Диссертация (786344), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Ñðåäíèå ïîòåðè õåäæåðàÂâåäåì îáîçíà÷åíèÿ ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ óñëîâíîãî è áåçóñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïîòåðü õåäæåðà:L(d) , M[L(d)],L(d, t0 ) , M[L(d)|τ = t0 ].ÔóíêöèÿL(d, t0 )îïðåäåëÿåò óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïîòåðü õåäæåðà ïðè óñëî-âèè, ÷òî ñòîèìîñòüíèt0 .S(t) áàçîâîãî àêòèâà äîñòèãëà óðîâåíü Köåíû ïîñòàâêè â ìîìåíò âðåìå-Ïîñòàâèì çàäà÷ó ìèíèìèçàöèè âåëè÷èíû ñðåäíèõ ïîòåðü õåäæåðà ïî øèðèíå ïîëîñûíå÷óâñòâèòåëüíîñòèd:L(d) →Ìàêñèìàëüíàÿ äîïóñòèìàÿ øèðèíà ïîëîñûmin0≤d≤dmaxdmax.(2.1)çàäàåòñÿ õåäæåðîì è çàâèñèò îò åãî ñêëîí-íîñòè ê ðèñêó, ðûíî÷íûõ îæèäàíèé è ñòîèìîñòè îïöèîíà.Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (2.1) íåîáõîäèìî çíàòü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå âåëè÷èíû ïîòåðüõåäæåðàL(d),èñïîëüçóþùåãî ìîäèôèöèðîâàííóþ ñòðàòåãèþ ïîñëåäîâàòåëüíîãî õåäæèðî-âàíèÿ.
Ðàñïðåäåëåíèå âåëè÷èíû ïîòåðü õåäæåðàL(d)çàâèñèò îò ìîìåíòà äîñòèæåíèÿ òðà-åêòîðèåé êóðñà áàçîâîãî àêòèâà óðîâíÿ öåíû ïîñòàâêè, ïîýòîìó ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå46âåëè÷èíû ïîòåðü ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ïîëíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå:Z∞L(d) =L(d, t0 )fτ (t0 , S, K) dt0 ,0ãäåfτ (t0 , S, K) ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûñîãëàñíî (1.28).  ñëó÷àå, êîãäàτâ òî÷êåt0 ,îïðåäåëÿåìàÿτ ≥ T , ò.å. êîãäà â òå÷åíèå âñåãî âðåìåíè æèçíè îïöèîíà ðû-íî÷íàÿ öåíà àêòèâà îñòàâàëàñü íèæå óðîâíÿ öåíû ïîñòàâêè, èñïîëíåíèå îïöèîíà íåâûãîäíîäåðæàòåëþ è õåäæåð (ïðîäàâåö îïöèîíà) íå íåñåò íèêàêèõ ïîòåðü, ò.å.L(d, t0 ) = 0.
Ñ ó÷åòîìýòîãî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïîòåðü õåäæåðà ìîæíî îïðåäåëèòü êàêZTL(d) =L(d, t0 )fτ (t0 , S, K) dt0 .(2.2)0Ñòîèò îòìåòèòü, ÷òî óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèåL(d, t0 )ïîòåðü õåäæåðà èìååòñâîé ýêîíîìè÷åñêèé ñìûñë: îíî ñîîòâåòñòâóåò âåëè÷èíå ñðåäíèõ ïîòåðü õåäæåðà çà âðåìÿ,îñòàâøååñÿ äî èñòå÷åíèÿ ñðîêà äåéñòâèÿ îïöèîíà ñ ìîìåíòà äîñòèæåíèÿ êóðñîì áàçîâîãîàêòèâà óðîâíÿ öåíû ïîñòàâêè, òî åñòü ñ ìîìåíòà, êîãäà îïöèîí ìîæåò áûòü èñïîëíåí.
