saveliev2 (797914), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Рис. 213. Из выражений (98.1) следует, что токи !, и (з находятся в противофазе (ток в индуктивности отстает от У на и/2, ток в емкости опережает У на п12). Ток в подводящих проводах !' равен сумме токов !! и юз! 1 1 = 1, + !е = 1 ~вС вЂ” — ) (У. е1. 1 При условии, что мС вЂ” — „=О 1 (98.2) ток 1 в подводящих проводах будет отсутствовать, хотя токи !! н 1з в отдельных цепях могут быть очень велики. Это явление называется р е з о н а и с о и т о к о в. Для резонансной частоты из условия (98.2) получается такое же значение, как и при резонансе напряжений (см.
формулу (95.7)]. 23 и. в. савельев, т. и При резонансе токи г1 и (в одинаковы по амплитуде и, как уже отмечалось, противоположны по фазе. Следовательно, в контуре, образованном индуктивностью и емкостью, циркулирует ток, непрерывно перезаряжая обкладки конденсатора. Соотношение между таками 7, и (в можно изобразить наглядно с помощью векторной диаграммы. На диаграмме напряжений (см. рис. 204,6) векторы (/ откладывались относительно оси токов. При построении диаграммы токов векторы с нужно откладывать отно. сительно оси напряжений. Выберем в качестве этой оси и„ ( — ',) ю С Рис.
2!Б. Рнс. 214. ась х (рис. 214). Ток в индуктивности отстает от напряжения на и/2 и потому изображается вектором, повернутым относительно оси напряжений по часовой стрелке на угол и/2. Ток в емкости опережает напряжение на и/2, соответственно он повернут относительно оси напряжений против часовой стрелки на угол и/2. При резонансе длины векторов обоих токов одинаковы, результирующий ток равен нулю. Практически индуктивность (например, катушка) всегда обладает некоторым активным сопротивлением сс') (на рис. 215 это сопротивление и сама индуктивность изображены раздельно). Следовательно, отставание тока от напряжения будет меньше и/2 — оно определяется формулой ыь 1е' ~р = —.
Я ') Это относится также и к конденсатору; однако активное сопротивление в цепи конденсатора может быть сделано значительно меныае, чем в цепи индуктнвности. В этом случае векторы у! и !3 не коллинеарны и сумма их не может быть равной нулю (рис. 216,а), Комплексные сопротивления обеих ветвей равны (см. рис. 215) 1 Я! = —. Хе= Ус+ )еУ'.. уеС ' Сопротивление всей цепи будем вычислять по формуле (97.12) 1 С 1 (1 е У.С) + уеСУс 2 я+ уе!.
И+ уеу. откуда (! - е'у.с) + уесу( Умножив числитель и знаменатель на величину, комплексно сопряженную знаменателю, получим а У(+ У (еу, (! — еЧ.С) — вСЯ~) (1 — еЧ.С)с + (еС)!)с Модуль Е даст полное сопротивление параллельной цепи, а отношение реактивной н активной! составляющих Я вЂ” тангенс угла ур, определяющего сдвиг фаз меж. ду напряжением и током. йъ «алаеуааауу Ряс.
213. Можно показать, что максимум полного сопротивления Е (т. е. резонанс токов) достигается при условии, что реактивная составляющая 2 обращается в нуль и, 23* 355 следовательно, полное сопротивление становится чисто активным (рис, 216, б). Резонансную частоту можно найти, приравняв нулю мнимую часть выражения (98.3) мЕ (1 — аЧ.С) — вСЯз О. Отсюда / ~ и (98.4) При й = О эта формула переходит в (95.?). Итак, резонанс токов характерен тем, что полное сопротивление цепи оказывается чисто* активным и имеет наибольшую, возможную при данных параметрах цепи величину (в случае резонанса напряжений Е умеет наименьшую величину). При этом токи й и 1з значительно превышают текущий через источник ток й Развиваемая источником мощность выделяется в активном сопротивлении цепи Я.
Для тока частоты (98.4) контур с малым И имеет очень большое сопротивление, тем большее, чем меньше Я (при Й вЂ” О сопротивление контура Е стремится к бесконечности). ГЛАВА ХУ! ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 9 99. Свободные колебания в контуре без активного сопротивления Электрические колебания могут возникать в цепи, содержащей индуктивность и емкость. Такая цепь называется колебательным контуром. На рис.
217,а изображены. последовательные -стадии колебательного процесса в идеализированном контуре с активным сопротивлением, равным нулю. ог. г Х Д:Щ~ — — аг с с га — — а' с с гг сгаг т н---аг сс г .1 с г;г г„гс гагг сггг РИС. 217. Для того чтобы вызвать колебания, можно присоединить отключенный от индуктивности конденсатор к источнику тока. вследствие чего на обкладках возникнут разноименные заряды величины д (стадия 1). Между обкладками возникнет электрическое поле, энергия которого равна в — д' (см. формулу (29.1)1. 2 Если затем отключить источник тока и замкнуть конденсатор на индуктивность, емкость начнет разряжаться и в контуре потечет ток.
