Диссертация (786344), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Åñëè îïöèîí ïðåäóñìàòðèâàåòïðàâî íà ïðîäàæó òîâàðà, òî îí íàçûâàåòñÿ ïóò-îïöèîíîì, à åñëè ïðàâî íà ïîêóïêó êîëëîïöèîíîì. Åñëè îïöèîí ìîæåò áûòü èñïîëíåí òîëüêî â îïðåäåëåííûé ìîìåíò âðåìåíè, òîîí íàçûâàåòñÿ åâðîïåéñêèì, åñëè åãî ìîæíî èñïîëíèòü â ëþáîé ìîìåíò äî èñòå÷åíèÿ ñðî-5êà äåéñòâèÿ àìåðèêàíñêèì, à åñëè åãî ìîæíî èñïîëíèòü òîëüêî â îïðåäåëåííûå ìîìåíòûâðåìåíè äî èñòå÷åíèÿ ñðîêà äåéñòâèÿ êîíòðàêòà áåðìóäñêèì.Ïðîäàâåö êîëë-îïöèîíà ìîæåò ÷àñòè÷íî çàñòðàõîâàòüñÿ îò ðèñêà, ñâÿçàííîãî ñ ïðåâûøåíèåì öåíîé àêòèâà öåíû ïîñòàâêè, çàòðàòèâ íà ýòî ÷àñòü ïðåìèè (ñòîèìîñòè îïöèîíà).Äëÿ ýòîãî îí ôîðìèðóåò èíâåñòèöèîííûé ïîðòôåëü, ñîñòîÿùèé èç äàííîãî îïöèîíà, äðóãèõîïöèîíîâ, ôüþ÷åðñîâ, îáëèãàöèé, àêöèé è ïðî÷åãî.  ïðîñòåéøåì ñëó÷àå ïîðòôåëü ñîñòîèòèç áàçîâîãî àêòèâà, îãîâîðåííîãî â êîíòðàêòå.
Ýòèì ïîðòôåëåì îí ìîæåò óïðàâëÿòü òàê,÷òîáû äîõîäíîñòü ïîðòôåëÿ õîòÿ áû ÷àñòè÷íî êîìïåíñèðîâàëà ðèñê îïöèîííîé ïîçèöèè. Òàêàÿ ñòðàòåãèÿ óïðàâëåíèÿ íàçûâàåòñÿ õåäæèðîâàíèåì, à ëèöî, óïðàâëÿþùåå ïîðòôåëåì õåäæåðîì.Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî èñòîðèÿ ðûíêîâ ñðî÷íûõ êîíòðàêòîâ íàñ÷èòûâàåò áîëåå 400 ëåò, òåîðèÿ ñòðàõîâàíèÿ è ðàñ÷åòîâ ñðî÷íûõ ïîçèöèé íà÷àëà ðàçâèâàòüñÿ ëèøü âî âòîðîé ïîëîâèíåXX âåêà. Ïåðâîé ðàáîòîé â ýòîé îáëàñòè ÿâëÿëàñü äèññåðòàöèÿ Ë. Áàøåëüå [53], â êîòîðîéâïåðâûå áûëî ïðåäëîæåíî èñïîëüçîâàíèå áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè äèíàìèêè öåí àêòèâîâ.
Ýòà ðàáîòà ïîëó÷èëà ðàçâèòèå â òðóäàõ Ñàìþýëñîíà,ïðåäëîæèâøåãî ìîäåëü, ó÷èòûâàþùóþ íåîòðèöàòåëüíîñòü öåíû áàçîâîãî àêòèâà.Ôóíäàìåíòàëüíûé ðåçóëüòàò ýòîé òåîðèè áûë ïîëó÷åí â 1973 ã. Ô.Áëýêîì è Ì.Øîóëñîì[55]. Îíè âûâåëè ôîðìóëó äëÿ îöåíêè ïðåìèè åâðîïåéñêîãî êîëë-îïöèîíà äëÿ äèôôóçèîííîéìîäåëè êîòèðîâêè áàçîâîãî àêòèâà ïðè èäåàëüíûõ óñëîâèÿõ ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ðûíêà öåííûõ áóìàã.
