Диссертация (786344), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Êàê áûëî ñêàçàíî ðàíåå, ðåøåíèå çàäà÷è (2.1) ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìèíèìàëüíîé ïðåìèè çà îïöèîí. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (2.1) íå òðåáó-50åòñÿ íèêàêèõ ñâåäåíèé î äâèæåíèè êóðñà áàçîâîãî àêòèâà â òå÷åíèå âðåìåíè æèçíè îïöèîíà.Òàêèì îáðàçîì, ñðàçó ïîñëå çàêëþ÷åíèÿ îïöèîííîãî êîíòðàêòà õåäæåð ìîæåò îïðåäåëèòüøèðèíó ïîëîñûd∗è äàëåå îñóùåñòâëÿòü õåäæèðîâàíèå îïöèîííîé ïîçèöèè â ñîîòâåòñòâèè ñîïèñàííîé ñòðàòåãèåé. Ðàñïðåäåëåíèå ïîòåðü õåäæåðàìîìåíòàτL(d) â ñâîþ î÷åðåäü áóäåò çàâèñåòü îòäîñòèæåíèÿ êóðñîì áàçîâîãî àêòèâà óðîâíÿ öåíû ïîñòàâêè.
Åñëè â òå÷åíèå âðåìå-íè æèçíè îïöèîíà óðîâåíü öåíû ïîñòàâêè íå áûë äîñòèãíóò, òî îïöèîí íå áóäåò èñïîëíåí èõåäæèðîâàíèå íå ïðîèçâîäèòñÿ, åñëè æå ðûíî÷íàÿ öåíà àêòèâà ñòàëà ðàâíîé öåíå ïîñòàâêè âìîìåíò âðåìåíè t0 , òî õåäæåð, ðåøèâ çàäà÷ó (2.3), ìîæåò íàéòè íîâîå îïòèìàëüíîå çíà÷åíèåøèðèíû ïîëîñûd∗ (t0 ), ïðè ýòîì ñðåäíèå ïîòåðè çà îñòàâøååñÿ âðåìÿ T − t0÷åì ïðè ñòàðîì çíà÷åíèè øèðèíå ïîëîñûd∗ .ñðåäíèå çàòðàòû íà õåäæèðîâàíèå çà âðåìÿÂåëè÷èíàT − t0 ,L(d∗ (t0 ), t0 )áóäóò íå áîëüøå,áóäåò õàðàêòåðèçîâàòüâ òå÷åíèå êîòîðîãî îïöèîí ìîæåò áûòüïðåäúÿâëåí.×èñëåííûå ðàñ÷åòû ïîêàçûâàþò, ÷òî óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïîòåðü õåäæåðàL(d, t0 ),ðàññìàòðèâàåìîå êàê ôóíêöèÿ ïàðàìåòðàáåçóñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïîòåðüd,L(d).îáëàäàåò òåìè æå ñâîéñòâàìè, ÷òî èÝòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è(2.3) òàêæå ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí ìåòîä äèõîòîìèè.Ïîñêîëüêó, êàê áûëî ñêàçàíî ðàíåå, çíà÷åíèå âåëè÷èíû ñðåäíèõ ïîòåðü íå ìîæåò áûòüâû÷èñëåíî òî÷íî, äëÿ õåäæåðà, îñóùåñòâèâøåãî ïðîäàæó êîëë-îïöèîíà àìåðèêàíñêîãî òèïà,ìîæåò áûòü ïðåäëîæåí ÷èñëåííûé àëãîðèòì îöåíêè ñðåäíèõ ïîòåðü ïðè çàäàííîé øèðèíåïîëîñû íå÷óâñòâèòåëüíîñòèd.Äàííàÿ îöåíêà òàêæå ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà ïðè ïîèñêåîïòèìàëüíîé øèðèíû ïîëîñû íå÷óâñòâèòåëüíîñòè.À ë ã î ð è ò ì 1.1.