В результате энергия электрического поля будет уменьшаться, но зато возникнет все возрастающая энергия магнитного поля„ обусловленного током, текущим через индуктивность. Эта энергия равна — АР [см. формулу (61.4)). Так как активное сопротивление цепи равно нулю, полная энергия, слагающаяся из энергии электрического поля — — д и энергии магнитного поля †, !.>, не ! ! ! з с Т расходуется на нагревание и будет оставаться постоянной. Поэтому в момент, когда напра>кение на конденсаторе, а следовательно, н энергия электрического поля обращаются в нуль, энергия магнитного поля, а значит, н ток достигают наибольшего значения (стадия 2; начиная с этого момента ток течет за счет э.
д. с. само- индукции). В дальнейшем ток уменьшается и, когда заряды на обкладках достигнут первоначальной величины д,, сила тока становится равной нулю (стадия 3). Затем те же процессы протекают в обратном порядке (стадии 4 и 5), после чего система приходит в первоначальное состояние (стадия 5) и весь цикл повторяешься снова и снова. В ходе описанного процесса периодически изменяются (т. е. колеблются) заряд д на обкладках, напряжение 0 на конденсаторе и сила тока 1, текущего через индуктивность. Колебания сопровождаются взаимными превращениями энергий электрического и магнитного полей. На рис.
21?, б колебаниям в контуре сопоставлены колебания пружинного маятника. Сообщению зарядов обкладкам конденсатора соответствует выведение маятника внешней силой из положения равновесия и сообщение ему первоначального отклонения х . При этом возникает потенциальная энергия упругой деформации пружины, равная — ях'„(см. т. 1, формулу (62.3)!. Ста! дни 2 соответствует прохождение маятника через положение равновесия. В этот момент квазиупругая сила равна нулю и маятник продолжает двигаться по инерции.
К этому времени энергия маятника полностью перекодит в кинетическую н определяется выражением ЕЖ+ л1 С Ж Разделив это выражение на Е н заменив — через Л1 д(1 =д), придем к следующему уравнению: 1 ЬС 1 Если ввести обозначение 1 уравнение (99.1) принимает вид о+афу=О, (99.2) (99.3) хорошо знакомый нам из учения о механических колебаниях [см.
т. 1, уравнение (62.6Ц Решением этогоуравнения, как известно, является функция о = д„,саз(маг+а). (99.4) Таким образом, заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону с частотой, — глхт. Сопоставление дальнейших стадий предостав- 1. г ляем читателю. Из сопоставления электрических и механических колебаний следует, что энергия электрического поля 1 1 — — аналогична потенциальной энергии упругой дев с формации, а энергия магнитного поля — 1.1 анало- 1 в гична кинетической энергии. Индуктивность Т. играет роль массы т, величина, обратная емкости (1/С),— роль коэффициента жесткости А. Наконец, заряду д соответствует смещение маятника из положения равновесия х, а силе тока 1= д — скорость х. Как мы увидим ниже, аналогия между электрическими и механическими колебаниями распространяется и на описывающие их математические уравнения.
Во время колебаний внешнее напряжение к контуру не приложено. Поэтому падения напряжения на емкости Ус = — и на индуктивности Ус = А — в сумме Д с Ф должны дать нуль определяемой выражением (99.2). Эта частота называет-. ся собственной частотой контура (оиа соответствует собственной частоте гармоннческогоосцнллятора). Для периода колебаний получается так называемая Формула Томсоног Т 2я У/.С. Напряжение на конденсаторе отличается от заряда множителем 1/С: (/ = ф соз (в /+ а) = (/ соз(еа/+ а), (99.6) Продифференцировав функцию (99.4) по времени, получим выражение для силы тока / — ва7 з(п(вг/+а)=/ соз(ег/+а+ — ). (99.7) Сопоставляя формулы (99.4) и (99.7), заключаем, что в момент, когда ток достигает максимального значения, заряд (а также напряжение) обращается в нуль, и наоборот. Это соотношение. между зарядом и током мы уже установили ранее, основываясь на энергетических соображениях.
Из формул (99.6) и (99.7) вытекает, что (/ =с' / =еа7 чт Заменяя вг по формуле (99.2), получим (/ =~/ — ' /„. (99.8) Эту формулу можно получить также, исходя из того, что наибольшее значение энергии электрического поля — С//„; см. (29.1)1 должно быть равно наибольшему 1 г, значению энергии магнитного поля 1 — // ). /1 гт ~2 9 100.
Свободные затухающие колебания Всякий реальный контур обладает активным сопротивлением. Энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется в этом сопротивлении иа нагревание, вследствие чего свободные колебания затухают, Урав- пение колебаний можно получить, исходя из того, что сумма падений напряжения иа емкости, нндуктнвпости и активном сопротивлении должна быть равна нулю: Š— +1(1+ — д='О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
