saveliev2 (797914), страница 60

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 60)

') Под мощностью источника (стока) понимается объем жидкости. выделяемый (поглощаемый) в единицу времени. Сток можно рассматривать как источник с отрицательной мощностью. Частное от деления потока Ф „ха на величину объ. ема, из которого поток вытекает, т. е. (107. 1) назовем средней удельной мощностью источников, заключенных в объеме У. Чем меньше объем 1', включающий в себя точку Р, тем ближе это среднее к истинной удельной мощности в этой точке.

В пределе при стремлении У к нулю, т. е. при стягивании объема 1' к точке Р, выражение (107.1) даст истинную удельную мощность источников в точке Р, которую называют да вергенцией (или расхождением) вектора ч (обозначается йч ч). Итак, по определению Йчч =!пп — "" . Аналогично определяется дивергенция любого вектора А: А йчА= 1пп — '" =!нп — ~ А„г(5.

(107.2) и-и 1' ~~ Интеграл берется по произвольной замкнутой поверхности Я, ограничивающей объем У. Поскольку совершается переход 1'- Р, при котором 5 стремится к нулю, от формы поверхности выражение (107.2) зависеть не может. Легко сообразить, что дивергенция определяется поведением векторной функции А(Р) в окрестности данной точки, т. е. тем, каков характер изменения вектора А (нли его компонент А„, А„, А,) при переходе от одной точки пространства к другой. Из определения (107.2) следует, что дивергенция есть скалярная функция координат, определяющих положения точек в пространстве (кратко — функция точки). Определение (107.2) является самым общим, не зависящим от выбора координатной системы. Найдем выражение для дивергенции в декартовой системе координат. Рассмотрим в окрестности точки Р(х, у,л) малый объем в виде параллелепипеда с ребрами, параллельными координатным осям (рис.

231) [напомним, что форма поверхности, по которой берется интеграл в выражении (107.2), может быть произволь- ной). Ввиду малости объема (согласно (107.2) мы будем его стремить к нулю) значения А„, А„, А, в пределах каждой из шести граней параллелепипеда можно считать неизменными. Поток через всю замкнутую поверхность образуется из потоков, текущих через каждую из шести граней в отдельности. Найдем поток через пару граней, перпендикулярных к оси х (на рис. 231 эти грани заштрихованы косой штриховкой и помечены цифрами 1 и 2). Внеш- Лу р няя нормаль пт к гранн2 ис совпадает с направлением оси х.

Следовательно, А„т = А„з и поток Лг через грань 2 равен г А тАуАг (индекс 2 ука- лг зывает на то, что значеп г нне А, берется в том ме- Ю сте, где расположена грань 2). Нормаль и, к грани 1 имеет направление, противоположное Рис. 230 оси х. Поэтому проекции вектора на ось х и на п~ имеют противоположные знаки.

Таким образом, А 1 = — Аеь а поток через грань 1 равен — А„|АуАг (индекс 1 указывает на то, что значение А„ берется в том месте, где расположена грань 1). Суммарный поток через грани 1 и 2 определяется выражением (А„— А„,)луА . (107.3) Разность А,з — Аы представляет собой приращение А„при смещении вдоль осн х на Ах. Ввиду малости Лх дА„ зто приращение можно представить в виде — „" Ах. Тогда (107.3) переходит в — Ах Ау Аг = — ' М'.

для дА, дк дк Путем аналогичных рассуждений можно получить для потоков через пары граней, перпендикулярных к осям у и г, выражения дАа дАг ду дг Следовательно, полный поток через всю замкнутую поверхность определяется выражением дА„ дАк дАк ~ дк д дк ) Разделив это выражение на ЛУ, найдем дивергенцию вектора А в точке Р(х, у, г): дА„ дАк дАк б)чА = — "+ — "+ — ' дк ду дк (107.4) поток= б(чАЛУ. Если просуммировать это выражение, по всем объемчикам, справа поРис.

232. лучится ~ 01чАНУ, взятый по всему объему, ограниченному поверхностью 5, а слева, как легко убедиться, получится поток вектора А через поверхность 5. В самом деле, при суммировании каждый из потоков, текущих через грани, разделя|ощие два соседних объемчика, войдет дважды с противоположными знаками (значения А„для соседних объемчиков одинаковы по абсолютной величине, но отличаются знаком). Поэтому потоки' через внутренние перегородки взаимно уничтожаются, некомпенсированными останутся только потоки через внешние грани объемчиков, которые в сумме дадут поток через 5.

(предельный переход У вЂ” Р мы предвосхитили, полагая А„, А„и А, в пределах каждой из граней постоянными величинами) . Зная днвергенцию вектора А в каждой точке пространства, можно вычислить поток этого вектора через любую поверхность конечных размеров. Для этого разобьем объем, ограниченный поверхностью 5, на большое (в пределе бесконечно большое) число малых (в пределе бесконечно малых) объемчиков (рис. 232). Согласно Формуле (107.2) поток вектора А, вытекающий из любого из этих объем- чиков, может быть записан в виде Таким образом, мы пришли к соотношению ~лес(5 ~ бгтАс()г, (Ю7.5) (поскольку канал по предположению имеет постоянное сечение, модуль скорости р = сопзг). В момент затвердевания стенок у каждой из частиц жидкости в канале будет погашена составляющая скорости, перпендикулярная к стенке, и останется лишь составляющая скорости ог, касательная к контуру.

