Диссертация (786344), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Äèíàìè÷åñêîå ïðîãðàììèðîâàíèåÓñòàíîâèì âîçìîæíîñòü ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (3.10). Äëÿ ýòîãî ïðèâåäåì íåîáõîäèìûå îïðåäåëåíèÿ:Î ï ð å ä å ë å í è å 1. Äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ ìàðêîâñêîé, åñëè åå ïîâåäåíèå âáóäóùåì íå çàâèñèò îò ïðîøëîãî è ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ òåêóùèì ñîñòîÿíèåì ñèñòåìû.Î ï ð å ä å ë å í è å 2.

Óïðàâëåíèåuε (·) íàçûâàåòñÿ ε-îïòèìàëüíûì,(Φ∗0 + ε ïðè Φ∗0 > −∞,Φ0 (uε (·)) ≤− 1ε ïðè Φ∗0 = −∞,ãäåΦ∗0åñëè îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå êðèòåðèÿ.Î ï ð å ä å ë å í è å 3. ÎïåðàòîðñòâóåòGíàçûâàåòñÿ ìîíîòîííûì, åñëè äëÿ ëþáîãîδ>0ñóùå-a > 0:G[Φi (zi ) + δ] ≤ G[Φi (zi )] + aδ.Ñïðàâåäëèâà òåîðåìà [2]:Ò å î ð å ì à 7. ÏóñòüN ãîðèçîíò äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû è ïóñòü âûïîëíåíû ñëåäóþ-ùèå óñëîâèÿ:(i)Φ(zN +1 ) > −∞;(ii) äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ ìàðêîâñêîé;(iii) îïåðàòîð(iv)G[·]ui (zi ) ∈ Ui ,ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííûì;òî åñòü âåäåòñÿ ïîèñê óïðàâëåíèÿ â êëàññå ïîçèöèîííûõ óïðàâëåíèé ñãåîìåòðè÷åñêèìè îãðàíè÷åíèÿìè;òîãäà â çàäà÷å ìèíèìèçàöèèΦ0 (u) = G[Φ(zN +1 )] → minu∈Uñóùåñòâóåò èçìåðèìàÿε-îïòèìàëüíàÿñòðàòåãèÿuε ,îïðåäåëÿåìàÿ ñ ïîìîùüþ ìåòîäàäèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ.Êàê áûëî ïîêàçàíî ðàíåå, âåêòîðûX1èX2ñëó÷àéíûõ ïàðàìåòðîâ íà ïåðâîì è âòîðîìøàãå íåçàâèñèìû ìåæäó ñîáîé, ñëåäîâàòåëüíî ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ ìàðêîâñêîé.

Ìàòåìàòè÷åñêîåîæèäàíèå ÿâëÿåòñÿ àääèòèâíûì ìàðêîâñêèì îïåðàòîðîì, ïîñêîëüêó åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòüâ âèäå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âëîæåííûõ óñëîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé, à ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñóììû ñîâïàäàåò ñ ñóììîé ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ñëàãàåìûõ, åñëè ñëàãàåìûå íå ðàâíû∞ èëè −∞. Òàêèì îáðàçîì, ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííûì73îïåðàòîðîì ñ êîíñòàíòîéa = 1.Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ïîèñêà îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ â çà-äà÷å ìèíèìèçàöèè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ òåðìèíàëüíîé ôóíêöèè (â äàííîì ñëó÷àå,ñóììàðíûõ ïîòåðü ïðè õåäæèðîâàíèè) ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí ìåòîä äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ.