Ïîýòîé ïðè÷èíå, íàðÿäó ñ çàäà÷åé (2.3) ìèíèìèçàöèè áåçóñëîâíûõ ñðåäíèõ ïîòåðü õåäæåðà, ìûðàññìîòðèì çàäà÷ó ìèíèìèçàöèè óñëîâíûõ ñðåäíèõ ïîòåðü:d∗ (t0 ) = argmin L(d, t0 ),t0 ∈ (0, T ).(2.3)0≤d≤dmaxÍàéäåì âûðàæåíèå äëÿ óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïîòåðü õåäæåðà. Ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèÿ (1.19) äëÿ ñóììàðíûõ ïîòåðü õåäæåðà óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïîòåðüõåäæåðà áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ âûðàæåíèåìL(d, t0 ) =∞Xk=0"P (k, t0 )MkX#lj −j=0∞X"2k+1Y=#(1 − νj ) K =P (2k + 1, t0 )Mj=1k=0∞ XkX!M[lj ]P (k, t0 ) −k=0 j=0∞X(1 − p(d))2k+1 KP (2k + 1, t0 ).(2.4)k=0Ïåðâîå ñëàãàåìîå ñîîòâåòñòâóåò ñðåäíèì çàòðàòàì õåäæåðà íà ïîêóïêó è ïðîäàæó áàçîâîãî àêòèâà õåäæåðîì ïðè ïåðåñå÷åíèÿõ ïîëîñûâðåìÿTHòðàåêòîðèåé öåíûS(t)áàçîâîãî àêòèâà çàæèçíè îïöèîíà.
Âòîðîå ñëàãàåìîå ñîîòâåòñòâóåò äîïîëíèòåëüíûì ñðåäíèì ïîòåðÿìõåäæåðà â ñëó÷àå, êîãäà îïöèîí èñïîëíÿåòñÿ â ìîìåíòTîêîí÷àíèÿ ñðîêà æèçíè îïöèîíà,ïðè ýòîì ó õåäæåðà åñòü íåîáõîäèìîå êîëè÷åñòâî åäèíèö áàçîâîãî àêòèâà, òàê êàê ïîñëåäíååïåðåñå÷åíèå ïðîèçîøëî â íàïðàâëåíèè ñíèçó ââåðõ. Ñ ó÷åòîì âûðàæåíèÿ (1.18) äëÿ ïîòåðü õåäæåðà ïðè îäíîì ïåðåñå÷åíèè, à òàêæå èçâåñòíîé âåðîÿòíîñòè äîñðî÷íîãî èñïîëíåíèÿ47ïðè êàæäîì ïåðåñå÷åíèè, ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïîòåðü õåäæåðà ïðè îäíîì ïåðåñå÷åíèèîïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì âûðàæåíèåì:M[li ] =p(d)(M[(K + ζ)(1 + θ)] − K) + (1 − p(d))ρ+ , åñëè i = 1,(1 − p(d))i−1 ρ− , åñëè i = 2m,(2.5)(1 − p(d))i−1 (p(d)(M[(K + ζ)(1 + θ)] − K) + (1 − p(d))ρ+ ),åñëè i = 2m + 1,ãäåm = 1, 2, · · · .Ñôîðìóëèðóåì ñëåäóþùóþ òåîðåìó:Ò å î ð å ì à 6.
