1598082719-8919f39816a16b7b9e8153327d533cc4 (805677), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Такие измерения производились последовательно для ряда сечений, отстоящих друг от другана различных расстояниях. Опыты показали, что при возрастании расстояния й от дна сосуда в арифметической прогрессии концентрация зерен п,убывает в геометрической прогрессии, т. е. яро()ное сп~ехло -аа и,= иаа е ай ,ур(ааль а причем коэффициент а обратно л пропорционален температуре Т. Эта формула совершенно аналогична барометрической формуле Рнс. 11.7. (11.14), поэтому броуновские частицы, испытывая многочисленные удары со стороны молекул жидкости, в которой они движутся, ведут себя подобно молекулам весьма тяжелого идеального газа.
Перреи предположил, что масса т такой тяжелой молекулы должна равняться кажущейся массе броуновской частицы, т. е. разности между массами частицы и вытесненной ею жидкости. Для сферической частицы радиуса а имеем: 4 т = — на'(р — р,). з где р — плотносль гуммигута, р, — плотность жидкости, Подставляя это значение т в формулу (11.15), Перрен получил следующее выра- жение для числа Авогадро: Ф„= 1п — ". 4 н оа (р — р1)ХЬ о„ (11. 15') ' Объясненне етого янлення дано а 4 12.5.
— 21З— В опытах Перрен изменял: температуру и вязкость среды, а также размер зерен эмульсии. Во всех случаях значения числа Авогадро получались близкими к 6,8 10'а 1!моль. С помощью других, более точных методов было найдено значение Жл = 6,023 ° 10аа 1/моль. $ НА. Длина свободного пробега молекул 1. До сих пор мы предполагали, что молекулы газа подобны материальным точкам, т. е.
имеют исчезающе малые размеры. Это дало нам возможность не учитывать соударения между хаотически движущимися молекулами. В действительности молекулы имеют конечные размеры и непрерывно соударяются друг с другом. Между дву" мя последовательными столкновениями молекулы движутся прямолинейно и равномерно, проходя при этом некоторые расстояния Х, называемые длинами свободных пробегов. Эти расстояния могут быть самыми разными. Поэтому вводится понятие о средней длине свободного пробега (Ц. Чтобы найти (Х), будем считать, что молекулы газа представляют собой шарики определенного диаметра д (порядка 1О ' см), зависящего от химической природы газа.
В дальнейшем мы увидим, что такая модель хорошо передает характер того взаимодействия, которое происходит при сильном сближении молекул реальных газов (см. 2 13.1). 2. Подсчитаем среднее число соударений, которые испытывает молекула прн своем движении в однородном газе за единицу времени. Для упрощения расчетов будем предполагать, что все остальные молекулы, кроме рассматриваемой, неподвижны, а эта одна движется со скоростью, равной средней арифметической скорости (и). При своем движении молекула будет сталкиваться со всеми молекулами газа, центры которых отстоят от траектории движения ее центра на расстояниях, меньших или равных диаметру молекул А За единицу времени рассматриваемая молекула столкнется со всеми частицами, центры которых лежат внутри цилиндра с высотой (и) и радиусом основания И (рис. 11.8). Если и, — число молекул в единице объема газа, то среднее число (2) соударений молекулы в единицу времени будет равно: (2) = Рп,(и) (!1.16) 3.
Предположение о том, что все молекулы, кроме одной, неподвижны, является, конечно, неверным. В действительности все молекулы движутся, и возможность соударения двух частиц зависит от их от и ос и тел ьн ой скорости. Поэтому в формулу (1!.16) вместо средней арифметической скорости ( и ) должна входить средняя относительная скорость молекул ( и ). Если скорости молекул распределены по закону Д. К. Максвелла, то, как можно показать, средняя относительная скорость двух молекул однородного газа в 1' 2 раз превышает (и): (и, )=72 (и). (11.1У) Таким образом, среднее число соударений должно быть увеличено в ) т2 раз: (Я) = к' 2я Уир(и). (11.18) 2!9 рис. ы.з, (1) =— (и) (2) Подставив выражение (Е) из (11.18), получим (Х) = 1 2 и итие (11, 19) Из формулы (11.19) следует, что при постоянной температуре, когда число молекул в единице объема пропорционально давлению газа, средняя длина свободного пробега обратно пропорциональна давлению.
Следовательно, для данного газа при Т = сопз1 и различных давлений р, и ра имеем (~), . р, = (~)а ра = сопз1. В табл. 4 приведены значения средней длины свободного пробега молекул воздуха при 0' С и различных давлениях. Таблица 4 ш- 10 а р, мм. рт. ст, 5 10е (Х), см 6,5 ° 1О е 0,5 4. Среднюю длину свободного пробега молекулы можно определить экспериментально.
Рассмотрим схему опыта, осуществленного М. Верном и Е. Борманом в 1920 г. Серебряный шарик Я (рис. 11.9) был по- Ю мещен в стеклянный баллон, в котором создавался высокий вакуум (см. 2 11.9). С помощью электрической печи шарик нагревался до высокой температуры и испускал во все стороны атомы серебра.
