saveliev2 (797914), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Контур Рис. 235. Г расположен в этом слу- чае в плоскости, параллельной координатной плоскости уг. Возьмем этот контур в виде прямоугольника со сторонами Лу и Лг (рис. 235; ось х имеет на этом рисунке направление на нас; указанное на рисунке направление обхода связано с направлением оси х правилом правого винта). Имея в виду предельный переход 8 -и Р, можно считать значения А„ н А, на каждой иэ четырех сторон контура неизменными. Участок 1 контура противоположен по направле- нию оси а. Поэтому А~ на этом участке совпадает с — Ам (индекс 1 указывает на то, что А, берется в том месте; где расположен участок 7). Рассуждая аналогично, найдем, что А~ на участках'2, 3 и 4 равна соответственно Аэз, А,з и — А„о В итоге получим для циркуляции значение (107.11) (А„, — А„) Аг — (А„, — А~! Ьу.
(107.9) Разность А,з — А„представляет собой приращение А, при смещении вдоль оси у на Ьу. Ввиду малости Ьу ал, это приращение можно представить в виде — Лу. Аиаау логично разность А„~ — А,д можно представить в виде Ьа. Подставив эти выражения в (107.9) н вынося об- дЛу дз щий множитель аа скобки, получим ! дЛ» аЛу1 ! дЛ~ дЛу! циркуляция А*=~ — — — "/ЬУАе ~ — — — "/ЬЯ, 1 ау аг / ! ду а / где Ь8 — площадь контура. Разделив циркуляцию на Ь5, найдем выражение для проекции го1А на ось хс дл, ал„ (го1 А) ду дз (предельный переход  — Р мы предвосхитили, предпо- ложив, что на каждом из участков контура А„и А, не- изменны).
Путем аналогичных рассуждений можно най- ти, что (го1 А) дЛк длх дг дх дЛу дЛ. (го1 А), (107.12) Легко убедиться в том, что любое из выражений (107ЛО) †(107Л2) может быть получено из предыду- щего [для (107.10) предыдущим следует считать(107Л2)1 путем так называемой циклической перестановки коор- динат, т. е.
замены координат, осуществляемой по схеме: Итак, ротор вектора А определяется в декартовой системе координат следующим выражением: (107.13) Ниже мы укажем более изяшный способ записи этого выражения. Зная ротор вектора А в каждой точке некоторой поверхности 5, можно вычислить циркуляцию этого вектора по контуру, ограничивающему 5. Для этого разобьем поверхность на очень малые элементы Л5. Согласно (1О?.8) циркуляция вектора А по контуру, ограничи- вающему Ь5, может быть представал лена в виде циркуляция А=(го1А)„Л5, где и — положительная нормаль к элементу поверхности 65.
Просуммировав эти выражения по всей поверхности 5, справа получим Ряс. вза. ~ (го1А)„г(5, слева — циркуляцию А по контуру Г. Действительно, при суммировании слагаемые А~А(, отвечающие отрезкам, разделяющим смежные элементы поверхности, взаимно уничтожатся. Например, для Ь5, лежащей слева от М1т' (рис.
236), этот участок при определении циркуляции проходится в направлении )У-~М, а для 65, лежащей справа от МФ, тот же участок проходится в направлении М - 1т'. Следовательно, отвечающие М)У слагаемые А~Ы отличаются для смежных площадок лишь знаком и при сложении дают нуль. Некомпенсированными останутся только слагаемые Ак11 для внешних (по отношению ко всей поверхности 5) участков отдельных контуров, которые в сумме дадут ~ А~В. г Таким образом, мы пришли к соотношению ~ Аьд1 = ~ (го1 А]„Ю, г 3 которое носит название теоремы Стокса.
Сам по себе этот вектор смысла не имеет. Он приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, на которую он символически умножается. Так, если умножить вектор 7 на скаляр ф, то получится вектор который, как мы знаем (см.$11),называется градиентом функции цх Если вектор Ч умножить скалярно иа вектор А, получится скаляр для для для ЧА=Ч„Ак+7иА„+Ч,А, д + д + да ' (107.17) который есть не что нное, как дивергенция вектора А [см. (!07А)). Наконец, если умножить 7 на А векторно, получится вектор с составляющими: (ЧА)„Ч„А, — Ч,А„ дА~ дла — — и т.
д., которые совпадают с составляюду да шими го(А [см. (107.10) — (107Л2)). Следовательно, воспользовавшись записью векторного произведения с помощью определителя, можно написать: ! ) й д д д да дд д* А„Аа А„ (107.18) го! А-['Щ = Пользуясь вектором 7, нужно помнить, что он яв- ляется дифференциальным оператором, действующим на ЗН Написание формул векторного анализа значительно упрощается и облегчается, если ввести в рассмотрение векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом р (чабла) и носящий название оператора набла. или оператора Гамильтона. Под этим оператором подразумевается вектор с составляющими д д д дх ' да н да .
Слелоаательно, д» ) д да' (107.15) все функции, стоящие справа от него. Поэтому при преобразовании выражений, в которые входит Ч, нужно учитывать как правила векторной алгебры, так и правила дифференциального исчисления. Так, например, производная произведения функций ф и ф равна (рфУ - ч'ф+ М'. В соответствии с этим ига д йрф) = Ч (фф) = фЧЧ + «рЧф = ф ига б ~р+ Ч Втаб ф.