Сагой составляющей связан импульс с(рг, модуль которого для частицы жидкости, заключенной в отрезке канала длины с(1', имеет величину роокг( (р — плотность жидкости, о — площадь поперечного сечения канала). Поскольку жидкость идеальна, действие стенок может изменить лишь направление с(рь но не его величину. Взаимодействие ') Идея такого объяснения смысла циркуляции ваимствована у Фейнмана (см.

Фейнмановские лекция по фивнке, вып. 5, стр. 17, сМир», 1966). 25 и. В. Савельев, т, П которое носит название теоремы Остроградского-Гаусса. Обратимся снова к течению идеальной несжимаемой жидкости. Представим себе замкнутую линию — контур Г. Предположим, что каким-то способом мы заморозим мгновенно жидкость во всем объеме, за исключением очень тонкого замкнутого канала постоянного сечения, включающего в себя контур Г (рис. 233). В зависимости от характера течения (от характера в поля вектора скорости) жидкость в образовавшемся канале— окажется либо неподвижной, ли- 'мь бо будет двигаться вдоль контура (циркулировать) в одном из Рнс.

233. двух возможных направлений. В качестве меры этого движения возьмем величину, равную произведению скорости жидкости в канале, умноженной на длину контура й Эту величину назвали циркуляцией вектора т по контуру Г '). Итак, циркуляция т по Г эг между частицами жидкости вызовет такое перераспределение импульса между ними, которое выровняет скорости всех частиц.

При этом алгебраическая сумма импульсов не может измениться: импульс, приобретае. мый одной из взаимодействующих частиц, равен импульсу, теряемому второй частицей. Это означает, что рпв1 = ~ рпп, г(1, г где в — скорость циркуляции, о~ — касательная составляющая скорости жидкости в объеме <н(1 в момент времени, предшествовавший затвердеванню стенок канала, Сократив на ро, получим, что циркуляция ч по Г = п1 = ~ о, Ж.

г Аналогично определяется циркуляция любого вектора А по произвольному контуру Г: циркуляция А по Г=А,1 ~А,й, (107.6) где А~ в среднее по контуру значение касательной составляющей вектора А. Можно подумать, что для отличия циркуляции от нуля векторные линии должны быть замкнутыми или хотя бы как-то изогнутыми в направлении обхода по контуру. Легко убедиться в ошибочности такого предположения. Рассмотрим ламинарное течение жидкости в реке. Скорость жидкости непосредственно у дна равна нулю н возрастает при приближении к поверхности воды (рис. 234).

Линии тока (линии вектора ч) прямолинейны. Несмотря на зто, циркуляция вектора ч по изображенному пунктиром контуру, очевидно, отлична от н ля. И иркуляция характеризует свойства поля, усредненные по области с размерами порядка поперечника контура Г. Чтобы получить характеристику свойств поля в точке Р, нужно уменьшать размеры контура Г, стягивая его в точку Р.

Однако сама циркуляция при етом обратится в нуль. Действительно, среднее значение А~- конечная величина, а длина контура 1 в пределе равна нулю. Следовательно, и произведение Аг1 обращается в нуль. Поэтому целесообразно в качестве характеристики поля вектора А в точке Р взять предел отношения циркуляции вектора А по плоскому контуру Г, стягивающемуся к точке Р, к величине площади контура 5 '): циркуляция А по Г (107.7) 3-аР 8 Однако при нахождении предела (107.7) обнаруживается следующее осложнение: величина этого предела рис. 234. зависит не только от свойств поля в точке Р, но также и от ориентации контура в пространстве, которая может быть задана направлением положительной нормали и к плоскости контура (положительной считается нормаль, связанная с направлением обхода контура при интегрировании правилом правого винта).

Определяя предел (107.7) в одной и той же точке Р для разных направлений п, мы будем получать различные значения, причем для противоположных направлений эти значения отличаются только знаном (изменение направления и на противоположное эквивалентно изменению направления обхода по контуру во время интегрирования,что вызовет лишь изменение знака у циркуляции). Для какого-то на. правления нормали величина (107.7) в данной точке окажется максимальной.

') В случае диеергенции берется отношение интеграла по по. верхностн к объему, охватываемому этой поверхностью. В данном случае берется отношение интеграла по контуру к поверхности, охватываемой этим контуром. Таким образом, величина (107.7) ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали к плоскости контура, по которому берется циркуляция. Максимальное значение величины (107.7) определяет модуль этого вектора, а направление положительной нормали и, при котором достигается максимум, дает направление вектора.

Этот вектор называется ротором (или вихрем) вектора А. Обозначается он символом го(А. Используя это обозначение, можно записать выражение (107.7) в виде циркуляция А по Г и~р Под (го1 А)„ подразумевается проекция вектора го1 А на положительную нормаль к площадке 5, охватываемой контуром Г. Выражение (107.8) может служить определением век. тора го(А. Из него следует, что ротор есть векторная функция точки Р. Определение (107.8) является самым общим, не зависящим от выбора системы координат. Для того чтобы найти выражения для прог екций вектора го1А на оси декартовой системы координат, нужно определить Р(хрг1 значения величины (107.8) для таких ориентаций площадки Я, при которых норЗф маль и к площадке совпадает с одной из осей х, у, г. Если, например, направить х у и по оси х, то (107.8) пре- вратится в (го1 А)„.

Характеристики

Список файлов книги