Äîõîäíîñòü òàêîãî ïîðòôåëÿ ïðèðàâíèâàëàñü ê äîõîäíîñòè áåçðèñêîâîãî àêòèâà.Îòïðàâíûì ïóíêòîì ìîäåëè Áëýêà-Øîóëñà áûëî òî, ÷òî ïðåìèÿ îïöèîíà ìîæåò áûòü âîñïðîèçâåäåíà íåïðåðûâíîé ïåðåáàëàíñèðîâêîé ïîðòôåëÿ ñîñòîÿþùåãî èç áåçðèñêîâîãî âëîæåíèÿè áàçîâîãî àêòèâà. Íà óïðàâëåíèå òàêèì ïîðòôåëåì õåäæåð çàòðà÷èâàåò â ñðåäíåì âñþ ïðåìèþ çà îïöèîí.  ìîäåëè Áëýêà-Øîóëñà ñòðîèòñÿ òàê íàçûâàåìûé ñîâåðøåííûé õåäæ, ò.å.ñòðàòåãèÿ õåäæèðîâàíèÿ, ïðè êîòîðîé èíâåñòîð èçáåãàåò ðèñêà ïóòåì ïðîäàæè è ïîêóïêèîïðåäåëåííîãî êîëè÷åñòâà àêöèé áàçîâîãî àêòèâà (â ëèòåðàòóðå ïîäîáíûå ñòðàòåãèè òàêæåíàçûâàþòñÿ ñóïåðõåäæèðóþùèìè).
Äîêàçàíî, ÷òî ñîâåðøåííûé õåäæ íå ìîæåò áûòü ïîñòðîåí äàæå äëÿ ìàëûõ îòðåçêîâ âðåìåíè, çà èñêëþ÷åíèåì ñëó÷àÿ, êîãäà ïðîöåññ èçìåíåíèÿöåíû áàçîâîãî àêòèâà ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì ïî âðåìåíè è ïîä÷èíÿåòñÿ ñëåäóþùåé ôîðìóëå:∆St = (α(St , t) − D(St , t))St ∆t + σ(St , t)St ∆Zt ,ãäå∆St = St+∆t − St ;α(St , t)D(St , t) îæèäàåìàÿ äîõîäíîñòü íà àêöèþ íà îòðåçêå âðåìåíè äèâèäåíä íà àêöèþ íà îòðåçêå âðåìåíè6[t, t + ∆t];[t, t + ∆t];(1)σ(St , t)∆Zt ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå äîõîäíîñòè àêöèè íà îòðåçêå âðåìåíè ïðèðàùåíèå âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà íà îòðåçêå âðåìåíè[t, t + ∆t];[t, t + ∆t].Êðîìå ýòîãî, â ìîäåëè Áëýêà-Øîóëñà òðåáóåòñÿ âûïîëíåíèå ñëåäóþùèõ óñëîâèé:1. Ðûíêè îïöèîíîâ è àêöèé èäåàëüíû, ò.å. íå èìååòñÿ íèêàêèõ îãðàíè÷åíèé íà êîðîòêèåïðîäàæè; îòñóòñòâóþò òðàíçàêöèîííûå èçäåðæêè; ëþáûå äîëè âñåõ öåííûõ áóìàã áåñêîíå÷íîäåëèìû.