Ïóñòü âûïîëíåíû ñëåäóþùèå ïðåäïîëîæåíèÿ:1) ïðîöåññ êîòèðîâêè áàçîâîãî àêòèâà îïèñûâàåòñÿ ñëó÷àéíûì ïðîöåññîì (1.11);2) ïðè ôèêñèðîâàííîé øèðèíådïîëîñû íå÷óâñòâèòåëüíîñòè õåäæà èñïîëíåíèå îï-öèîíà äåðæàòåëåì ïðè ïåðåñå÷åíèè ïîëîñû íå÷óâñòâèòåëüíîñòè ïðîèñõîäèò ñëó÷àéíî ñâåðîÿòíîñòüþp(d), íåçàâèñÿùåé îò ìîìåíòà âðåìåíè, â êîòîðûé ïðîèçîøëî ïåðåñå÷åíèå;K + ζ , ãäå ζ ñëó÷àéíàÿ âå{νj }, j = 0, 1, 2, . . . è ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà S(t).3) öåíà áàçîâîãî àêòèâà ïðè äîñðî÷íîì èñïîëíåíèè ðàâíàëè÷èíà, íåçàâèñÿùàÿ îò ñëó÷àéíûõ âåëè÷èíÒîãäà ñðåäíèå ïîòåðè õåäæåðà, èñïîëüçóþùåãî ìîäåðíèçèðîâàííóþ ñòðàòåãèþ ïîñëåäîâàòåëüíîãî õåäæèðîâàíèÿ, îïðåäåëÿþòñÿ âûðàæåíèåì (2.2), â êîòîðîì óñëîâíûå ñðåäíèåïîòåðè õåäæåðà âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëå (2.4).Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 6 íàïðÿìóþ ñëåäóåò èç ïðèâåäåííûõ âûøå ðàññóæäåíèé. Ñëó÷àéíàÿâåëè÷èíàζíå çàâèñèò îò ñëó÷àéíûõ âåëè÷èíνj , j = 0, 1, 2, .
. .ïî îïðåäåëåíèþ. Êðîìå òîãî,ñîãëàñíî (1.34), ïîëíîñòüþ èçâåñòíî ðàñïðåäåëåíèå ÷èñëà ïåðåñå÷åíèé ïîëîñûâûðàæåíèå (2.4) äëÿ óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿL(d, t0 )H,à çíà÷èòïîëíîñòüþ îïðåäåëåíî.Ñëåäîâàòåëüíî, îïðåäåëåíî âûðàæåíèå (2.2) äëÿ áåçóñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿïîòåðü.Ñ òî÷êè çðåíèÿ õåäæåðà, áåçóñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå âåëè÷èíû çàòðàò ìîæåòáûòü èñïîëüçîâàíî äëÿ îöåíêè ñïðàâåäëèâîé öåíû îïöèîíà. Ðåøåíèå çàäà÷è (2.1) áóäåò îïðåäåëÿòü ìèíèìàëüíî âîçìîæíóþ âåëè÷èíó ñðåäíèõ ïîòåðü õåäæåðà, êîòîðàÿ áóäåò çàäàâàòüìèíèìàëüíóþ ñóììó ïðåìèè çà îïöèîí, ïðè êîòîðîé â ñðåäíåì õåäæåð, èñïîëüçóþùèé ìîäèôèöèðîâàííóþ ñòðàòåãèþ ïîñëåäîâàòåëüíîãî õåäæèðîâàíèÿ ñ îïòèìàëüíîé øèðèíîé ïîëîñûíå÷óâñòâèòåëüíîñòè, íå áóäåò â ïðîèãðûøå. Ðåøåíèå çàäà÷è (2.3) ïîçâîëèò íàéòè îïòèìàëüíóþ øèðèíó ïîëîñû íå÷óâñòâèòåëüíîñòè íåïîñðåäñòâåííî äëÿ ïðîâåäåíèÿ ìîäèôèöèðîâàííîé ñòðàòåãèè ïîñëåäîâàòåëüíîãî õåäæèðîâàíèÿ ïî îòäåëüíîìó îáÿçàòåëüñòâó (îïöèîíó), ïîêîòîðîìó öåíà áàçîâîãî àêòèâà óæå äîñòèãëà óðîâíÿ öåíû ïîñòàâêè.482.1.2.
