saveliev2 (797914), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Прн е(. > — ток отстает от напряжения, при ей<— 1 ток опережает напряжение. Если еЬ = ~0, изменения тока н напряжения происходят синфазно (ф =О). При удовлетворяющей этому условию частоте 1 м резв (95.7) 11ла Рюнтю полное сопротивление цепи 7 имеет наименьшее, возможное при данных )с, 7. н С, значение, равное )г. Соответственно сила тока достигает наибольшего (возможного при данном (7 ) значения. При У этом падение напряжения на активном сопротивлении равно внешнему напряже- Ряс- за. нню, приложенному к цепи. Падения напряжения на емкости Ус и индуктивности Уь одинаковы по амплитуде и противоположны по фазе.
Это явление называется резонансом н а при же ни й, а частота (95.7) — р е з о н а н с н о й ч а с т о т о й. Векторная диаграмма для случая резонанса напряжений показана на рнс. 205, Подставив в выражения для амплитуды напряжения ! на нндуктивности (У~ = о>И ) н емкости (Ус = ~ 4,~) значение резонансной частоты (95.7), получим ГС, 1 /1. (всю з= с'с = у' ~ ут=д у' г.
К» /в Если ~~ — ))с, напряжение на индуктивности и на у' с емкости превышает напряжение, приложенное к цепи. Явление резонанса напряжений характерно тем, что полное сопротивление цепи. оказывается чисто активным (ток и напряжение изменяются синфазно) и имеет Формулы (95.1) н (95.2) совпадают с полученными 1 нами выражениями, если положить в ннх — =О, т. е. С= оо. Таким образом, отагЯю Р сутствие емкости в цепи оз! начает С = аг, а не С вЂ” О, как казалось бы на первый ! 1 нзгляд. Это можно пояснить следующим образом.
Постеги пенный переход от цепи, содержащей емкость, к пепи без емкости можно осущеРиа 206. ствить, сближая обкладки конденсатора до нх полного соприкосновения. При этом зазор между обкладками д стремится к нулю, а величина емкости стремится к бесконечности (см. формулу (25.2)). ггао ич Ълюв $96. Мощность, выделяемая в цепи переменного тока Мгновенное значение мощности, выделяемой в цепи, равно произведению мгновенных значений напряжения и силы тока [ср.
с формулой (37.2)): Р(1) 0 (1)1(1) = У соз ег1 1,„сов (Ы вЂ” чг). Воспользовавшись формулой 1 1 соз а соз 5 = — соз (а — Щ+ — соз (а+ )1), выражению для мгновенной мощности можно придать вид Р (1) = — У,г1,„соыр+ - (1 1,„соз (2в1 — ~р). (96Л) 1 1 наименьшую возможную при данных параметрах цепи величину Если емкость в цепи отсутствует, приложенное на- пряжение равно сумме падейий напряжения на сопро- тивлении и индуктивности: (1 = Уи + Уь. Соответст- вующая векторная диаграмма изображена на рис, 206. В этом случае, как видно из рисунка, аг.
(59- —, )/ 1гг 1 (ат)г ' Практический интерес представляет среднее по времени значение Р(1), которое мы обозначим просто Р. Так как среднее значение соз(2в1 — ~р) равно нулю, Р = —" соз <р. (96.2) 2 1 1 ! Таким образом, мгновени ая мощность (96.Ц колеблется около среднего значения (96.2) с ча- Р стотой 2в, в два раза пре- д вышающей частоту тока ',(рис, 20?). Если ток в цепи не Рис. Ют.
совершает механической работы, средняя мощность (96.2) выделяется и активном сопротивлении в виде тепла. В соответствии с формулой (95.Ц соз <р — — ~ . (96.3) Г~, ~ ~ ~з г Подставив это значение соз ~р в формулу (96.2) и уч тя, что — 1„, (см. формулу (95.2)), получим дую Р= — ° 2 (96.4) Такую же мощность развивает постоянный ток, сила которого равна 1==. г2 (96.5) (96.6) Величина (96.5) называется действующим (или эффективным) значением силы тока.
Аналогично величина называется действующим значением напряженияия. С использованием действующих значений формуле (96.2) для средней мощности можно придать вид Р = (Л сов ~р. (96.7) В выражение для мощности входит множитель сов ~р, который называют коэффициентом мощности.
1 Если реактивное сопротивление Х = е1. — — равно вС нулю (это будет, в частности, при Хь = Хс = 0), то согласно (96.3) сов <р 1 и Р = 131. При чисто реактивном сопротивлении цепи (Я 0) сов р = О, поэтому и средняя мощность, выделяемая в цепи, равна нулю. В этом случае одну четверть периода тока энергия поступает из внешней сети в цепь, а следующую четверть периода возвращается обратно (мгновенная мощность изменяется с частотой 2в). Таким образом, при сов <р = 0 нн при какой силе тока невозможно получить в цепи среднюю мощность, отличную от нуля.
В технике стремятся сделать сов ~р как можно больше. Прн малом сов <р для вьщеления в цепи необходимой мощности нужно пропускать ток большей силы. При этом возрастают потери в подводящих проводах и приходится увеличивать их сечение. $97. Символический метод Расчеты цепей переменного тока значительно упрощаются, если применять так называемый символи- У ческий и е год. Этот метод основывается на том, что, как известно из курса математики, каждому вектору А, расположенному в коордид натной плоскости (рис. 208), мо- 1 а ~ жно сопоставить комплексное число А = а + Ь1 = Ае~, (97.
