциал, т. е. он может быть записан в виде суммы частных дифференциалса. Например, в переменных Т и И можно записать с1!7 = — с1Т + —, сИт'.
(2.5) Р т А вот о величинах бА и й~ этого сказать нельзя. В отличие от внутренней энергии работа и количество теплоты не являются функциями состояния. Опи — функции процесса. Поэтому их малые изменения нельзя считать дифференциалами. Характеристикой интенсивности теплообмена служит теп,лоемкоешль определяемая как количество теплоты, которое надо подвести к телу в данном прои,еесе, чтобы ого тс.мпература возросла на единицу (на один кельвин): С= —.
Ж1 с1Т (2.6) Используя соотношения (2.4), (2.5) и (2.6) запишем первое начало в виде Сс1Т= — „, с1Т+ —, сИ'+РсП~. (2.7) т т Рассмотрим несколько важных частных случаев. 1. Изосеврический процесс: И= сопзФ. Перепишем (2.7), только укажем нижним индексом величину, которая в данном процессе остается постоянной: Сг дт, = с1Т,, +, сптг+ Рси/,. т т Само собой разумеется, что Жтс, = О. И мы получаем С„=, .
(2.9) Изохора единственный квазистатический процесс, в котором не совершается работа, все тепло идет на изменение внутренней энергии системы. Поэтому теплоемкость Сг имеет особое значение, и именно ее обычно имеют в виду, когда говорят просто о «теплоемкости вещества». 2. Изобауичесний процесс: Р = сопвФ. С с1Т = йт + с1Р„+ РСП' . ! г Но с11' !с1Т,, = (д1с!0Т), Используя выражение (2.9) для С,, получаем: Св — С. =, + Р . (2.11) Полученное соотпоп2ение между двумя теплоемкостями справссдливо для любого вещества.
Однако стоит выделить два частных случая. У конденсированных сред, т. е. жидкостей и твердых тел, производная (дЪ'!дТ)„обычно мала (исключение жидкости вблизи критической температуры), поэтому СР и С, очень близки по величине, и зачастую их на практике не различают. 210 ГЛ. 2.
ЭЛЕХ1ЕНТЫ ТЕРМОДИНАМИКИ Другой важный случай идеальный газ. Во-первых, его внутренняя энергия (суммарная кинетическая энергия молекул), не зависит от объема, занимаемого газом, т. е. (дсг',г'дЪ ) = О. Во-вторых, из уравнения состояния нетрудно получить, что (дЪудТ)р = ий(Р. Если произвести расчет для моля вещества (именно теплоемкость моля, если не оговорено иное, договоримся обозначать прописной буквой С), мы получим еоотнои<ение Ма<1ера: Ср — Сг = 1<.
3. Политропа (для идоального газа). Любой процесс, в ходе которого теплоемкость остается постоянной, называется пол<<трой<и<вским. Дифференциальное уравнение политропы для моля идеального газа выглядит следующим образом: СОХ = С,, <1Т+ (КТ(Ъ')<1Ъ' или (С вЂ” С,,) (<1Т~Т) = Л(<1Ъ'г<Ъ<). Если еще и С . не зависит от температуры, то мы после интегрирования получаем Т~ '<' 1<г Ъ = сопв1. Используя уравпспис состояния, преобразуем это соотношение в стандартное уравнение <гол<<тра<<в<: гр<с се)~(с < < <Р1 по (2.12) Величина и = (С вЂ” С )/(С вЂ” С ) называется показап<елем политропы.
Изохора и изобара частные случаи политропы. Еще одна важная поли- тропа адиабата. Это процесс в отсутствие теплообмена, в котором бг.,) = О, т. е. формально С = О. Для показателя адиабаты принято специальное обозначение у = Ср,<С„. Уравнение адиабаты идеального газа при ис<юльзовании этого обозначения принимает вид РЪ'г = сопв1 (2.13) и называется уравнением адиабаты Пуассона. Отметим еще раз, что это уравнение квазистатического адиабатического процесса.