Часть из ннх проходила через диафрагму еЮо образуя расходящийся пучок. На расстоянии 1г от диафрагмы быРис. 11.0. ла помещена прйемная стеклянная пластинка Р, на которой происходила конденсация атомов серебра. Если бы не было соударений между атомами серебра и молекулами воздуха (при полном вакууме в баллоне), все атомы пучка достигали бы пластинки Р и оседали на ией'. В действительности часть молекул ' Мм пренебрегаем соударениями меягду атомами серебра е пучке. — 220— Средний путь, проходимый молекулой за единицу времени, численно равен (и). Поэтому средняя длина свободного пробега выразится следующим образом: воздуха оставалась в баллоне. Поэтому происходило рассеяние атомов серебра на молекулах воздуха.
Пусть из общего числа Ж атомов, дошедших до слоя воздуха толщиной дх, некоторое число и(У атомов испытывает в этом слое соударения с молекулами воздуха и выбывает из состава атомов пучка. Тогда относительная убыль атомов в пуч- ДУ ке — — связана со средней длиной (А> свободного пробега атомов !т серебра в воздухе соотношением Л1 ((1> Проинтегрировав левую и правую части этого уравнения, получим (11.20) )Ч=)у .е где Ф, — число атомов в пучке прн х = О, т.
е. на выходе из диафрагмы. Величина ЛУЛ1и равна вероятности того, что частицы пучка проходят без соударений расстояние х, Поэтому выражение (11,20) на.зывают законом распределения свободных пробегов. Таким образом, число атомов серебра, осевших на пластинке Р, У =Л! .е '*""' (11.20') При втором опыте, проведенном при том же давлении воздуха в баллоне и той же температуре нагрева шарика 5, на приемной пластинке Р, расположенной на расстоянии 1 от диафрагмы, оседало число атомов серебра (11.20") Разделив (11.20') на (11.20") и прологарифмировав полученное выра- жение, найдем Практически в опыте измеряли толщины О! и В, слоев серебра, отложившегося на пластинках Р, и Р, за один и тот же промежуток времени так как — = —.
М! Р! М! Р,' 5. При выводе формулы (11.19) мы считали, что соударяющнеся молекулы подобны твердым шарикам диаметра д. В действительности $11.5. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы 1. Прея«де чем перейти к дальнейшему изучению свойств газов, остановимся на некоторых общих вопросах, связанных с применением статистического метода в молекулярной физике. Особое место здесь занимает закон равномерного распределения энергии по степеням свободы. Числом степеней свободы тела называют наименьшее число координат (число независимых координат), которые необходимо задать для того, чтобы полностью определить положение тела в пространстве. Так, например, материальная точка, свободно движущаяся в прострвйстве, обладает тремя степенями свободы (координаты к; у; г). Абсолютно твердое тело имеет шесть степеней свободы: для определения его положения в пространстве нужно задать три координаты центра масс тела, две координаты, определяющие положение в пространстве опре.
деленной оси, проходящей через центр масс и какую-либодругуюфик. сированную точку тела, и, наконец, нужно еще задать угол поворота тела вокруг этой оси по отношению к некоторому начальному положению. Следовательно, абсолютно твердое тело обладает тремя степенями свободы поступательного движения и тремя степенями свободы вращательного движения.
Если тело не абсолютно твердое и его части могут смещаться друг относительно друга, то необходимо вводить еще дополнительные сте. пени свободы колебательного движения. 2. Молекулы одноатомного газа можно рассматривать как материальные точки на том основании, что масса такой частицы (атома) сосредоточена в ядре, размеры которого очень малы. Молекула одно- атомного газа имеет три степени свободы поступательного движения. Ее средняя кинетическая энергия (ш«) равна кинетической энергии молекулы, движущейся со скоростью, равной средней квадратичной скорости и,: н кв (ш») = 5 (11.21) каждая молекула представляет систему ядер и электронов.
Ясно, что такие молекулы соударяются не как твердые шары. Вместе с тем, представление о том, что при соударениях каждая молекула имеет некоторый «эффективный» диаметр «( и «эффективное» поперечное сечение п«1», оиазывается правильным. Эффективное поперечное сечение молекул зависит от характера сил,взаимодействия между ними При увеличении скоростей движения молекул, т, е.
при повышении температуры газа, эффективное поперечное сечение молекул уменьшается. Мы еще вернамся к этому вопросу дальше в $ 13.1. В заключение заметим, что величину (Ц можно определить экспериментально на основе изучения явлений переноса в газах (см. $11.8). Заменив о„по формуле (11.3), получим Средняя кинетическая энергия„приходящаяся на одну степень свободы молекулы, например, на движение вдоль оси Ох, равна так как движение вдоль этой осн осуществляется только за счет составляющей п,„, вектора и, скорости 1-й молекулы газа.
В 3 11.! было показано, что в силу хаотичности теплового движения молекул идеального газа Поэтому ( „) = — (и!„). (11.22) Таким образом, в среднем на каждую степень свободы поступательного движения одноатомной молекулы приходится одинаковая кинетическая энергия (в,,), равная одной трети (и!„). Учитывая, что по формуле (11.7) (и!,) = — лт, 3 2 получим (11.23) 3. Молекулы, состоящие из двух, трех и большего числа атомов, не могут быть уподоблены материальным точкам. Молекула двух- атомного газа в первом приближении представляет собой два жестко связан- 1)2 ных атома„находящихся на некотором расстоянии друг от друга (рис. 11.10).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