1) Ряс. Яа где а и Ь вЂ” проекции вектора на координатные оси (начало вектора предполагается совмещенным с началом координат), А — модуль комплексного числа (совпадающий с модулем вектора), а — аргумент комплекс- А = )У аз+ Ьх, ь 1яа = —. и При сложении комплексных чисел складываются отдельно их вещественные и мнимые части: А = ~~.",Аа- ~аз+)~Ьз. Легко видеть, что А соответствует сумме векторов„ изображаемых комплексными числами Аа (рис. 209). Рнс. 210. Рис.
209. Из правила перемножения двух комплексных чисел Аег ° Нега А Вег (о+в1 вытекает, что умножение комплексной величины А = Аезо, изображающей вектор А (рис. 210), иа ') В отличие от принятого в математике обозначения г, в электротехнике Зг — 1 обозначают буквой 1. Исполыоваиие,этого обоЗйачеиия, а также обрзначеиие углов и фаз буквой м не сможет вызвать иедоразумеибй, так как в главах ХУ и Хч) мы не бу дем прибегать к воиятиям плотности тока и потенпнава.
В электротехнике для обозначения комплексных величин вместо «крыглечки» (например, 17) применяется точка (()). Мы ие можем Восполыоваться таким обозначением, поскольку точка над символом величины в физике всегда означает производную по времеви. ного числа (совпадающий с углом осью х), ) — мнимая единица '). Между величинами а, Ь,А и сс соотношения: между вектором и имеются следующие (97.2) Если через индуктивность течет ток 1=1 енм м ° (97.3) бс = 1. — (/,„еиа) =.
/вИ,„еим= 1в1л'. (97.4) Ж Таким образом, для того чтобы получить вектор на-. пряжения У,„, нужно вектор силы тока умножить на в1. и повернуть против часовой стрелки на угол и/2. Это согласуется с рис. 200, б. Согласно (94.1) 1/с = д/С. Заряд на конденсаторе можно записать в виде Подставив это выражение в формулу для 1/с и пе» рейдя к символической записи, получим Если в цепи течет ток (97.3), 1 Г 1 . 1 1/с = — ) 1 е~"'гИ = —.1 ез™ = — / — 1 (97.5) 7~оС (постоянная составляющая напряжения предполагается отсутствующей; поэтому постоянная интегрирования приз комплексное число е~м равнозначно повороту вектора А на угол д против часовой стрелки.
Если ~р= †, то е1ч =сов--+/з(п — ='1. Таким образом, умножение на / равнозначно повороту вектора на угол и/2 против ча» совой стрелки. Аналогично умножение на 1// = †/ равнозначно повороту вектора на угол и/2 по часовой стрелке. Чтобы продемонстрировать преимущества символического метода, произведем с его помощью вычисление падений напряжения на индуктивности и емкости. Формула (93.2) запишется в символическом виде следующим образом: пята равной нулю). Полученный результат согласуется с рнс. 202, б.
Падение напряжения на активном сопротивлении, очевидно, равно Ц, Дй (97.6) В случае цепи, изображенной на рнс. 204,а, сумма величин (97.4), (97.5) и (97.5) даст внешнее напряжение б: 1 Ю+Ьи — 1 — „~ г=(7. Вынеся (за скобки, получим ([~+1(.7.-.с )1 = ~ Величина г=)с+)~м7 — — „',)-Л+)Х (97.7) (97.8) называется комплексным сопротивлением. В соответствни с формулами (97.2) его модуль равен полному сопротивлению (95.4), а аргумент определяется формулой (95Л), т. е.
равен ~р — сдвигу фазмежду напряженнем и током. Следовательно, 2 = уеаг. (97.9) С введением комплексного сопротивления формула (97.7) принимает вид ге=О, (97.10) совпадающий с выражением закона Ома для постоянного тока. Из соотношения С= Ы=йегт вытекает, что вектор напряжения У можно получить, умножив вектор силы тока ~ на У и повернув против часовой стрелки на угол ~р. Это согласуется с рнс.
204, б. Представим себе последовательную цепь, отдельные участкн которой характеризуются комплексными сопро- тивлениями У» (рис. 211). Согласно [97.10) падениена. пряжения на каждом из участков равно У» = 12». Сумма всех 0» должна быть равна напряжению О, приложенному к цепи: У= ХЮ~ =»Х 2»=Ж 'Таким образом, комплексное сопротивление У последовательной цепи равно сумме комплексных сопротивлений отдельных ее участков: 2= Х2».
(97.1 Ц При параллельном соединении элементов цепи, каждый нз которых характеризуется комплексным сопротивлением 2» (рис. 212), полный ток равен О ! г где (7 — приложенное напряжение, Š— комплексное сопротивление цепи. Вместе с тем ток ! должен быть У 4 4 4 ! ! ! ! ! 6 ' 4-2! — 1» ~,' Ряс. 211, Рис. 212 равен сумме токов 1», текущих по отдельным элементам цепи и определяемых выражением 1» б!2», юс= ~~)»=. г,' Приравняв оба выражения для 1, получим формулу для вычисления комплексного сопротивления параллельной цепи 1 ~Ч~1 1 г Я»' Правила Хирхгофа в комплексной форме записываются следующим образом: ~~'„!ь = О, (97.13) Х2ь!ь = Х8ь, ) где 8ть = 8' ье1( ")есть А-я э. д.
с., действующая в данном контуре. Все полученные в настоящем параграфе формулы остаются справедливыми, если вместо амплитудных взять действующие значения токов, напряжений и э. д. с. 5 98. Резонанс токов Рассмотрим цепь, образованную включенными параллельно иидуктивностью и емкостью (рис. 218). Предположям, что активное сопротивление обеих ветвей настолько мало, что им 1 можно пренебречь. В этом случае согласно формулам (97.4) и (97.5) 1, = 1еС11; й . 0 й = —, = — 1 — (98.1) г — 7 —,1 ((7с = (7с г!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
