saveliev2 (797914), страница 62
Текст из файла (страница 62)
е. б)чР=р. (первая пара уравнений), го1 Н 3+ —, дР 01ч0 =р, (вторая пара уравнений). (108.7) (108.8) 395 дЕ» дЕк дВ» ду дк Ф дЕ» дЕ» дне (108.12) дк дк дГ дЕе дЕ» дВ» дН» дНк ВР» ~а 1 +— ) + —, дР» + —. ду дк дН» дН» (108,13) да дН» дк дН„ Уравнения (108.6) и (108.8) можно написать в скалярном виде, использовав соотношение (107.4) дВ» дВк дВ» — + — + — ° О, дк ду дк дР» дРе дР» — + — + — -р.
дк ду дк (108.15) В гауссовой системе уравнения Маисвеаиа ниеигт вил 1 дн го1 Е с дг' шва О, 4и 1 дР го1 и — 1+ — —, 1 с с дт' 41в Р 4ир. (108.101 (108.17) При решении этих уравнений используется то обстоятельство, что между входящими в них величинами имеются соотношения 11 все Е, (108.8) В =р,рН, (108.10) аЕ. (108.11) Совокупность семи уравнений (108.5) — (108.11) образует основу электродинамики покоящихся сред. Спроектировав уравнения (108.5) и (108.7) на координатные оси, получим вместо каждого из векторных уравнений три скалярных.
Приняв во внимание формулы (107.10) — (107.12), получим ГЛАВА ХЧН! ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ ф 109. Волновое уравнение В предыдущей главе мы выяснили, что переменное электрическое поле порождает магнитное, которое, вообще говоря, тоже оказывается переменным '). Это переменное магнитное поле порождает электрическое поле и т. д. Таким образом, если возбудить с помощью заря. дов переменное электрическое или магнитное поле,'в окружающем пространстве возникнет последовательность взаимных превращений электрического и магнитного полей, распространяющихся от точки к точке. Этот процесс будет периодическим во времени и в пространстве и, следовательно, представляет собой волну. Вывод о возможности существования электромагнитных волн вытекает, как мы сейчас покажем, из уравнений Максвелла.
Наиишем уравнения Максвелла для однородной нейтральной (р О) непроводящей (1 О) среды с постоянными проиицаемостями е и р. В этом.случае дв дн до дд — й4о — — аеа — > дт дт ' дт дГ' йч В = рро с)1ч Н и Жч 0 вео Жч В. ') Для того чтобы воаниишее магнитное иоле было настоян. ным, необходимо соблигдеиие весьма сиециальиого условиги ы ° соней Следовательно, уравнения (108.5) — (!08.8) дН го1Е = — рпе— дг 1 ан.„ ан„ ан, б!ч Н вЂ” + — + — О, дх ду де дЕ го1 Н =азов д~ ' дЕ» дЕ~ дЕ г(!чЕ = — + — "+ — *=О. дх дд дз имеют вид (109.1) (109.2) (109.3) (109.4) Применим к уравнению (!09.1) операцию го1 го1 (го1 Е] = — рр, го1 ( — ). (109.5) Применив операцию го1 к уравнению (109.3) и произведя аналогичные преобразования, придем к уравнению го1(го1 Н) = -ееррро дгэ Фн (109.7) В соответствии с (107.22) го1 го1 Е = игад Йч Š— ЛЕ.
При условии, выражаемом уравнением (109.4), первый член этого равенства обращается в нуль. Следовательно, левая часть формулы (109.6) может быть записана в виде — ЬЕ. Опустив в получающейся формуле знак ми. нус слева и справа, придем к уравнению ЬЕ ееерре д,, РЕ или, расписав ЛЕ, а„ + а„ + — д ееорре †, . (109,8) ФЕ д'Е ФЕ дгн Символ го1 означает дифференцирование по координатам. Меняя порядок дифференцирования по координатам и времени, можно написать го1! — ~= — (го1 Н). !дн1 д 1д~ ! д~ Произведя в уравнении (109.5) эту замену и подставив в получившееся выражение значение (!09.3) для го1 Н, получим го1( 1Е) — ееоррз д„° д~Е Сходным образом уравнение (109.7) можно преобразовать к виду дан дгН дан д'Н +, ееср4гс —,, (109.9) Заметим, что уравнения (!09.8) и (109.9) неразрывно связаны друг с другом, так как они получены из уравне. ннй (1093) и (109.3), каждое из которых содержит н Е и Н.