Çàäàòü âåëè÷èíûdmax , α, 0 < ε 1.2. Çàäàòü èëè îïðåäåëèòü ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûíèÿ ïðè ïåðåñå÷åíèè p(d).∗−3. Íàéòè m , min{m : P{ηm∈Nâû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (1.29).≥ m|τ = 0} < ε},ζè âåðîÿòíîñòü èñïîëíå-ãäå ñîîòâåòñòâóþùàÿ âåðîÿòíîñòü4. Âû÷èñëèòü ñðåäíèå ïîòåðè õåäæåðà ïî ôîðìóëå (2.2), èñïîëüçóÿ âåëè÷èíóm∗â êà÷å-ñòâå âåðõíåãî ïðåäåëà ñóììèðîâàíèÿ. ðåçóëüòàòå ðàáîòû äàííîãî àëãîðèòìà ñòðîèòñÿ íèæíÿÿ îöåíêà âåëè÷èíû ñðåäíèõ ïîòåðü.Ýòà îöåíêà áóäåò ñòðåìèòüñÿ ê òî÷íîìó çíà÷åíèþL(d)ïðèε → 0.2.1.4. Ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâÏ ð è ì å ð 1.
Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå ïðèìåðà çàäà÷ó (2.1) ñî ñëåäóþùèìè çíà÷åíèÿìèïàðàìåòðîâ:S = 19ó.å,K = 20ó.å,T = 40äíåé,µ = 0, 01, σ = 0, 1, θ = 0, 01.51Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî öåíàáàçîâîãî àêòèâà ïðè äîñðî÷íîì èñïîëíåíèè ñëó÷àéíà è ðàâíàζK + ζ,ãäå ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíàèìååò ñëåäóþùóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ:1,1 − e−0,3sFζ (s) =,1 − e−6d0,åñëès > 20d,åñëè0 ≤ s ≤ 20d,åñëès < 0.È ïóñòü èñïîëíåíèå îïöèîíà ïðè êàæäîì ïåðåñå÷åíèè ïðîèñõîäèò ñ âåðîÿòíîñòüþp(d) = 1 − e−6d .Ãðàôèê çàâèñèìîñòè áåçóñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïðèâåäåí íà ðèñóíêå 2.1.Ðèñ.
2.1. çàâèñèìîñòü ñðåäíèõ ïîòåðü îò øèðèíû ïîëîñû.d∗ = 0, 055.L(0, 055) = 1, 79Îïòèìàëüíàÿ øèðèíà ïîëîñû â äàííîì ñëó÷àå ðàâíàÎæèäàåìûå ïîòåðè õåäæåðà ïðè ýòîì ñîñòàâÿòó.å.Èç ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ ñëåäóåò, ÷òî îïòèìàëüíàÿ øèðèíà ïîëîñû íå÷óâñòâèòåëüíîñòèñîïîñòàâèìà ñ âåëè÷èíîé êîìèññèîííûõ èçäåðæåê. Âåëè÷èíà ñðåäíèõ çàòðàò íà õåäæèðîâàíèå, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà äëÿ îöåíêè ïðåìèè çà îïöèîí, ñóùåñòâåííî ìåíüøåñòîèìîñòè áàçîâîãî àêòèâà, ÷òî âïîëíå ñîîòâåòñòâóåò ðåàëüíûì äàííûì, à òàêæå ðàñ÷åòàìñòîèìîñòè àìåðèêàíñêîãî îïöèîíà, ïðîâåäåííûõ ñ ïîìîùüþ ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî.
Îäíàêîñòîèò îòìåòèòü, ÷òî ïîëó÷åííàÿ âåëè÷èíà ñðåäíèõ çàòðàò íà õåäæèðîâàíèå ñóùåñòâåííîïðåâûøàåò ñðåäíèå çàòðàòû â ñëó÷àå ëèíåéíîé ìîäåëè öåíîîáðàçîâàíèÿ, ïîëó÷åííûå â [24],êîãäà èçìåíåíèå öåíû áàçîâîãî àêòèâà îïèñûâàåòñÿ âèíåðîâñêèì ïðîöåññîì ñ ëèíåéíûì ñíîñîì. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ïðîöåññ ãåîìåòðè÷åñêîãî áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ ïðè áëèçêèõê óêàçàííûì çíà÷åíèÿì ïàðàìåòðîâ èìååò ñóùåñòâåííî áîëüøóþ âàðèàöèþ, ïî ñðàâíåíèþ ñâèíåðîâñêèì ïðîöåññîì ñ ëèíåéíûì ñíîñîì.52Çàâèñèìîñòü óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿæå õàðàêòåð, êàê èL(d),L(d, t0 )îò ïàðàìåòðàèìååò òàêîéíî âåëè÷èíà óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïðåâûøàåò áåç-óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå äëÿ ëþáîãîd > 0ïðèS < K.Ïðèçíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ, îæèäàåìûå óñëîâíûå ïîòåðè õåäæåðà ñîñòàâÿòìàëüíîé øèðèíå ïîëîñûdd∗ (10) = 0, 045.t0 = 101, 8385è òåõ æåó.å.