Ýòè ïðåäïîëîæåíèÿ ïîçâîëÿþò îñóùåñòâëÿòü íåïðåðûâíóþ òîðãîâëþ.2. Äîõîäíîñòü áåçðèñêîâûõ öåííûõ áóìàã ïîñòîÿííà íà ïðîòÿæåíèè âðåìåíè æèçíè îïöèîíà.3. Âûïëàòà äèâèäåíäîâ ïî àêöèÿì áàçîâîãî àêòèâà îñóùåñòâëÿåòñÿ íà òàêèõ óñëîâèÿõ,÷òî îïöèîíû àìåðèêàíñêîãî òèïà íå ìîãóò áûòü èñïîëíåíû ðàíüøå ñðîêà ïîñòàâêè.Ñîãëàñíî èõ ìîäåëè, â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíèñîñòîÿùèé èçn(St , t)àêöèé áàçîâîãî àêòèâà èÑòîèìîñòü òàêîãî ïîðòôåëÿ â ìîìåíò âðåìåíètôîðìèðóåòñÿ õåäæèðóþùèé ïîðòôåëü,m(St , t)tåäèíèö áåçðèñêîâûõ öåííûõ áóìàã.áóäåò ðàâíàV = nSt + mBt ,ãäåBt ñòîèìîñòü áåçðèñêîâîãî àêòèâà â ìîìåíò âðåìåíèêèñðîâàííóþ ïðîöåíòíóþ ñòàâêót.Áåçðèñêîâûé àêòèâ èìååò ôè-r:Bt+∆t = (1 + r∆t)Bt .Ôóíêöèènèmíåîáõîäèìî âûáðàòü òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû1. Äîõîä îò ïîòðòôåëÿ ïîëíîñòüþ ïîêðûâàë çàòðàòû ïî îòêðûòîé îïöèîííîé ïîçèöèè,à ïðèáûëü ïî îïöèîííîé ïîçèöèè óáûòêè ïîðòôåëÿ, ò.å.
äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèåñàìîôèíàíñèðîâàíèÿ.2. Ñòîèìîñòü ïîðòôåëÿ â ìîìåíò èñïîëíåíèÿ îïöèîíà ðàâíÿëàñüCT ñòîèìîñòè îïöèîíàâ ìîìåíò ïîñòàâêè:CT = max{ST − K, 0},ãäåK óêàçàííàÿ â äîãîâîðå öåíà ïîñòàâêè.Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîðòôåëü áûë ñàìîôèíàíñèðóåìûì, çàòðàòû íà ïåðåáàëàíñèðîâêó ïîðòôåëÿ ïîëàãàþòñÿ ðàâíûìè äèâèäåíäàì ïî èìåþùèìñÿ â ïîðòôåëån àêöèÿì áàçîâîãî àêòèâà. ðåçóëüòàòå âñåõ ïðåîáðàçîâàíèé â [55] áûëî ïîëó÷åíî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, îïðåäåëÿþùåå ñòîèìîñòüV (St , t)õåäæèðóþùåãî ïîðòôåëÿ:1 ∂ 2 V 2 2 ∂V∂V+ (r − D)S − t− rV = 0.2 σ St +2 ∂St∂t∂St7(2)Ïðè ýòîì äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ êðàåâîå óñëîâèåV (St , T ) = max(St − K, 0).(3)Äëÿ ýòîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèåV (St , t).Ñóùåñòâîâàíèå åäèíñòâåííîãî ðåøåíèÿ îáåñïå÷èâàåò ñóùåñòâîâàíèå èåäèíñòâåííîñòü ðåøåíèén(St , t) =∂V∂Stm(∆t, t) = ert (V (St , t) − n(St , t))St .Ñôîðìèðîâàííûéòàêèì îáðàçîì õåäæèðóþùèé ïîðòôåëü îáåñïå÷èâàåò òî÷íîå êîïèðîâàíèå âûïëàò ïî îïöèîííîìó êîíòðàêòó.
Äëÿ èçáåæàíèÿ âîçìîæíîñòè àðáèòðàæà ñëåäóåò ïðèðàâíÿòü ñòîèìîñòüîïöèîíà íà ìîìåíò âðåìåíètè õåäæèðóþùåãî ïîðòôåëÿ:C = V (St , t).Òàêèì îáðàçîì, öåíà îïöèîíà çàâèñèò îòïîñòàâêèàêöèèαSt , r, σ 2 (St , t),âðåìåíè æèçíè îïöèîíàTè öåíûK . Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ñòîèìîñòü îïöèîíà íå çàâèñèò îò îæèäàåìîé äîõîäíîñòèè îò ïðåäïî÷òåíèé èíâåñòîðà.
