saveliev2 (797914), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Ж . ! Ф с Разделив это выражение на Ь и заменив 1 через д, а Й вЂ” через д. получим ш д+ ь д+ ес 4=0 1 Учтя, что — равно квадрату собственной частоты ЕС контура во (см. формулу (99.2Ц, и введя обозначение р=зг,' (100.2) уравнению (10О.Ц можно придать вид д + 2Щ + ~ад 0 (100. 3) Последнее уравнение совпадает с дифференциальным уравнением затухающих механических колебаний (см. т. 1, формулу (?3.2)).
При условии, что ()з<мзз, т. е. у 4,, < ~, решение уравнения (!00.3) имеет вид д=д е "'соз(М+а), (100.4) где в=~Я вЂ” рз. Подставляя значение (99.2) для м, и (100.2) для р, находим, что / ~ г' м= 1' ЕС 4ЕР ' Таким образом, частота затухающих колебаний меньше собственной частоты ыо. Прн )т =0 выражение (100.5) переходит в (99.2), Разделив (!00.4) иа емкость С, получим напряже- ние на конденсаторе: У ~ ' е мсоз(а1+а)=0„ев мсоз(м1+а).
(100.6) Чтобы найти силу тока, продифференцируем (100.4) по времени: 1- ) =д,е-з'(-асов(е(+а) — аз(п(мг+а)1. 4 й умножим и разделим это выражение на ~адепт+()т = т Й тво. 1 = иьет)мое Ре [ — сов(то(+ а) — ейп (м(+а)1. м ' р тр, р от+ рв Введи угол ф, определяемый условиями соз ф-— р р а') — з)пф = Г'ат+рз а )/ат2+рз и можно написать 1=ам) це-р'соз(от(+а+тр). (100.7) Поскольку созф<0, а з)пф>0, — <ф<п. Таким образом, при наличии в контуре активного сопротивления ток опережаетпофазе напряжение на конденсаторе более чем на и)2 (при )т' = 0 опережение составляет и/2). График функции (100.4) изображен на рис.
218. Графики для напряжения и сирие. 2!д лы тока имеют аналогичный вид. Затухание колебаний принято характеризовать логарифмическим декрементом затухания (см. т. 1, формулу (?3.12)1 а (т) Л= 1п,(, =()Т, ') Этим условиям можно также придать вид О тяф= — —, сов ф<0. р' где а(т) — амплитуда соответствующей величины (о, У или 1). Легко проверить, что логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний )т„ совершаемых за время, в течение которого амплитуда уменьшается в е рази 1 Л= —, Ф„.
' Колебательный контур часто характеризуют его добротностью Я, которая определяется как величина, обратно пропорциональная логарифмическому декременту затухания Я = — =я1У,. Л- (100.8) Из (100.8) следует, что добротность контура тем выше, чем большее число колебаний успевает совершиться прежде, чем амплитуда уменьшится в е раз. Взяв вместо Л его значение ИТ, получим Если затухание невелико (рт « ма о), можно поло- 1 жить в=оь= .
Тогда УАС ' ма 1 Л 1 Ф'Ъ ' =зр у'г.с 8 г ~' с (согласно (100.2) 2р = К/Ц. Таким образом, в случае несильного затухания 1. /Ю. Амплитуда силы тока в контуре убывает по закону е-В'. Энергия %', запасенная в контуре, пропорциональна квадрату амплитуды силы тока (илн квадрату амплитуды напряжения на конденсаторе); следовательно, В' убывает по закону е — за'. Относительное уменьшение энергии за период равно лиг ь' (г) — н' р + т) ~ е-жг Иг 1т (~) 1 При незначительном затухании (т. е. при условии, что Л « 1) е ~~ можно приближенно заменить через 1 — 2Л: — — 1 — (1 — 2Л) = 2Л.