Ìèíèìèçàöèÿ áåçóñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïîòåðüÐåøèì çàäà÷ó (2.1) ìèíèìèçàöèè ñðåäíèõ ïîòåðü õåäæåðà çà âðåìÿ æèçíè îïöèîíà.Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî èññëåäîâàòü çàâèñèìîñòü ñðåäíèõ ïîòåðü õåäæåðà îò øèðèíû ïîëîñûíå÷óâñòâèòåëüíîñòè.L(d, t0 )Óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïîòåðüïðèd > 0,íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìî ïîïîñêîëüêó îíî ÿâëÿåòñÿ ñóììîé (2.4) íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ ïîdd,ôóíê-öèé. Ñëåäîâàòåëüíî, ñ ó÷åòîì (2.2) áåçóñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå òàêæå áóäåò íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé ïîdôóíêöèåé, ïðèÎöåíèì ñðåäíèå ïîòåðè õåäæåðà ïðè÷òî äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãîmd > 0.d → 0.è ëþáîãîÑ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèÿ (1.29) ïîëó÷àåì,t0 ∈ [0, T ) P{η − ≥ m |τ = t0 } → 1ò.å. çà êîíå÷íîå âðåìÿ âåðîÿòíîñòü áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà ïåðåñå÷åíèé ïîëîñûåäèíèöå.
Ïðè ýòîì âåðîÿòíîñòüHïðèd → 0,ñòðåìèòñÿ êp(d) èñïîëíåíèÿ îïöèîíà äåðæàòåëåì ïðè îäíîì ïåðåñå÷åíèèáóäåò ñòðåìèòüñÿ ê íóëþ. Ïîñêîëüêó ïðè êàæäîì ïåðåñå÷åíèè ïîëîñû õåäæåð ïðîèçâîäèòïåðåáàëàíñèðîâêó ïîðòôåëÿ ñ íåíóëåâûìè êîìèññèîííûìè èçäåðæêàìè ïðè ïîêóïêå àêòèâà(θ> 0)óñëîâíûå ñðåäíèå ïîòåðè õåäæåðà (2.4) áóäóò ñòðåìèòüñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, à çíà÷èòè ñðåäíèå ïîòåðè õåäæåðà áóäóò ñòðåìèòüñÿ ê áåñêîíå÷íîñòèL(d) → ∞ïðèÎöåíèì òåïåðü ñðåäíèå ïîòåðè õåäæåðà ïðèd → 0.d ≥ dmax .Ïðèd = dmaxâåðîÿòíîñòüp(dmax )èñïîëíåíèÿ îïöèîíà ïîäïèñ÷èêîì ïðè ïåðâîì ïåðåñå÷åíèè ïîëîñû, ñîãëàñíî (1.13), áóäåòðàâíà1 − α,ãäåα 1.Ñ ó÷åòîì (2.5) ñðåäíèå çàòðàòû õåäæåðà ïðè ïåðâîì ïåðåñå÷åíèèñîñòàâÿòM[l1 ] = p(d) ((K + M[ζ]) · (1 + θ) − K) + (1 − p(d))ρ+ , d ≥ dmax .(2.6)Ñðåäíèå ïîòåðè â ñëó÷àå, êîãäà ïîñëå äîñòèæåíèÿ óðîâíÿ öåíû ïîñòàâêè íè îäíîãî ïåðåñå÷åíèÿ íå ïðîèñõîäèò, áóäóò ðàâíûM[l0 ] = p(d) ((K + M[ζ]) · (1 + θ) − K) , d ≥ dmax .Ïðèd ≥ dmaxñðåäíèå ïîòåðè ïðè âòîðîì è ïîñëåäóþùèõ ïåðåñå÷åíèÿõ ïðèáëèæåííî ìîæíîñ÷èòàòü ðàâíûìè íóëþ, ïîñêîëüêó ñ âåðîÿòíîñòüþ íå ìåíüøå1−αîïöèîí áóäåò èñïîëíåíðàíüøå.
Òîãäà óñëîâíûå ñðåäíèå ïîòåðè õåäæåðà ïðèáëèæåííî ðàâíûL̃(d, t0 ) ≈ P (0, t0 )M[l0 ] + (1 − P (0, t0 ))M[l1 ] = M[l1 ] − P (0, t0 ) (M[l0 ] − M[l1 ]) == M[l1 ] − P (0, t0 )(1 − p(d))K(1 + d)(1 + θ), d ≥ dmax .49(2.7)Áîëåå òîãî, óñëîâíûå ñðåäíèå ïîòåðè õåäæåðà áóäóò ñòðåìèòüñÿ ê âåëè÷èíåL(d, t0 ) → (K + M[ζ]) · (1 + θ) − Kïðèd → ∞.Ñ ó÷åòîì âûøåñêàçàííîãî ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäíà òî÷êà ìèíèìóìà ôóíêöèèL(d)íà(0, dmax ).Ïîñêîëüêó âû÷èñëåíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïîòåðü õåäæåðà ñâÿçàíî ñ ñóììèðîâàíèåì ðÿäîâ è èíòåãðèðîâàíèåì íåýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé, àíàëèòè÷åñêîå âûðàæåíèå äëÿL(d) íàéòè íå óäàåòñÿ.