Çàïèøåì îñíîâíûå ñîîòíîøåíèÿ ìåòîäà äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ:Φi (zi ) = inf M[Φi+1 (zi+1 )|zi ], i = 1, 2;ui ∈UiΦ3 (z3 ) =Φ(z3 ),Φi (zi )ãäå ôóíêöèÿ áóäóùèõ ïîòåðü, ò.å. íàèìåíüøåå çíà÷åíèå êðèòåðèÿ â (3.10), êîòî-ðîå ìîæåò áûòü äîñòèãíóòî ïðè îïòèìàëüíîì óïðàâëåíèè ñèñòåìîé, íà÷èíàÿ ñòåêóùåãî ñîñòîÿíèÿi-ãîøàãà èçzi .3.4. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ôóíêöèè áóäóùèõ ïîòåðüÄëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (3.10) íåîáõîäèìî íàéòè óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ôóíêöèè áóäóùèõ ïîòåðü íà ïîñëåäíåì øàãå. Ýòî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå îïðåäåëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùåé òåîðåìû:Ò å î ð å ì à 8. Åñëè ôóíêöèÿ ïîòåðü íà âòîðîì øàãå îïðåäåëÿåòñÿ ñîãëàñíî (3.9), à âåêòîðX2ñëó÷àéíûõ ïàðàìåòðîâ íà âòîðîì øàãå îïðåäåëÿåòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ (3.7), òîóñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ôóíêöèè áóäóùèõ ïîòåðü íà ïîñëåäíåì øàãå ðàâíîµµM[Φ(z3 )|z2 ] = L2 − u22 e(u2 , z2 ) − u2 e(u2 , z2 ) V2 ϕ(z2 ) − u2 µ(T − t2 ) − u2 (1 − e(u2 , z2 ))d2 + d3 ,λλ(3.11)ãäåK − S2 − µ(T − t2 )√σ T − t2ϕ(z2 ) , Φ− |uλ | (T −t2 )e(u2 , z2 ) , em+23m−232,,√(K−S2 −µ(T −t2 ))2σ T − t2−2σ 2 (T −t2 ), µ(T − t2 ) + √e,2π (1 − ϕ(z2 ))√−t2 ))2σ T − t2 − (K−S2σ22−µ(T(T−t2)e,, µ(T − t2 ) − √2πϕ(z2 )d2 , r(S2 + m+23 )(1 − ϕ(z2 )),−d3 , (V − V2 )(1 + r)(S2 + m+23 ) − V K (1 − ϕ(z2 )) − V2 (S2 + m23 )ϕ(z2 ).Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î ò å î ð å ì û 8.

Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ôóíêöèèïîòåðü íà ïîñëåäíåì øàãå, à, ñëåäîâàòåëüíî, è ôóíêöèè áóäóùèõ ïîòåðü íà ïîñëåäíåì øàãå,ñïåðâà íàéäåì óñëîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èíïðè óñëîâèè, ÷òî â ìîìåíò èñòå÷åíèÿ ñðîêà æèçíè îïöèîíàîêàçàëàñü íèæå èëè âûøå óðîâíÿ öåíû ïîñòàâêè74K.TXi2èXi3 , i = 1, 2,öåíà áàçîâîãî àêòèâàSi + Xi3Xi2Xi3öåíû áàçîâîãî àêòèâà ðàâíûÄëÿ ëþáîé íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûX ∼ N (m; σ 2 ) óñëîâíàÿ ïëîò-Áåçóñëîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ âåëè÷èíèñîîòâåòñòâåííîµM[Xi2 ] = µM[τi ] = ui ,λM[Xi3 ] = µ(T − ti ).Xi3Äèñïåðñèÿ ïðèðàùåíèÿðàâíà:D[Xi3 ] = σ 2 (T − ti ).íîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè óñëîâèè, ÷òî åå ðåàëèçàöèÿ íå ïðåâîñõîäèò çàäàííûé óðîâåíüK,ðàâíàfX (x|X < K) =√ 1−(x−m)22σ 2e2πσ Φ( K−mσ ),0,ãäåΦ(z) =√12πRzïðèx < K;ïðèx ≥ K.x2e− 2.−∞Ñëåäîâàòåëüíî, óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ÑÂXïðè óñëîâèèX<KðàâíîZKM[X|X < K] =xfX (x|X < K)dx =−∞1= √2πZKx−meσ(x−m)2−2σ 2−∞mdx + √2πσZK(x−m)2−2σ 2edx /ΦK −mσ=−∞(K−m)2σ−2σ 2=m− √e.2πΦ K−mσÀíàëîãè÷íî, óñëîâíàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûóñëîâèè, ÷òî åå ðåàëèçàöèÿ íå ìåíüøå óðîâíÿfX (x|X > K) =K,(3.12)X ∼ N (m; σ 2 )ïðèçàäàåòñÿ âûðàæåíèåì0,(x−m)2−2σ 2e1 √2πσ,1−Φ( K−mσ )Ñëåäîâàòåëüíî, óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ÑÂïðèx < K;ïðèx ≥ K.Xïðè óñëîâèèX≥KðàâíîZ∞xfX (x|X ≥ K)dx =M[X|X ≥ K] =1= √2πKZ∞Kx−meσ(x−m)2−2σ 2mdx + √2πσZ∞(x−m)2−2σ 2eK−m=dx / 1 − ΦσK=m+ √75σ2π 1 − Φ e−K−mσ(K−m)22σ 2.(3.13)Íà îñíîâàíèè ôîðìóë (3.12)(3.13) ïîëó÷àåì, ÷òî√(K−Si −µ(T −ti ))2σ T − ti−2σ 2 (T −ti )eM[Xi3 |Xi3 < K − Si ] = µ(T − ti ) − √,K−Si −µ(T −ti )√2πΦσ T −ti√(K−Si −µ(T −ti ))2σ T − ti−2σ 2 (T −ti ) eM[Xi3 |Xi3 ≥ K − Si ] = µ(T − ti ) + √ .K−Si −µ(T −ti )√2π 1 − Φσ T −tiÍàéäåì òåïåðü óñëîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûðàññìîòðåòü òîëüêî ñëó÷àé, êîãäà(3.14)(3.15)Xi2 .

