Диссертация (792745), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Определение частот и форм собственных колебаний для системы сконечным числом степеней свободыКак уже упоминалось, главный принцип, на котором основан метод конечныхэлементов – это рассмотрение реальной конструкции в виде системы с конечнымчислом степеней свободы.Модальный анализ проводится для определения частот и форм (мод)собственных колебаний конструкций в предположении, что система являетсялинейной. Внешние силы и демпфирование полагаются равными нулю.

В этомслучае уравнение колебаний конструкции в матричной форме (2.7) принимает вид:Mu  Ku  0, .(3.2)Модальный анализ заключается в нахождении условий, при которых системасовершает гармонические колебаний по закону [66]:гдеΨu  t   Ψ sin  t  0  ,(3.3)– вектор, характеризующий форму собственных колебаний(соотношения между смещениями узлов); – круговая частота собственных колебаний;0 – начальная фаза.Подстановка (3.3) в (3.2) дает уравнение для собственных колебаний: K  M  Ψ  0.2(3.4)Тривиальным решением уравнения является нулевое смещение узлов (системаостается неподвижной). Нетривиальное решение уравнения (3.4) существует лишьтогда, когда величины i  i  1, ..., n  , обращают в нуль детерминант матрицы K  M  . Соответствующие им формы собственных колебаний Ψ вычисляются2лишь с точностью до произвольного множителя, значение которого определяется80избранным способом нормировки собственных форм [66].

Таким образом,амплитуды собственный колебаний не определены, из решения уравнения (3.4)могут быть получены только соотношения между перемещениями различных точексистемы. Отметим, что число собственных форм совпадает с числом степенейсвободы динамической системы n.Наряду с круговой собственной частотой ωi также вводится собственнаячастота fi, представляющая собой число колебаний по i-той собственной форме,совершаемых системой за единицу времени (1 с):i(3.5)2В качестве основного инструмента для проведения расчетов выбранfi программный комплекс (ПК) ANSYS Mechanical, в котором реализованавозможность учета предварительного напряжения конструкции при проведениимодального анализа, а также возможность использования мембранных конечныхэлементов из ортотропного материала [103].3.2.3.

Особенности модального анализа предварительно напряженнойсистемыСобственные частоты и формы колебаний предварительно напряженнойсистемы отличаются от собственных частот и форм колебаний ненапряженнойсистемы, при этом, для систем, работающих преимущественно на растяжение,частоты растут с увеличением величины предварительного напряжения [80, 54, 66].Этот эффект используется, например, при натяжении струн в музыкальныхинструментах. Следовательно, для корректной оценки собственных частот и формколебаний воздухоопорной оболочки необходимо учесть не только начальнуюжесткость системы, но и дополнительную, вызванную эффектом предварительногонапряжения за счет внутреннего давления воздуха под оболочкой.81Как указано выше, модальный анализ системы имеет смысл только в линейнойпостановке, в нелинейных же задачах можно говорить о разложении движениясистемы по формам свободных колебаний в окрестности изучаемого равновесногоее положения при линеаризации поведения системы в этой окрестности.

Итак,определение напряженно-деформированного состояния (НДС) системы пристатическом ее нагружении должно выполняться с учетом геометрическинелинейных эффектов (расчет по деформированной схеме, учитывающийследящий характер нагрузки от давления воздуха [103, 127]). Далее, зная НДСконструкции от действующих статических нагрузок, необходимо построитьдинамическую модель так называемой линеаризованной системы, под которойпонимается исходная система, в которой все составляющие ее элементырассматриваются в линейной постановке, но с касательными (мгновенными)матрицами жесткости [66].Для этого в уравнении (3.4) вместо обычной матрицы жесткости K 0 вводитсякасательная (мгновенная) матрица жесткости K :(3.6)K  K 0  KG ,где KG  K1  K 2 – так называемая матрица геометрической жесткости:здесь K 1 – матрица начальных напряжений;K 2 – матрица начальных поворотов.Детальное построение матрицы геометрической жесткости KG , а такжематриц K 1 и K 2 подробно описано в книге [66, с.138-140].3.2.4.

