1598082719-8919f39816a16b7b9e8153327d533cc4 (805677), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Азоту дают возможность расширяться вначале адиабатнческн от объема У» 1 л до объема Уз 3 л, затем нзобарически от объема У» до объема Уз 5л, потом изотермически от объема Уз до объема Уа 7л. Начальная температура газа Т» 290 К, начальное давление р» 6,58 ° 10» Па. Определить совершенную газом з каждом из этих процессов работу, изменение его внутренней энергии и иоличество подведенной к газу теплоты. Найти конечное давление газа р» и температуру Тм Удельная теплоемкосгь азота «у 740 Дж/(кг К), показатель адиабаты н 1,4. Решение Дано К), А — ? Ь(7 — ? Я вЂ” ? р,— ? Т,-? Л(7»» = — А!» = — ~ ' ~1 — ( — ') (б) Теплота в адиабатическом процессе не подводится и не отводится, т. е, 0 о. Вычисления производим з Международной системе единиц (СИ): (в) 5 бч 10' 1О " А»»= ° ~! — 3 ~'»~ Дж 584 Дж, 0,4 ЬУ» з ч — А»» ч — 584 Дж. 2.
Процесс нзобарнчесгого расширения (р» рз). Давление р» и температуру Тт можно выразить через начальные параметры р», Т» и объемы У» и Уз, У» 10» м", У» 3 ° 1О» мз, У» 5 !О " мз, У, 7 ° 10 » м», Р» 5,58 10» Па, Т» 290 К, «У 740 Дж!(кг ъ 1,4, 1. Процесс адиабатнческого расширения. Работу А, », совершаемую газом, найдем по формуле (10.21); А, » — ~1 — ~ — ») ~ (а) Эта работа совершается эа счет уменьшения внутренней энергии газа в рассматриваемом процессе: если воспользоваться формулами (10.17) и (10.
18) для вдиабатического про. цесса: т,=т, ( — ') / ! ',54 Рз = 6,58 1Оз ~ — ) Па = 1,42 ° 1Оз Па, '!3) / 1 том тз = 290 ~ — ) ' К = 187 К. ~3! Работа Аз з, совеРшаемаЯ газом в РассматРиваемом пРоцессе, Равна (см. 10.13) Аз з =Рз()гз — 1'з) 1,42 ° 10з ° (5 — 3) ° 10 з Дж 284 Дж Изменение внутренней энергии газа б(/з з в соответствии с уравнением (10.9') равно Ь(/~ „= Мсу(тз — тз), где Тз — температура газа в конце аднабатнческого расширения, Т, — температура газа в конце изабарического расширения, а М вЂ” масса газе в цилиндре.
Массу М найдем нз уравнения Менделеева — Клапейрона (9.9), записанного для начального состояния газа: М ргрг = — /(т, откуда рграь М=— кт, ргргр и ц(/з.з = (тз — тз) вт, Т В изобарическом процессе — сопз1, поэтому Тз = Те — = 187 — К =312 К, Кз 5 !'з 3 6,58 1Оз !О з 28 740 8(/,, = ' ' 3,' ' ' 125Дж = 707 д . Количество теплоты Яз з, подведенной к газУ в нзобзРическом пРоцессе, можно найти по формулам (10.13") и (!0.16): Я~ з = Мер(тз — тз) = зМси(тз — Тз) = х ° Ь(/з, Яз з=! 4 ° 707 Дж=991 Дж. 3. Процесс язотермического расширения.
Изменение вяутренней энергии ЬУа а равно нулю: Ди, =0. Работа Аа а, совеРшаемаЯ газом в атом пРОцессЕ, Равива а'а Уа Аа =руз!п — рУ 1п— -а — а р за а а 7 А 1,42 ° !Оа ° 5 ° 10 а ° !и — Дж 238 Лж. Теплота Яаьа, подведенная к газу в этом процессе, может быть найдена по первому закону термодинамики.' !7 =Ли +А А 233 Дж. Температура Та * Т, ° 312 К. Конечное давление ра по закону Бойля Мариотта равно аа аа ра =ра =ра =1 42 ° 10а — Па=1,01 ° 10а Па.