Если идеальный газ совершает процесс в условиях адиабатической изоляции, но этот процесс нельзя считать квазистатическим, пользоваться соотношением (2.13) нельзя. Рассмотрим несколько примеров адиабатических процессов, важных как с теоретической, так и с практической точки зрения. И в качестве первого примера рассмотрим как раз необратимый процесс распгирения газа в пустоту, когда уравнение адиабаты Пуассона использовать нельзя. Опыта Гей-Люссака — До<саули.
Разделим теплоизолированный сосуд на две части: одну заполним газом, в другой создадим вакуум (рис. 2.3). Теперь удалим перегородку и тем самым дадим возможность газу заполнить весь сосуд. Измерим температуру газа в начальном состоянии и тогда, когда установится равновесие после заполнения газом всего сосуда. Оказывается, что для идеального газа эти две температуры всегда равны.
Неважно, какую часть сосуда газ занимал вначале, какова была его начальная температура - конечная будет такой же. Рассмотрим энергетический баланс процесса. Сосуд по условию теплоизолирован тепло к газу не подводится (и не отводится от пото), т. е. Ьг„г = О. 2.2. ПЕ1 ВОЕ НАЧАЛО ТЕР11!ОД1!НАЬ!ИКИ 211 кая трубка, полузакрытый кран: на практике чаще всего применяется пористая пробка (рис. 2.4). Этот процесс называется дросселированием.
Если дросселирование протекает в условиях отсутствия теплообме- рг на, то оно называется адиабатическим дросселированием или процессом ДО[сор я — Томсона. Рис. 2.4 Для того, чтобы вытеснить газ, занимающий в сосуде объем 1'1, надо совершить работу А!' = Р[Ъг[. При выходе из пробки уже газ совершит работу А2 = Р2)г2.
При отсутствии теплообмена из первого начала имеем с[2 — с[ = Р1 ['1 Р212, т. Е. О[1 + Р[ г1 = с[2 + Р2 ['2. Ииа 1Е ГОВОря, ВЕЛИЧИПа Н = 5[+ Р)г [2.14) в процессе Джоуля — Томсона сохраняется. Точнее, в конце процесса она принимает то же значение, что имела в его начале; по ходу процесса состояние каждой очередной порции газа меняется весьма сложным образом. Так как Г[ и Р[' -- функции состояния системы, их сумма Н - также функция состояния, называется она знтальпие[1.
То есть можно сказать, что процесс адиабатического дросселирования изоэнтальпический процесс. В отсутствие теплоизоляции количество тепла, подведенное к газу в процессе дросселирования, очевидно, должно быть равно изменению его энтальпии. Для моля идеального газа получим ЬН = Ь!с[+ Р)г) = Ь(с[+ КТ) = С,,ЬТ+ ЯЬТ = С ЬТ. Таким образом, во-первых, при адиабатическом дроссслировании идеального газа его температура не меняется, и во-вторых, если дросселирование не адиабатично, то подведенное к газу тепло равно Я = ЬН = СР ЬТ.
На первый взгляд опыт Джоуля — Томсона пе отличается принципиально от подлинных опытов Гей-Люссака и Джоуля., соединявших сосуды с Работы газ не совершает: если оболочка жесткая, нет перемещения нет работы: ЬА = О. Но вместе взятые эти два утверждения означают, что не изменилась внутренняя энергия газа: Ь11 = ЬЯ+ЬА = О. Нетрудно сделать т свод, что внутренняя знерг я, идеального газа не завпсип[ от обвемп. Этот вывод хорошо согласуется с моделью упругих шариков, взаимодействующих только при непосредственном соприкосновении; но подчеркнем, что опыт Гей-Люссака — Джоуля позволяет сделать его независимо от модели, вообще независимо от того, приняли мы какую-либо модель или нет. Отметим, что фактически и Гей-Люссак в 1807 г., и повторивший в 1845 г.
его опыт Джоуль соединяли два сосуда с газом, давления в которых были вполне ощутимыми, хотя и существенно различными. При этом они обнаружили, что расширяющийся газ охлаждается, а сжимающийся - —. нагревается. Гей-Люссак на этом и остановился. Джоуль же поместил всю систему из двух сосудов в единый термостат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