Описание расчетных моделейОбъектом исследования выбрана пневмобалка – цилиндрическая оболочкадиаметром 0.28 м, длиной 3 м и толщиной 1 мм. В работе [103] результаты расчетовпо разработанной стержневой модели сопоставлены с результатами расчетаконечно-элементной оболочечной модели, рассчитанной в ПК Abaqus. Следует82отметить, что в оболочечной модели присутствуют торцы, наличие которыхприводит к дополнительному продольному растяжению оболочки под действиемизбыточного давления.

В работе [103] не указано, учитывается ли это растяжениев стержневой модели.В данной работе были выполнены расчеты для оболочечной моделипневмобалки как с торцами, так и без них. Для лучшей сходимости решения форматорцов была принята в виде полусфер, расстояние между центрами которыхсоставляло длину пневмобалки, т.е. 3 м. Закрепления накладывались на крайниекольцевые сечения в цилиндрической части пневмобалки.Трехмерная конечно-элементная (КЭ) модель пневмобалки создавалась в ПКANSYS Mechanical с использованием трехузлового оболочечного конечногоэлемента типа SHELL181, реализующего теорию оболочек Миндлина-Рейсснера, вобщем случае с шестью степенями свободы в каждом узле.

Для решения даннойзадачи была включена мембранная опция (параметр KEYOPT(1)=1), котораяпозволяет не учитывать изгибную жесткость и игнорировать угловые степенисвободы в узлах элементов [103].Для исследования сеточной сходимости рассмотрены три варианта расчетнойсетки с максимальной длиной ребра КЭ d равной 0.06, 0.03 и 0.015 м. Результатырасчета для двух последних случаев практически совпадают и приведены ниже.Было рассмотрено 2 варианта закреплений концов пневмобалки:1) защемленный левый край и свободный от закреплений правый край(консольная балка);2) защемлённый левый край и шарнирно-опертый правый край.3.2.5.

Параметры расчетовРассмотрены пневмобалки, выполненные из двух различных ортотропныхматериалов – типа 1 и типа 2, с отличающимися характеристиками: в материале83типа 1 продольному направлению (E1) соответствовал меньший модуль упругости,а в материале типа 2 – больший. Физико-механические характеристики для обоихматериалов показаны в таблице 3.2 и приняты в соответствии с данными изисточника [103].Таблица 3.2.ХарактеристикаПлотность ρ, кг/м3Модуль упругости в продольном (осевом) направлении E1,МПаМодуль упругости в кольцевом направлении E2, МПаМодуль сдвига G12, МПаТип 11420Тип 21420393.13 18370.0451.59 14120.0103.06460.0Коэффициент Пуассона ν120.070.28Коэффициент Пуассона ν210.080.22Для проведения модального анализа в ПК ANSYS Mechanical использовалсяблочный метод Ланцоша.