а'а 'г'а ' 7 Гпввв К( КИНЕТИЧЕСКАВ ТЕОРИЯ ГАЗОВ Е (1.1. Основное уравнение кинетической теории газов 1. В этой главе мы продолжим изучение свойств идеальных газов и закономерностей происходящих в них процессов. Однако теперь мы будем пользоваться не термодинамическим, а статистическим методом исследования. Для этого прежде всего нужно выбрать определенную модель идеального газа, которая бы удовлетворительно описывала молекулярное строение газа и особенности теплового движения молекул идеального газа. В з 9.2 мы уже говорили, что идеальный газ можно рассматривать как совокупность хаотически движущихся абсолютно упругих молекул-шариков, имеющих пренебрежимо малый собственный объем и не взаимодеиствующих друг с другом на расстоянии. Молекулы непрерывно сталкиваются друг с другом и со стенками сосуда, производя на них давление.
Таким образом, давление газа на стенки сосуда является одним из непосредственных макроскопических проявлений теплового движения молекул газа. 2. Одна из основных задач кинетической теории газов заключается в расчете давления идеального газа на основе молекулярно-кинетических представлений. Молекулы газа сталкиваются друг с другом в процессе их теплового движения значительно чаще, чем со стенками сосуда, в котором находится газ (см. $ 9.2).
Однако, как показал Д. К. Максвелл, в случае и д е а л ь н о г о газа взаимные столкновения молекул не влияют на величину давления газа на стенки сосуда. Поэтому в дальнейшем мы будем предполагать при расчете давления газа, что молекулы вообще не испытывают никаких взаимных столкновений и изменяют скорость своего движения только при соударениях со стенками сосуда. Это допущение позволяет сильно упростить решение задачи и в то же время не отражается на окончательном результате. Предположим, что газ заключен в сосуд кубической формы с ребром, равным 1 (рис. 11.1).
Направим оси прямоугольной системы координат Х, У, Е вдоль ребер куба. Обозначим через и, вектор скорости произвольной молекулы газа, имеющей массу т,. Вектор и, можно разложить на три составляющие вдоль координатных осей (рис. 11,2): % = по+ п~г+ пы При абсолютно упругом ударе молекулы о грань куба АВСО составляющие им и ны ее скорости не изменяются, а составляющая п,„ меняет свое направление на противоположное и становится равной — вы.
Полное изменение импульса молекулы при ударе равно Ь(т, и,) = — 2гп, н,„ — 207— По второму закону Ньютона Л(т,п!) равно импульсу силы — $1, действующей на молекулу со стороны стенки за время удара 6 1!: — 1, ° 61! = — 2т!н!,. Таким образом, сила, действующая со стороны молекулы на стен. ку, 1«=2 ' !', или ~!=2 '~ '"~, ы, ' " ' и! Р.!с 11.1. Ряс. 11.2 Вектор и,„, а следовательно, и сила 1„перпендикулярны к стенке АВСР. Продолжительность удара 6 Г, неизвестна. Поэтому заменим кратковременно действующую ударную силу $, «эквивалентной» ей средней силой (1!) таким образом, чтобы импульс силы (г!) за время Ш, между двумя последовательными ударами молекулы т, о стенку АВСР равнялся импульсу ударной силы $!! (~, ) ЛГ, =- ~, 61, = 2т!~и!„!.
Составляющая и!с скорости молекулы изменяет свое направление только при столкновениях со стенками АВСЕг и РЕЮ. Поэтому молекула, отразившаяся от стенки АВСР, может вновь к ней вернуться только после предварительного отражения от стенки ОЕРО. Следовательно, время М!, равно 61! =— 21 !и! ! И! Средняя сила(Е„), действующая на грань куба АВСР состороны всех и молекул газа„заключенных в сосуде, равна сумме сил (Г!); Давление Р„, производимое газом на стенку АВС0, равно отношению силы (Р„) к площади поверхности стенки: л Р = — = — '~„т.и (Р.!) 1 Чь 1 2 к 1! Р Р~( ! и' ! (1 1.1) Путем аналогичных рассуждений можно получить следующие выражения для давления газа на стенки СВОР (Р„) и ВСРЕ (Р,): Р = — т,и У р и (11.1') а 1 ЧЬ! з — ~~ т, г ! Р— Рх= Рк=Р* Из уравнения (11.1) и (11.Г) получаем, что ~ т,й!„= ~~ т,йм= ~~ т,и~„.