Уравнение вида — + — + — = —— да! да! дг1 ! да! даа дса даа еа дР 1 1 и — —— (109.10) )"есва У и Для вакуума по этой формуле получается о —, 3 ° 10а м(сек =с 1' еояа 4п ° 10 4п ° 9 ° 1оа 1см. значения (4.2) н (38.3) для еа и ре1. Таким образом, в вакууме фазовая скорость электро магнитных волн совпадает со скоростью света. В гауссоаой сасгеяе с с )Ге1г (109.11) представляет собой волновое уравнение (см.
т. 1, $80)), Всякая функция, удовлетворяющая такому уравнению, описывает некоторую волну, причем корень квадратный дйг из величины, обратной коэффициенту при — „, дает фа зовую скорость этой волны. Таким образом, уравнения (!09.8) и (!09.9) указывают иа то, что электромагнитные поля могут суп1ествовать в виде электромагнитных волн, фазовая скорость которых равна $110. Плоская электромагнитная волна Исследуем плоскую электромагнитную волну, распространяющуюся в однородной непроводящей среде (р = О, 1 ' О, П еедЕ, В = ррхН, е и р — постоянные).
Направим ось х перпендикулярно к волновым поверхностям. Тогда Е и , а значит, и их составляющие не будут зависеть от координат р й г. Поэтому уравнения (108.12)— [108.15) упрощаются следующим образом: — =0 дНх И ан, ан, — = РРх— дх анх ан, — =0 анх д~ ° ан, ан„ вЂ” = — азов дх Ф дН ~ ддх еео ° дх д8 дНх — =О, д» (110.1) (110,2) (110.3) — О. дЕ. дх (!10.4) Первое из уравнений (110.2) и уравнение (110.4) показывают, что Е, не может зависеть ни от 1, ни от х. Первое из уравнений (110.1) и уравнение (110.3) дают тот.
же результат для Н, Таким образом, отличные от нуля Е„и Н могут быть обусловлены лишь постоянными однородными полями, накладывающнмися на электромагнитное поле волны. Само поле волны не имеет составляющих вдоль оси х, т. е. векторы Е и П перпендику« лярны к направлению распространения волны — электромагнитные волны поперечиы. В дальнейшем мы будем предполагать постоянные поля отсутствующими и полагать Е„Н„О. Два последних уравнения (110.1) и два последних уравнения (110.2] можно объединить в две независимые группы: дЕ» «П» дх ИО О д~ 1 (1 !0.5) дн» дЕ, — '= — за —" д» О дГ э дЕ, ди„ ь РР «) дН» дЕ» — ЕЕΠ— .
д» д! (110.б) д«ЕО дОЕ» дх =азОРРО д (110.7) Продифференцировав по к второе уравнение (110.5), найдем после аналогичных преобразований волновое уравнение для Н;. д»Н д»ид Яа ваО(Ч»О дР (110.$) «В И.В,СОВ О»,т.ц Первая группа уравнений связывает составляющие Е„ и Н„вторая — Е, и Н„. Предположим, что первоначально было создано переменное электрическое поле Е„, направленное вдоль оси у. Согласно второму из уравнений (110.5) это поле создаст магнитное поле Н„направленное вдоль оси г. В соответствии с первым уравнением (1!0.5) поле Н, создаст электрическое поле Е„и т. д. Ни поле Е„ни поле Н„при этом не возникают. Аналогично, если первоначально было создано поле Е„ то согласно уравнениям (109.б) появится поле Н„, которое возбудит поле Е, и т.