Íåîáõîäèìîτi > T −ti .  ñèëó íåçàâèñèìîñòè ïðèðàùåíèé âèíåðîâñêîãîïðîöåññà è ñîîòíîøåíèÿ (3.7), ïîëó÷àåìM[Xi2 |Xi3 < K − Si , τi > T − ti ] = M[Xi3 |Xi3 < K − Si ] + µM[τi + ti − T |τi > T − ti ] =µ= M[Xi3 |Xi3 < K − Si ] + ui , (3.16)λãäåM[Xi3 |Xi3 < K − Si ]îïðåäåëÿåòñÿ ñîãëàñíî (3.14).Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ïîëó÷àåìM[Xi2 |Xi3 ≥ K − Si , τi > T − ti ] = M[Xi3 |Xi3 ≥ K − Si ] + µM[τi + ti − T |τi > T − ti ] =µ= M[Xi3 |Xi3 ≥ K − Si ] + ui , (3.17)λãäåM[Xi3 |Xi3 ≥ K − Si ]îïðåäåëÿåòñÿ ñîãëàñíî (3.15).Òåïåðü ìû ìîæåì ïåðåéòè íåïîñðåäñòâåííî ê âû÷èñëåíèþ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿôóíêöèè áóäóùèõ ïîòåðü íà âòîðîì øàãå.  ñîîòâåòñòâèè ñ îïèñàííîé âûøå ìîäåëüþ, ïîëó÷àåìM[Φ(z3 )|z2 ] = M[z2 + g2 (z2 , u2 , x2 )] = z2 + M[g2 (z2 , u2 , x2 )].Âòîðîå ñëàãàåìîå ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì ïîòåðü íà ïîñëåäíåì øàãå ïðè óïðàâëåíèèu2 .