С другой стороны, г 2 2 зт т,. (и,„+ и!„+ и„) = т, и, Х т!и + ~ т! и~„+ ~ т, и~ = ~ т, и,' (=! ~=! 1=! ! Поэтому ч !! Х 2 1 %~ 2 т,и = — т,и, з „й~~~ ! и давление газа на стенки сосуда равно И 1 % 1 з 2 а'„ Р= — ~~~ т,и, = — — ", зР,Д» ' ' з Т~ т!и!' где )' = 1' — объем сосуда, а Ф„= х! — '' — суммарная кинетичес- ( ! Движение молекул газа в сосуде совершенно хаотично, т. е. пи одно из направлений их движения не обладает каким-либо преимуществом перед остальными. Следовательно, давление газа Р на все стенки сосуда должно быть одинаковым: н становится целесообразным ввести понятие С средней квадратичной скорости.
Средней квадратичной скоростью ок, поступательного движения молекул газа называют корень квадратный из среднего арифметического квадратов скоростей поступательного движения всех его молекул: и 1 к окв и п 4 (1 1.3) Если ввести эту скорость в выражение для В'к, то получим 1 (р„= — пто кв Уравнение (11.2) можно записать так: ! г 1 рр = — пто = — Мо 3 кк 3 (11.4) где М = пт — масса газа. Из (11.2) и (11 4) следует, что р = — 67 2 3 (11.2') 1 з 1 з и авто ко 3 "' 3 (11 4') где (3в„, = †, пь = — число молекул газа в единице %к к п,т — плотность газа. 4. Для одного моля газа М = и н уравнение (11.4) следующий вид: объема ир= приобретает рУ = — рокк. 1 а — 210— кая энергия поступательного движения всех молекул газа, находя1цегося в сосуде.
Таким образом, имеем: рр= — Чгк. 3 (1 1.2) Выражение (11.2) называют основным уравнением кинетическом теории газов. Из него следует, что произведение численных значений давления идеального газа и его объема равно двум третям величины кинетической энергии поступательного движения всех его молекул. 3. Для однородного газа массы всех молекул одинаковы (т, т), а скорости и, различны. Поэтому к Игк кк (),~~ и ! 1 С другой стороны, по уравнению Менделеева — Клапейрона рУ, = ЯТ.
Таким образом, о„,= у 3 =Р"~В~, / зкт (1 1 5) Поскольку р = т)ул, где т — масса одной молекулы, а Ул — число Авогадро, то из уравнения (11.5) следует, что о = — = у —, (11.5) <)у> Г зют зьт — — У к где й — постоянная Больцмана. 5. Найдем выражение для средней кинетической энергии поступательного движения молекулы идеального газа: у, Щ02, 3 (го„) = — ' = — "' = йТ (11.7) п 2 2 Ряс. 11.3. Следовательно, средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы идеального газа зависит только от его абсолютной температуры, (го„) прямо пропорциональна Т.
На рис. 1!.3 графически изображена зависимость (ш„) от Т. Прн Т = О (ш„) = О, т. е. прекращается поступательное движение молекул газа, а следовательно, равно нулю и его давление. Таким образом, абсолютная л1емпература яеляется мерой средней кинетической энергии посту. нательного деиэсения молекул идеального газа. Однако в области температур, близких к абсолютному нулю, этот результат оказывается неверным. Этот вопрос мы подробнее обсудим в 2 11.5. $11.2.
Закон распределения молекул ло скоростям 1. При выводе основного уравнения кинетической теории газов мы считали, что молекулы имеют различные скорости. Опыт подтверждает это предположение. Средняя квадратичная скорость, использованная нами выше, является одной из характеристик движения в с е й с о в о к у и н ости молекул. Она, разумеется, не имеет смысла применительно к одной какой-либо молекуле или к небольшому числу молекул. 2. Д.
К. Максвелл теоретически решил задачу о распределении молекул идеального газа по скоростям поступательного движения. Он установил закон, позволяюшии определить, какое число молекул 21!†Ин из общего количества ло молекул идеального газа в единице объема обладает при данной температуре скоростями, лежащими в интервале от и до и + йс. При этом Д. К.
Максвелл предполагал, что газ химически однороден и находится в состоянии термодинамического равновесия. Закон распределения молекул по скоростям имеет следующий вид: (и =по~ — ) е О~ 2оОТ,) (1 1.8) где т — масса молекулы, л — постоянная Больцмана, Т вЂ” абсолютная температура. Из формулы (11.8) можно определить так называемую наиболее вероятную скорость молекул и„соответствующую максимуму выражения г(п(би: Решение этого уравнения имеет вид (1 1.9) 4оа и~ Г о 1о оо би = — 'е '[ — ) —. г' о ов лв На рис. 11.4 приведена кривая закона распределения молекул по (11 8') пе йп ло хи Ряс, ! К4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