ïðè îïòè-Âåëè÷èíà áåçóñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿïîòåðü îêàçûâàåòñÿ ìåíüøå óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, ïîñêîëüêó â ñîîòíîøåíèè(2.2) íå âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå íîðìèðîâêè, ò.å.ZTfτ (t0 , S, K) dt0 < 1.0Ôèçè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñ íåíóëåâîé âåðîÿòíîñòüþ õåäæåð íå ïîíåñåò íèêàêèõ ïîòåðü âñëó÷àå, êîãäà ðûíî÷íàÿ öåíà áàçîâîãî àêòèâà íå äîñòèãàåò óðîâíÿ öåíû ïîñòàâêè çà âðåìÿæèçíè îïöèîíà è îïöèîí íå ïðåäúÿâëÿåòñÿ. Óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ, êîãäà óðîâåíü öåíû ïîñòàâêè áûë äîñòèãíóò â òå÷åíèå âðåìåíè æèçíè îïöèîíà èîïöèîí ìîã áûòü ïðåäúÿâëåí.2.2. Ðàñïðåäåëåíèå ïîòåðüÊðèòåðèé â ôîðìå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïîòåðü ïîäõîäèò äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñïðàâåäëèâîé öåíû îïöèîíà, îäíàêî îí íå ó÷èòûâàåò ðàçáðîñ ðåàëèçàöèé âåëè÷èíû ïîòåðü îòíîñèòåëüíî ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ, à çíà÷èò íå ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ îöåíêè îáúåìà ñðåäñòâ,íåîáõîäèìûõ äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ ìîäèôèöèðîâàííîé ñòðàòåãèè ïîñëåäîâàòåëüíîãî õåäæèðîâàíèÿ.Òðàäèöèîííî [17], â çàäà÷àõ ïðîåêòèðîâàíèÿ ýêîíîìè÷åñêèõ è òåõíè÷åñêèõ ñèñòåì â êà÷åñòâå êðèòåðèåâ êà÷åñòâà óïðàâëåíèÿ èñïîëüçóþòñÿ ôóíêöèÿ âåðîÿòíîñòè è ôóíêöèÿ êâàíòèëè.
Ïðè çàäàííîé ôóíêöèèL(d)ïîòåðü ôóíêöèÿ âåðîÿòíîñòè õàðàêòåðèçóåò âåðîÿòíîñòüòîãî, ÷òî ïîòåðè õåäæåðà íå ïðåâûñÿò çàäàííûé óðîâåíüϕ:Pϕ (d) , P{L(d) ≤ ϕ}.Ïàðàìåòð(2.8)ϕ çàäàåò äîïóñòèìûé óðîâåíü ïîòåðü.  êà÷åñòâå ïàðàìåòðà ϕ ìîæåò áûòü âûáðà-íà, íàïðèìåð, ïðåìèÿ çà îïöèîí, êîòîðóþ õåäæåð ïîëó÷àåò ïðè ïðîäàæå êîíòðàêòà.Ôóíêöèÿ êâàíòèëè õàðàêòåðèçóåò ïîðîã, êîòîðûé ïîòåðè õåäæåðà íå ïðåâûñÿò ñ çàäàííîéâåðîÿòíîñòüþα:ϕα (d) , min{ϕ : Pϕ (d) ≥ α},53ãäåα ∈ (0; 1).(2.9) ëèòåðàòóðå êâàíòèëü ðàñïðåäåëåíèÿ ïîòåðüϕα (d)òàêæå èçâåñòíà ïîä íàçâàíèåì VaR(Value-at-Risk) [79].Èñõîäÿ èç ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà óêàçàííûõ êðèòåðèåâ âîçíèêàþò çàäà÷è ìàêñèìèçàöèèôóíêöèè âåðîÿòíîñòè è ìèíèìèçàöèè ôóíêöèè êâàíòèëè:Pϕ (d) → max,dϕα (d) → min .dÌåòîäû è àëãîðèòìû ðåøåíèÿ çàäà÷ ìèíèìèçàöèè ôóíêöèè êâàíòèëè è ìàêñèìèçàöèè ôóíêöèè âåðîÿòíîñòè ïîäðîáíî ðàçîáðàíû â ìîíîãðàôèÿõ [17,20,83].