Градиент некоторой функции ~ представляет собой векторную функцию. Поэтому к нему могут быть применены операции и дивергеиции, и ротора: 61ч агаб ф = Ч (Ч р) (ЧЧ) ~р = (Ч + Чэ+ Ч ) ~р = —, + —, + —, й р (107.19) (Ь вЂ” оператор Лапласа), гогдгай гр =[Ч, ЧсД = [ЧЧ[<р = О, (107.20) так как векторное произведение вектора на самого себя равно нулю. Электростатическое поле Е может быть представлено как градиент потенциала Ч [см. формулу (11,3)[.
Согласно (9,2) циркуляция этого поля для любого контура равна нулю, что согласуется с (107.20). Ротор вектора А является векторной функцией точки. Следовательно, к нему могут быть применены операции дивергенция 'и ротора: б(т го1 А Ч [ЧА[ = 0 (107.21) (из векторной алгебры известно, что смешанное произведение векторов равно объему параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах; если два из этих векторов совпадают, то объем параллелепипеда равен нулю), го1го1 А =[Ч, [ЧА[3= Ч(ЧА) — (ЧЧ) А игаб б(ч А — ЛА (107.22) формулой [А„[ВСЯ В(АС)— [мы воспользовались — С(АВ)3 Из формулы (107.2!) вытекает, что поле ротора не имеет источников, линии такого поля замкнуты, либо уходят в бесконечность. Подобным свойством обладают линии магнитного поля.
Это позволяет представить поле вектора магнитной индукции В как поле ротора некоторой векторной функции А '), которую называют векторным потенциалом В = го1А. (107,23) Входить в дальнейшие подробности по поводу векторного потенциала мы не имеем возможности. й 108. Уравнения Максвелла Открытие тока смешения позволило Максвеллу создать единую теорию электрических и магнитных явлений.
Эта теория объяснила все известные в то время экспериментальные факты и предсказала ряд новых яв лений, существование которых подтвердилось впоследствии. Основным следствием теории Максвелла был вы вод о существовании электромагнитных волн, распро страняюшнхся со скоростью света.. Теоретическое исследование свойств этих волн привело Максвелла к созданию электромагнитной теории света. Основу теории образуют уравнения Максвелла. В учении об электромагнетизме этн уравнения играют такую же роль, как законы Ньютона в механике или основные законы (начала) в термодинамике.
Первую пару уравнений Максвелла образуют уравнения (103.6) и (44.1). Для удобства изложения напишем их еще раз (Ы8.1) (108.2) Первое из этих уравнений связывает значения Е с временными изменениями вектора В и является по существу выражением закона электромагнитной индукции. ') Во всех предыдущих формулах символом А мы обозначали произвольный вектор. Векторный потеицнвн магнитного поли при. нато обозначать этим зке сиыволом Д.
Второе уравнение отражает то свойство вектора В, что его линии замкнуты (илн уходит в бесконечность). Вторую пару уравнений Максвелла образуют уравнения (105.4) н (18.6): $н,а-~~„шя+~1ф) аз, заезд ~й„сБ ( рЛ' (108.4) (под ) здесь и в дальнейшем понимается плотность тока проводимости). Первое уравнение устанавливает связь между токами проводимости и смешения и порождаемым ими магнитным полем, Второе показывает, что линии вектора 0 могут начинаться и оканчиваться на зарядах. Уравнения (108.1) — (108.4) представляют собой уравнения Максвелла в интегральной форме.
Они связывают значения Е или Н вдоль некоторого контура со значениями В (соответственно 1)) в точках опирающейся на контур поверхности. От уравнений в ннтегралыюй форме можно с помощью теорем векторного анализа перейти к уравнениям в дифференциальной форме, которые связывают значения Е или Н в некоторой точке с В (соответ. ственно 0) в той же самой точке пространства. Применим теорему Стокса (см.
(107.14Ц клевой части формулы (108.!), взяв в качестве поверхности, по которой производится интегрирование функции (го1 Е), ту же поверхность, по которой берется интеграл в правой части. Тогда уравнение (108,1) примет вид 1- .---1©- Оба интеграла берутся по одной и той же поверхности.
Поэтому полученное равенство можно написать следующим образом: ') (го1Е+ —,) ЫЯ=О. Это равенство должно выполняться для произвольно выбранной поверхности интегрирования 8, что, очевидно, возможно лишь в том случае, если подынтегральное выражение в любой точке пространства для произвольно ориентированной плошадки г(8 будет равно нулю. Таким образом, мы приходим к выводу, что в каждой точке пространства выполняется равенство го1 Е дВ д1 ' Применив теорему Стокса к формуле (108.3) и повторив те же самые рассуждения, найдем, что го1 Н =)+ —.
до дг Теперь применим теорему Остроградского — Гаусса (см. (107.5)) к левой части формулы (1084). В результате получим уравнение )' йч 1У Л' = ) р дУ. У Применение теоремы Остроградсиого — Гаусса к фор. муле (108.2) дает 61ч В О. Итак, в дифференциальной форме уравнения Максвелла выглядят следующим образом: дВ го1 Е дС ° 01чВ 0 (108.6) (108.6) Прн произвольном выборе объема, по которому производится интегрирование, полученное соотношение может выполняться лишь при условии, что подынтегральные выражения в обеих частях имеют в каждой точке пространства одинаковые значения, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