Ýòè ðåçóëüòàòû äàþò âîçìîæíîñòü àíàëèòè÷åñêîãîðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2).Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2) ñ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì (3) áûëî ïîëó÷åíî â 1973 Ô. Áëýêîì è Ì.Øîóëñîì. Ïîëó÷åííàÿ â ðåçóëüòàòå îöåíêà ñòîèìîñòè åâðîïåéñêîãî êîëë-îïöèîíà ïîëó÷èëàíàçâàíèå ôîðìóëà Áëýêà-Øîóëñà. Äëÿ åå ïîëó÷åíèÿ áûëî ñäåëàíî äîïîëíèòåëüíîå ïðåäïîëîæåíèå î òîì, ÷òî íà àêöèè áàçîâîãî àêòèâà íå âûïëà÷èâàåòñÿ íèêàêèõ äèâèäåíäîâ. Ïðèýòîì ïðåäïîëîæåíèè óðàâíåíèå (2) ñâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ1 ∂ 2 C 2 2 ∂C∂C+ rS − t− rC = 0,2 σ St +2 ∂St∂t∂Stñ ãðàíè÷íûì óñëîâèåìCT = max(ST − K, 0),ïðè0 ≤ t ≤ T ; 0 ≤ St < +∞.Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ äàåò îöåíêó âåëè÷èíû ïðåìèè êîëë-îïöèîíà ñ öåíîé ïîñòàâêèñòîèìîñòüþ áàçîâîãî àêòèâà íà ìîìåíò çàêëþ÷åíèÿ êîíòðàêòàS0 ,K,ñòàâêîé äîõîäíîñòè áåç-ðèñêîâîãî àêòèâàrσ . Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ çàäàåòñÿ ñëåäóþùåé ôîðìóëîé:ln(S0 /Ke−rt ) + σ 2 t/2ln(S0 /Ke−rt ) − σ 2 t/2−rt√√C(S0 , t, r, σ, K) = S0 · Φ0− Ke · Φ0, (4)σ tσ tt òåêóùååR∞ − z2√1e 2 dz .2π 0âðåìÿ, îòñ÷èòûâàåìîå íàçàä îò ñðîêà èñïîëíåíèÿ êîíòðàêòà, àãäåè âîëàòèëüíîñòüþΦ0 (z) =Òåêóùåå âðåìÿ è öåíà áàçîâîãî àêòèâà íàçûâàþòñÿ ïåðåìåííûìè ñîñòîÿíèÿ, â òî âðåìÿêàê îñòàëüíûå ïåðåìåííûå ôèêñèðîâàííûå ïàðàìåòðû ìîäåëè.8Äàëüíåéøåå ðàçâèòèå ðàáîòà ïîëó÷èëà â òðóäàõ Äæ.
Êîêñà, Ð. Ðîññà, Ì. Ðóáèíøòåéíà [59]. Îíè ðàññìîòðåëè â êà÷åñòâå ìîäåëè äèíàìèêè öåíû áàçîâîãî àêòèâà ìîäåëü ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì, à èìåííî, áèíîìèàëüíóþ ìîäåëü êîòèðîâêè, äëÿ êîòîðîé ãåîìåòðè÷åñêîåáðîóíîâñêîå äâèæåíèå ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé ìîäåëüþ, ïðè øàãå ðàçáèåíèÿ, ñòðåìÿùåìñÿ êíóëþ:Sn+1 = Sn (1 + ρn+1 ),ãäåρn+1 =u − 1,ñ âåðîÿòíîñòüþPd − 1,ñ âåðîÿòíîñòüþ1 − P.Òàêàÿ ìîäåëü ïåðåõîäèò â (1) ïðè óìåíüøåíèè øàãà äèñêðåòèçàöèè.