Ìåòîäàì ðåøåíèÿ ýòèõ çàäà÷ïîñâÿùåíû ðàáîòû [8, 19, 2123, 33] è ìíîãèå äðóãèå. Ïîäðîáíûé ðàçáîð ðàáîò ïî äàííîé òåìåâûõîäèò çà ðàìêè äàííîé äèññåðòàöèè.2.2.1. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïîòåðü õåäæåðàÍàéäåì âåðîÿòíîñòü òàêîãî ñîáûòèÿ, ÷òî ïîòåðè õåäæåðà íå ïðåâûñÿò çàäàííûé ïîðîãϕ,ò.å. íàéäåì ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ïîòåðü õåäæåðà.  ñèëó èçâåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ îáùåãî ÷èñëà ïåðåñå÷åíèéη+ + η−,çàäàâ ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èíνi ,ðàñïðåäåëåíèåöåíû äîñðî÷íîãî èñïîëíåíèÿζ,à òàêæå îïðåäåëèâ ðàñïðåäåëåíèå ìîìåíòà ïåðâîãî äîñòè-æåíèÿ óðîâíÿ öåíû ïîñòàâêèτ,óäàåòñÿ ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿâåëè÷èíûL(d),ò.å.
äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïîòåðü õåäæåðà (2.8):Pϕ (d) , P{L(d) ≤ ϕ}.Ýòà âåðîÿòíîñòü áóäåò çàâèñåòü îò øèðèíû ïîëîñûHè âðåìåíè æèçíè îïöèîíàT,èìîæåò áûòü âû÷èñëåíà ïî ôîðìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòèPϕ (d) =∞XP{L(d) ≤ ϕ|η + +η − = i}·P (i)+ 1 − P{L(d) ≤ ϕ|η + + η − = 0} (1−Fτ (T, S, K)),i=0(2.10)ãäåi êîëè÷åñòâî ïåðåñå÷åíèé ïîëîñûâåëè÷èíàóðîâíÿKH.P (0) ñêëàäûâàåòñÿ èç âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî öåíà S(t) áàçîâîãî àêòèâà íå äîñòèãíåòöåíû ïîñòàâêè çà âðåìÿíè îäíîãî ïåðåñå÷åíèÿ ïîëîñûH,Tæèçíè îïöèîíà, è âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî íå ïðîèçîéäåòåñëè óðîâåíüòåì, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå ñóììàðíûõ ïîòåðüóðîâíÿKÏîñëåäíåå ñëàãàåìîå âîçíèêàåò èç-çà òîãî, ÷òîöåíû ïîñòàâêè òðàåêòîðèåé öåíûL(d)S(t)54Káûë äîñòèãíóò çà âðåìÿçàâèñèò îò ìîìåíòàτT. ñâÿçè ñïåðâîãî äîñòèæåíèÿáàçîâîãî àêòèâà, âåðîÿòíîñòüPϕ (d)ìîæåòáûòü ïðåäñòàâëåíà êàêTPϕ (d) = 1 − Fτ (T, S, K) +∞ ZXP{L(d, t0 ) ≤ ϕ|η + + η − = i}P (i, t0 )fτ (t0 , S, K)dt0 ,(2.11)i=0 0Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå óñëîâíóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ïîòåðü ïðè óñëîâèè, ÷òî òðàåêòîðèÿ ïðîöåññàS(t)äîñòèãëà óðîâíÿêàêPϕ (d, t0 ) =∞XKöåíû ïîñòàâêè â ìîìåíò âðåìåíèt0 .