Ïîñêîëüêó óñëîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ïðèðàùåíèé ïðîöåññà öåíîîáðàçî-âàíèÿ íàì èçâåñòíû, ìû ìîæåì íàéòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ôóíêöèè ïîòåðü íà ïîñëåäíåì øàãå:M[g2 (z2 , u2 , x2 )] == M[u2 S2 − (V2 + u2 )(S2 + x22 )|τ2 > T − t2 , S2 + x23 < K] · P{τ2 > T − t2 , S2 + x23 < K}++ M[u2 S2 − u2 (S2 + x22 ) + (V − V2 )(S2 + x23 )(1 + r) − V K|τ2 > T − t2 , S2 + x23 ≥ K]·· P{τ2 > T − t2 , S2 + x23 ≥ K} + M[u2 S2 − (V1 + u2 )(S2 + x23 )|τ2 ≤ T − t2 , S2 + x23 < K]·· P{τ2 ≤ T − t2 , S2 + x23 < K}++ M[u2 S2 + (V − V2 − u2 )(S2 + x23 )(1 + r) − V K|τ2 ≤ T − t2 , S2 + x23 ≥ K]·· P{τ2 ≤ T − t2 , S2 + x23 ≥ K}.76(3.18)Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå â ïåðâîì ñëàãàåìîì ðàâíîM[u2 S2 − (V2 + u2 )(S2 + x22 )|τ2 > T − t2 , S2 + x23 < K] = u2 S2 −− (V2 + u2 )M[S2 + x22 |τ2 > T − t2 , S2 + x23 < K] = u2 S2 −− (V2 + u2 )M[S2 + x23 |S2 + x23 < K] − (V2 + u2 )µM[t2 + τ2 − T |τ2 > T − t2 ] == u2 S2 − µu2 (V2 + u2 )− (V2 + u2 )(S2 + M[x23 |x23 < K − S2 ]),λ(3.19)ãäå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå â ïîñëåäíåì ñëàãàåìîì îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (3.14).Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå âî âòîðîì ñëàãàåìîì ðàâíîM[u2 S2 −u2 (S2 +x22 )+(V −V2 )(S2 +x23 )(1+r)−V K|τ2 > T −t2 , S2 +x23 ≥ K] = u2 S2 −V K−− u2 M[S2 + x22 |S2 + x23 ≥ K] + (V − V2 )(1 + r)M[S2 + x23 |S2 + x23 ≥ K] == u2 S2 −V K −u2 µM[t2 +τ2 −T |τ2 > T −t2 ]+((V − V2 )(1 + r) − u2 ) M[S2 +x23 |S2 +x23 ≥ K] == u2 S2 − V K − µu22+ ((V − V2 )(1 + r) − u2 )(S2 + M[x23 |x23 ≥ K − S2 ]),λ(3.20)ãäå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå â ïîñëåäíåì ñëàãàåìîì îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (3.15).Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå â òðåòüåì ñëàãàåìîì, ó÷èòûâàÿ ñîîòíîøåíèå (3.16), ðàâíîM[u2 S2 − (V2 + u2 )(S2 + x23 )|τ2 ≤ T − t2 , S2 + x23 < K] == u2 S2 − (V2 + u2 )(S2 + M[x23 |x23 < K − S2 ]),(3.21)ãäå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå â ïîñëåäíåì ñëàãàåìîì îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (3.14).Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå â ÷åòâåðòîì ñëàãàåìîì, ó÷èòûâàÿ ñîîòíîøåíèå (3.17), ðàâíîM[u2 S2 + (V − V2 − u2 )(S2 + x23 )(1 + r) − V K|τ2 ≤ T − t2 , S2 + x23 ≥ K] == u2 S2 − V K + (V − V2 − u2 )(1 + r)(S2 + M[x23 |x23 ≥ K − S2 ]),(3.22)ãäå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå â ïîñëåäíåì ñëàãàåìîì îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (3.15).Âåðîÿòíîñòü â ïåðâîì ñëàãàåìîì ðàâíà− |uλ | (T −t2 )p1 , P{τ2 > T − t2 , S2 + x23 < K} = e2·ΦK − S2 − µ(T − t2 )√σ T − t2.(3.23)Âåðîÿòíîñòü âî âòîðîì ñëàãàåìîì ðàâíà− |uλ | (T −t2 )p2 , P{τ2 > T − t2 , S2 + x23 ≥ K} = e2· 1−ΦK − S2 − µ(T − t2 )√σ T − t2.(3.24).(3.25)Âåðîÿòíîñòü â òðåòüåì ñëàãàåìîì ðàâíàp3 , P{τ2 ≤ T − t2 , S2 + x23 < K} = 1 − e− |uλ | (T −t2 )772·ΦK − S2 − µ(T − t2 )√σ T − t2Âåðîÿòíîñòü â ÷åòâåðòîì ñëàãàåìîì ðàâíàp4 , P{τ2 ≤ T −t2 , S2 +x23 ≥ K} = 1 − e− |uλ | (T −t2 )2K − S2 − µ(T − t2 )√· 1−Φ.σ T − t2(3.26)Òàêèì îáðàçîì, ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ôóíêöèè ïîòåðü íà âòîðîì øàãå ïîëíîñòüþ îïðåäåëåíî.

Характеристики

Список файлов диссертации