Ïðè ýòîì áûëè ñäåëàíûñëåäóþùèå ïðåäïîëîæåíèÿ:1. Ðûíêè îïöèîíîâ, àêöèé è áåçðèñêîâûõ àêòèâîâ óäîâëåòâîðÿþò ïðåäïîëîëæåíèþ 1 ìîäåëè Áëýêà-Øîóëñà (èäåàëüíû).2. Äîõîäíîñòü áåçðèñêîâûõ àêòèâîâ ïîñòîÿííà íà ïðîòÿæåíèè âðåìåíè æèçíè îïöèîíà.3. Íà àêöèè áàçîâîãî àêòèâà íå íà÷èñëÿåòñÿ äèâèäåíäîâ íà ïðîòÿæåíèè âðåìåíè æèçíèîïöèîíà.Ýòè îãðàíè÷åíèÿ îáåñïå÷èâàþò òîæäåñòâåííîñòü àìåðèêàíñêîãî è åâðîïåéñêîãî îïöèîíîâ(ðàííåå èñïîëíåíèå àìåðèêàíñêîãî îïöèîíà íåîïòèìàëüíî).Ïóñòürîïðåäåëÿåò ñòàâêó áåçðèñêîâîãî àêòèâà íà ïðîòÿæåíèè âðåìåíè æèçíè îïöèîíà,è ïóñòü âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåu > r > d.Âûïîëíåíèå äàííîãî íåðàâåíñòâà èñêëþ÷àåòâîçìîæíîñòü àðáèòðàæà, ò.å. ïîëó÷åíèÿ ïðèáûëè áåç ðèñêà.Äëÿ âûâîäà îöåíêè ñòîèìîñòè êîëë-îïöèîíà â ðàáîòå ñïåðâà ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðîñòåéøàÿ ñèòóàöèÿ, êîãäà äî èñòå÷åíèÿ âðåìåíè æèçíè îïöèîíà îñòàåòñÿ îäèí ïåðèîä âðåìåíè.Ñïðàâåäëèâàÿ öåíà îïöèîíà îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñòîèìîñòü ñàìîôèíàíñèðóåìîãî õåäæèðóþùåãî ïîðòôåëÿ.
 ïðîñòåéøåì ñëó÷àå ñïðàâåäëèâàÿ öåíà îïöèîíà ïîëó÷àåòñÿ ðàâíîéC = [pCu + (1 − p)Cd ]/r,ãäåp,r−d, àu−dCuèCd(5) ñòîèìîñòè îïöèîíîâ â ìîìåíò èñòå÷åíèÿ ñðîêà äåéñòâèÿ, êîãäà öåíàáàçîâîãî àêòèâà ìåíÿåòñÿ ñ óðîâíÿSäîuSèdSñîîòâåòñòâåííî:Cu = max(0, uS − K),Cd = max(0, dS − K).9Ñòîèò îòìåòèòü, ÷òî âåðîÿòíîñòüPíå ôèãóðèðóåò â âûðàæåíèè (5). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äà-æå åñëè èíâåñòîðû èìåþò ðàçëè÷íûå ïðåäñòàâëåíèÿ î âåðîÿòíîñòè äàëüíåéøåãî ðîñòà èëèïàäåíèÿ öåíû àêòèâà, èõ îöåíêè ñòîèìîñòè îïöèîííîãî êîíòðàêòà áóäóò ñîãëàñîâàíû.Ñ ïîìîùüþ ðåêóðñèâíîé ïðîöåäóðû îïðåäåëÿåòñÿ ñòîèìîñòü îïöèîíà ñ ïðîèçâîëüíûìêîëè÷åñòâîì âðåìåííûõ ïåðèîäîâ äî åãî èñòå÷åíèÿ. Íà÷èíàÿ ñ ìîìåíòà èñòå÷åíèÿ è âåäÿîòñ÷åò â îáðàòíîì âðåìåíè, ìîæíî ïîëó÷èòü ôîðìóëó öåíû îïöèîíà äëÿ ëþáîãîhPnj=aC=n!j!(n−j)!C = Sn Xj=an!j!(n − j)!ipj (1 − p)n−j (uj dn−j S − K).rnÏîëó÷åííîå âûðàæåíèå äëÿ ñòîèìîñòè"pj (1 − p)n−jCn:(6)îïöèîíà ìîæíî ðàçäåëèòü íà äâå ÷àñòè:uj dn−jrn#"− Kr−nn Xj=an!j!(n − j)!#pj (1 − p)n−j .Çíà÷åíèÿ â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ ìîãóò áûòü èíòåðïðåòèðîâàíû êàê çíà÷åíèÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ áèíîìèàëüíîãî çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