аиг Ф Заменив в этом выражении Л через добротность контура Я в соответствии с формулой (100.8) и решив полученное уравнение относительно Я, получим Я=йн —, Иг (100.10) Итак, при слабом затухании добротность контура оказывается пропорциональной отношению энергии, запасенной в контуре, к убыли этой энергии за один период колебания. от В заключение отметим, что при (1т) вт, т. е. —,) 1 ~ — , вместо колебаний происходит апериодический разряд конденсатора. Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется к р и т и ч ее к и м.
Значение критическойт го сопротивления Ри определяется условием аз уХ ' откуда Ли=2)/ —, (100,11) Перейдя от тока 1 к заряду д и использовав обозначения (99.2) н (100.2), получим уравнение д + уф + в~ро = — соз в1, т т1м ') В случае и. и. с. ураннении остаютсн таиими же, нужно лзшь фуннцюо У= У соавс заменить фуницней д' д' соава 9 101.
Вынужденные электрические колебания Чтобы вызвать вынужденные колебания, нужно оказывать на систему внешнее периодически изменяющееся воздействие. В случае электрических колебаний это можно осуществить, если включить последовательно с элементами контура переменную э.
д. с. илн, разорвав контур, подать на образовавшиеся контакты переменное напряжение с1. Последний случай рассмотрен подробно в предыдущей главе ') (см. рис. 204, а). Однако для того, чтобы провести до конца аналогию между влектрнческнми и механичес11ими колебаниями, мы рассмотрим вынужденные электрические колебания еще раз, придав уравнениям несколько иной вид, Приравняем сумму падений напряжения на элементах контура приложенному напряжению Š— +в+ с Ч=и„созв(. н1 1 а которое совпадает с дифференциальным уравнением вынужденных механических колебаний (см.
т. 1, формулу (75.2)). Частное решение этого уравнения имеет вид д = д,„соз (м1 — ф), (101, 1) где Ф) ~'" ~Г( з г)а + рз з ' кг т з (см. т. 1, формулы (75.7) и (75.8)). Подстановка в зти выражения значений (99.2) н (100.2) для мои 5 дает ыт 9т г -" (--ю 1аф = — — ЯЕ ец (10! .2) (101.3) (7с — — ф соз (а1 — ф) = Ис соз (гзà — ф), где (7с = и — з ' (101'4) аС ~/Я~ +(вЬ- ь, ) Общее решение получится, если к частному решению (101.1) прибавить общее решение соответствующего однородного уравнения.
Это решение было получено в предыдущем параграфе [см. формулу (100.4)), оно содержит экспоненцнальный множитель е-е', поэтому по прошествии с начала колебаний достаточного времени становится очень малым и им можно пренебречь. Следовательно, установившиеся вынужденные колебания описываются функцией (101.1). Заметим, что в предыдущей главе рассматривались лишь установившиеся токи и напряжения. Разделив заряд д на емкость С, получим напряжение на конденсаторе Продифференцировав функцию (1011) по 1, найдем установившийся ток в контуре ~= — в!7, щп(в1 — ф) = 7,„соз(в( — $+ 2).
(101.5) Амплитуда тока имеет значение lв = в!7,„= ", (101.6) У й'+1"'- с) совпадающее с выражением (95.2). Введя в (101.5) обозначение ч!= ф — я72, мы придем к выражению для 1, совпадающему с формулой (95.3). В соответствии с (101.3) и 2 у $дз1! ! ! ! вŠ—— вс Л И и Таким образом, мы снова при- шли к формуле (95.1). и Резонансная частота для ! заряда д и напряжения на конденсаторе (/с равна [см. т. 1, формулу (75.11)) и! и ~/ви 252 / 1 Д7 Рис.
219. у' гС 21,* ~~ вю (101.7) Резонансные кривые для (/с изображены на рис. 219 (резонансные кривые для !7 имеют точно такой вид). Они сходны с резонансными кривыми, получающимися для механических колебаний (см. т. 1, рис. 189). При ы — +0 резонансные кривые стремятся к (7с,„= с!'„,— напряжению, возникающему на конденсаторе при подключении его к источнику постоянного напряжения величины (7 . Максимум при резонансе получается тем выше и острее, чем меньше р = РРЕ, т. е.