Решение системы линейных алгебраических уравнений(СЛАУ) выполнялось разреженным методом (решатель Distributed Sparse MatrixSolver).3.2.6. Результаты решения тестовой задачиРезультаты решения тестовой задачи представлены в следующем виде: нарисунках 3.3 и 3.4 показаны формы колебаний для пневмобалок из материала типа1 при различных граничных условиях, а в таблице 3.3 приведены собственныечастоты для всех рассмотренных случаев в сопоставлении с результатамиэталонного исследования [103].Относительные погрешности ε вычислены по формуле:84f0  f 100%,f0где f0 – эталонные результаты [103];(3.7)f – результаты расчетов, выполненных диссертантом.Таблица 3.3.Собственная частота fi, ГцНомеризгибнойформыколебанийИсточник [103]ANSYS MechanicalС торцамиБез торцовAbaqusd = 0.03 d = 0.015 d = 0.03 d = 0.015 d = 0.03 Стержневаям,м, 30560м,м, 27888м, 28627708 КЭКЭ7046 КЭКЭКЭмодельεmin/εmax,%1.1 Консоль, материал типа 112.902.903.093.093.003.14 1.5/7.7216.4116.4216.5216.5116.3816.41 0.0/0.81.2 Консоль, материал типа 2119.8219.8521.7321.7720.2822.13 1.6/10.42114.84115.05124.46124.73117.69118.47 2.2/6.02.1 Жесткое закрепление с одной стороны и шарнирная опора с другой, материалтипа 1112.7312.7511.2811.2512.8511.89 0.8/12.5236.1236.1434.5234.4535.7631.61 1.0/14.32.2 Жесткое закрепление с одной стороны и шарнирная опора с другой, материалтипа 2189.1289.3288.9689.1787.7085.59 1.4/4.42259.62259.94258.83260.12255.70231.89 1.2/12.285а) f1 = 2.898 Гцб) f1 = 3.00 Гц [103]в) f3 = 16.412 Гцг) f2 = 16.38 Гц [103]Рисунок 3.3 Первая (а, б) и вторая (в, г) изгибные собственные формы и частотыколебаний консольной пневмобалки: а), в) – полученные в данной работе (d = 0.03м); б), г) – данные источника [103].а) f1 = 12.727 Гцб) f1 = 12.85 Гцв) f3 = 36.117 Гцг) f2 = 35.76 ГцРисунок 3.4 Первая (а, б) и вторая (в, г) изгибные собственные формы и частотыколебаний пневмобалки, жестко закрепленной слева и шарнирно опертой справа:а), в) – полученные в данной работе (d = 0.03 м); б), г) – данные источника [103].86Поскольку в работе [103] имеется по два эталонных результата (дляаналитической стержневой и численной оболочечной моделей), а в данной работевыполнены расчеты для пневмобалок с торцами и без, то для относительнойпогрешности (невязки) результатов в таблице 1 приведены максимальное εmax иминимальное εmin значения.

Для результатов, полученных в данной работе,достигнута сеточная сходимость, поскольку собственные частоты при сгущениирасчетной сетки с 0.03 м до 0.015 м изменяются не более чем на 0.05-0.5%.Расхождение между результатами диссертанта и эталонными результатами длястержневой модели [103] достигает 14.3%, а для конечно-элементной моделиотносительная погрешность не превышает 1% (случай 2.1 с торцами). Такаяразница в результатах может объясняться различием в моделировании торцевыхзон и граничных условий, а также особенностями построения стержневойаналитической модели (например, принималась гипотеза, что сечение пневмобалкиостается круглым и после деформации [103], однако, в оболочечных моделях этоусловие не всегда выполняется, см.

рисунок 3.5, а).Кроме того, следует отметить, что из одномерной стержневой модели могутбыть получены только изгибные формы колебаний, а в трехмерных конечноэлементныхмоделяхможно наблюдать оболочечные формы колебаний,обусловленные волнообразованием в кольцевом направлении. Поэтому, какправило, второй изгибной форме колебаний соответствует гораздо больший номерсобственной формы.

В частности, на рисунке 3.5,а показана 24-я собственнаяформа для случая 2.2 (с торцами), а рисунке 3.5,б на изображена 13-я оболочечнаяформа колебаний, частота которой (f13 = 223.06 Гц), ниже, чем у второй изгибнойформы колебаний (f24 = 259.62 Гц). На ней можно выделить одну полуволну впродольном направлении и восемь полуволн в кольцевом.С учетом сделанных замечаний можно считать тестовую задачу успешнорешенной, что позволяет использовать примененный подход для анализасобственных частот и форм колебаний воздухоопорной оболочки.87а) f24 = 259.62 Гцб) f13 = 223.06 ГцРисунок 3.5 24-я (а) – вторая изгибная – и 13-я (б) собственные формы и частотыколебаний пневмобалки для случая 2.2 с торцами.3.3.

Характеристики

Список файлов диссертации