Îáîçíà÷èì ååP{L(d, t0 ) ≤ ϕ|η + + η − = i}P (i, t0 ).(2.12)i=0Î÷åâèäíî, ÷òî ôóíêöèèPϕ (d)èPϕ (d, t0 )ñâÿçàíû ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèåì:ZTPϕ (d) = 1 − Fτ (T, S, K) +Pϕ (d, t0 )fτ (t0 , S, K)dt0 .(2.13)0Îáîçíà÷èì ôóíêöèè óñëîâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïîòåðü õåäæåðà, ñòîÿùèå ïîä çíàêîì ñóììûâ ôîðìóëå (2.10) êàêPϕ (d, i) , P{L(d) ≤ ϕ|η + + η − = i},(2.14)Pϕ (d, i, t0 ) , P{L(d, t0 ) ≤ ϕ|η + + η − = i}.(2.15)à â ôîðìóëå (2.11) êàêÔóíêöèèPϕ (d, i)èPϕ (d, i, t0 )ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ñîîòíîøåíèåìZTPϕ (d, i, t0 )fτ (t0 , S, K)dt0 .Pϕ (d, i) =(2.16)0Íàéäåì âûðàæåíèÿ äëÿ óñëîâíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿPϕ (d, i, t0 ).
Äëÿ ýòîãî ââåäåì îáî-çíà÷åíèÿ:ϕ i ∗ max{ϕ + K − k ∗ (ϕ)(ρ+ + ρ− ), K(1 + θ)},ϕ ,.k (ϕ) = +ρ + ρ−1+θ∗hÏðè êàæäîì ïåðåñå÷åíèè ñíèçó ââåðõ õåäæåð òðàòèò ñóììó, íå ïðåâîñõîäÿùóþðåñå÷åíèè ñâåðõó âíèç õåäæåð ïðîäàåò àêòèâ ïî öåíå ïîñòàâêèK(2.17)ρ+ , à íà ïå-äåðæàòåëþ îïöèîíà, åñëèîïöèîí áûë èñïîëíåí, ëèáî äðóãèì ó÷àñòíèêàì ðûíêà. Ñëåäîâàòåëüíî, â ðåçóëüòàòå äâóõïîñëåäîâàòåëüíûõ ïåðåñå÷åíèé ñíèçó ââåðõ è ñâåðõó âíèç õåäæåð çàòðà÷èâàåò ñóììó, íåïðåâûøàþùóþρ+ + ρ− .Ïðè ýòîì îòìåòèì, ÷òî åñëè õåäæåð ïðè äîñðî÷íîì èñïîëíåíèèîïöèîíà ïðèîáðåòàåò àêòèâ ïî ìèíèìàëüíî âîçìîæíîé öåíå, åãî äîïîëíèòåëüíûå ïîòåðè,áåç ó÷åòà ðàíåå ïðîèçâåäåííûõ çàòðàò, íå ìîãóò áûòü ìåíüøå ÷åìôèêñèðîâàííîìKθ.Òàêèì îáðàçîì, ïðèϕ, ÷èñëî k ∗ (ϕ) îïðåäåëÿåò äîïóñòèìîå êîëè÷åñòâî ïàð ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïå-ðåñå÷åíèé äî ìîìåíòà èñïîëíåíèÿ îïöèîíà, ïðè êîòîðîì ñóììàðíûå ïîòåðè ãàðàíòèðîâàííî55íå ïðåâîñõîäÿòϕ.Âåëè÷èíàϕ∗îïðåäåëÿåò ìàêñèìàëüíóþ öåíó ïîêóïêè áàçîâîãî àêòèâà,ïðè êîòîðîé ñóììàðíûå ïîòåðè, ñ ó÷åòîì óæå ïðîèçâåäåííûõ çàòðàò, íå ïðåâîñõîäÿòϕ.Ðàñ-ñìîòðèì 3 âîçìîæíûõ ñëó÷àÿ:1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