×èñëåííûå ðàñ÷åòû ïîêàçûâàþò, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïîòåðüõåäæåðàL(d)èìååò åäèíñòâåííóþ òî÷êó ìèíèìóìà ïîdíà(0, dmax )Îáîçíà÷èì èñêîìóþ òî÷êó ìèíèìóìà ñðåäíèõ ïîòåðü êàêäëÿ ëþáîãîdmax > θ.d∗ . Äëÿ ïîèñêà çíà÷åíèÿ d∗ìî-æåò áûòü ïðåäëîæåí ëþáîé ìåòîä îïòèìèçàöèÿ äëÿ îäíîýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷ [1], íàïðèìåðìåòîä äèõîòîìèè. Âûáîð ìåòîäà äèõîòîìèè îáóñëîâëåí òåì, ÷òî äàííûé ìåòîä ÿâëÿåòñÿ ðîáàñòíûì, ò.å. ñëàáî ÷óâñòâèòåëüíûì ê ïîãðåøíîñòè âû÷èñëåíèé, à çíà÷åíèå ôóíêöèèL(d)íå ìîæåò áûòü âû÷èñëåíî òî÷íî.
Ê òîìó æå ìåòîä äèõîòîìèè îáåñïå÷èâàåò ñõîäèìîñòü êîäíîìó èç ëîêàëüíûõ ìèíèìóìîâ, â ñëó÷àå åñëè çàäà÷à íå ÿâëÿåòñÿ îäíîýêñòðåìàëüíîé.Ðåøåíèå çàäà÷è (2.1) áóäåò äàâàòü îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå â êëàññå ïðîãðàììíûõ ñòðàòåãèé, ïîñêîëüêó äëÿ åå ðåøåíèÿ íå èñïîëüçóåòñÿ èíôîðìàöèÿ î äâèæåíèè àêòèâà â òå÷åíèåâðåìåíè æèçíè îïöèîíà.2.1.3. Ìèíèìèçàöèÿ óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïîòåðüÈç ñîîòíîøåíèÿ (2.2) ñëåäóåò, ÷òî, ìèíèìèçèðóÿ óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïîòåðü õåäæåðàïîòåðüL(d).L(d, t0 ),Ôóíêöèÿìîæíî òàêæå ìèíèìèçèðîâàòü áåçóñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèåd∗ (t0 ),ÿâëÿþùàÿñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è (2.3), áóäåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîéîïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå â êëàññå ïîçèöèîííûõ ñòðàòåãèé. Çíà÷åíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïîòåðü ïðè ýòîì áóäåò íå áîëüøå, ÷åì íà ðåøåíèè â êëàññå ïðîãðàììíûõ ñòðàòåãèéd∗ ,ïîñêîëüêó êëàññ ïîçèöèîííûõ ñòðàòåãèé âêëþ÷àåò â ñåáÿ êëàññ ïðîãðàììíûõ. Ñëåäîâà-òåëüíî, áóäóò âûïîëíÿòüñÿ ñîîòíîøåíèÿRT∗1) L(d ) ≥L(d∗ (t0 ), t0 )fτ (t0 , S, K) dt0 ;02)L(d∗ , t0 ) ≥ L(d∗ (t0 ), t0 )äëÿ ëþáîãît0 ∈ (0, T ).Çàäà÷à ìèíèìèçàöèè óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ èìååò òàêæå ñàìîñòîÿòåëüíûé ýêîíîìè÷åñêèé ñìûñë.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