чем меньше активное сопротивление и больше индуктивность контура. Резонансные кривые для силы тока изображены иа рис. 220. Они соответствуют резонансным кривым для скорости при механических колебаниях. Амплитуда силы тока (101.6) имеет максимальное значение при грŠ— 11срС = О. Следовательно, резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой контура зрр. Отрезок, отсекаемый резонанснь1ми кривыми на оси Е, равен нулю — при постоянном напряжении установившийся ток в цепи с конденсатором течь не может. уз айвза у сз те се рз ЬМ Рис.
221. Ряс. 220. При малом затухании фз ь. ср~~) резонансную частоту (1О!.7) для напряжения 'можно положить равной вр. 1 1 Рээ сзс = гсов О. уьс ' Согласно формуле (101А) отношение амплитуды напрнжения на конденсаторе при резонансе сзс р„к амплитуде внешнего напряжения 0 будет в этом случае равно ~~с трез 1 Х~' с =с~ Ж 1 г.с' где Я вЂ” добротность контура (см. формулу (100.9)1. Добротность контура характеризует также остроту резонансных кривых.
Чтобы убедиться в этом, вычислим так называемую ширину резонансной кривой для силы тока по половине мощности. Под этой величиной подразумевают разность частот Ьв, для которых 1 со. сгавляет 0,5 от резонансного значения (1 = 0,71 рис. 221). Согласно формуле (101.6) квадрат амплитуды силы тока равен 2 и'„ Аи = ! т ~+! ~ с) с2 При резонансе 1„равно 1т "' Квадрат амплиФй г63= ~~я 2 2 туды 1 составит 0,5 1„„.
при частотах, удовлетворяющих условию (в1. — ! ) =Ф. Раскрыв скобки, придем после несложных преобразований к следующему уравнению: в4 в2 з с в ! 2 2 ! 1г е ! +1=0 В соответствии с формулой (100.9) Д— 2 с ! ! — = вв Поэтому можно написать в' ! !!в~ —,— ~2+ — ) —,+1=0.
Решим это уравнение относительно вз/в~о: в~ — 1+ —.4- 1+ —, — 1 = .Г -1+ — — ~~ 1+ —. 20! — <~ При больших добротностях величинами, содерм!витями Яз в знаменателе, можно пренебречь по сравнению с 1. Тогда получится в' ! / ! !з —,=1~ — = ~1~ — ), !) 1 20! ' откуда О ! а, 20' Таким образом, искомые значения частоты равны - =- 1'-й) " ="("й). Взяв разность вв — аь найдем ширину кривой Ье, Лье Относительная ширина кривой — оказывается обратив ной добротности контура Я: аеь ! а, г)' Напомним, что эта формула верна лишь при больших Я, т.
е. в случае, когда затухание свободных колебаний в контуре мало. Мы рассмотрели вынужденные колебания, возникающие при включении внешнего напряжения последовательно с элементами колебательного контура (см, рис, 204, а), Очевидно, что вынужденные колебания можно, также осуществить, подключив источник напряжения параллельно колебательному контуру (см. рис. 215). Резонансная частота в этом случае определяется формулой (98.4). Явление резонанса используется для выделения из сложного напряжения нужной составляющей. Пусть напряжение, приложенное к контуру, равно 0 У,соз(в,1+а,)+ У~сов(вт(+а,)+ ... Настроив контур на одну нз частот вь вз и т. д.
(т. е. подобрав соответствующим образом его параметры С и Е), можно получить на конденсаторе напряжение, в Я раз превышающее величину данной составляющей, в то время как напряжение, создаваемое иа конденсаторе другими составляющими, будет слабым. Такой процесс осуществляется, например, при настройке радиоприемника на нужную длину волны. $102. Получение незатухающих колебаний Для возбуждения незатухающих электрических колебаний применяются автоколебательные системы с электронными лампами, называемыеламповымигенераторами. Одна из простейших схем такого генератора приведена нз рис. 222. Колебательный контур, в котором возбуждаются колебания, включен между катодом и ЗЧ И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