д. В этом случае не возникают поля Е„ и Н,. Таким образом, для описания плоской электромагнитной волны достаточно взять одну из систем уравнений (110.5) и (110.6), положив составляющие, фигурирующие в другой системе, равными нулю. Возьмем для описания волны уравнения (110,5), положив Е, = Н„= О. Продифференцируем первое уравнед дн» д дн» ние по х и произведем замену: — †' — †' . Под« дх д1 д~ д» днх ставив затем †' нз второго уравнения, получим волнодх вое уравнение для Е„: Напомним, что остальные составляющие Е н Н равны нулю, так что Е Е„н Н Н,.
Мы сохранили в уравнениях (110.7) и (! 10.8) индексы у и г при Е и Н для того, чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что векторы Е и Н направлены по взаимно перпендикулярным осям у и г. Уравнения (! 10.7) и (110.8) представляют собой частный случай уравнений (109.8) н (109.9). Простейшим решением уравнения (110.7) будет функция . Е Е,„соз (а! — Йх + а~). (110.9) Решение уравнения (110.8) имеет аналогичный вид Н, = Нм соз (в! — йх+ а,).
(110. 10) В этих формулах а — частота волны, Й вЂ” волновое число, равное ы/и, а~ и ае — начальные фазы колебаний в точках с координатой х = О. Подставим функции (1!0.9) и (110.!0) в уравнения (110.8): йЕм з(п (а1 — йх+ а ) = ррегоН,„яп (в1 — Йх+ ае), lгН,„яп (а1 — йх + ае)'= еегмЕ,„яп (еС вЂ” йх + а,).
Для того чтобы уравнения удовлетворялись, необходимо равенство начальных фаз а~ и ае. Кроме того, должны соблюдаться соотношения: йЕ,„ррогентю ееемЕм = йН~. Перемножив эти два равенства, находим, что ее,Ем = й$ОНе~. Таким образом, колебания электрического и магнитного векторов в электромагнитной волне происходят с одинаковой фазой (и~ ае), а амплитуды этих векторов связаны соотношением Е,„~ ~ =*Н„, г р~.
(110.!1) Из формулы (110.11) вытекает, что между значениями Е и Нм для волны, распространяющейсявпустоте, имеется соотношение — =1/ — 'о = 4п ° 10 "° 4п ° 9 ° 10 $'Г4г900 120 371. (1[0.12) В тауесовоа системе формула (1Ю.1!) имеет вид е,„)/е = и )/р. Следовательно, в пустоте Е„= Нм (Е измеряется в СГСЭ- единицах, Н, — в СГСМ-единицах). Умножив уравнение (110.9) на орт оси р(Еи) = Е), а уравнение (110.10) на орт оси г (Й,)т Н), получим уравнения плоской электромагнитной волны в векторном виде: Е = Е соз (от1 — мх), Н = Н,„сои(та1 — Ах) (1!0.13) (мы положили а~ = тта = О). На рис.
237 показана «моментапьная фотография» плоской электромагнитной волны. Как видно нз рисунка, векторы Е и Н образуют с направлением распро- Х странения волны право- винтовую систему. В У фиксированной точке пространства векторы Е р и Н изменяются со временем по гармоническому закону. Оии одновременно увеличиваются от )т нуля, затем'через т(а пе- Р риода достигают наибольшего значении (причем, если Е направлен вверх, то Н направлен вправо; смотрим вдоль направления, по которому распространяется волна). Еще через Ч4 периода оба вектора одновременно обращаются в нуль.
Затем опять достигают наибольшего значения (но на этот раз Е направлен вниз, а Н вЂ” влево). И, наконеп, по завершении периода колебания некторы снова обращаются в нуль. Такие изменения векторов Е и Н происходят во всех точках пространства, но со сдвигом по фазе, определяемым расстоянием меятду точками, отсчитанным вдоль оси х. й 111. Экспериментальное исследование электромагнитных волн Экспериментальная проверка вывода теории Максвелла о существовании электромагнитных волн была осуществлена Герцем в 1888 г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
